吉林省四平实验高二数学下学期期中试题理新人教A版

四平实验中学 度下学期高二期中考试
数学（理科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的 四 个
选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复平面内，复数
21i
i
-所对应的点到坐标原点的距离为 （ ）
22. 一批灯泡400只，其中20 W 、40 W 、60 W 的数目之比为4∶3∶1，现用分层抽样的方法产生一个容量为40的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ）
A ．20 ,10 ，10 ,20 ,5 C .20, 5,15 , 15, 5 3. 曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为 ( ) A ．y ＝2x －2
B ．y ＝x －1．
C ． y ＝2x ＋2
D ．y ＝x ＋1
4. 已知回归直线的斜率估计值是，样本中心为（4,5），则回归直线的方程为（ ） A. 1.234y x =+ B. 1.235y x =+ C. 1.230.08y x =+ D. 1.23 2.15y x =-
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，936S =，则789++a a a 等于( ) A ．15 B ．12 C ．36 D ．27 6.若2013
220130122013(12)
()x a a x a x a x x R -=+++⋅⋅⋅+∈，则
010202013()()()a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=（ ）
.2012
7．位于坐标原点的一个质点P ，其移动规则是：质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是2
1
．质点P 移动5次后位于点（2，3）的概率是（ ）
A ．5)2
1( B ．52
5)2
1(C C ．3
3
5)2
1(C D ．5
3
52
5)2
1(C C
8．将三颗骰子各掷一次，设事件A =“三个点数都不相同”，B =“至少出现一个6点”，则概率)(B A P 等于（ ） A ．
21691 B ． 9160 C ．185 D ．2
1
9． 已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与
双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）
A ．[1,2]
B ．(1,2)
C ．（2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
10．已知函数()y xf x ='的图象如图所示 （其中()f x '是函数)(x f 的导函数）．
下面四个图象中，)(x f y =的图象大致是（ ）
Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
11．已知函数
)(),(x g x f 是定义在R 上可导函数，满足0)(')()()('<⋅-⋅x g x f x g x f ，且
0)(,0)(>>x g x f ，对b c a ≤≤时。

下列式子正确的是（ ）
A ．)()()()(c g a f a g c f ⋅≥⋅
B ．)()()()(b g b f a g a f ⋅≥⋅
C ．)()()()(b g a f a g b f ⋅≥⋅
D ．)()()()(c g b f b g c f ⋅≥⋅
12.已知()()()321
1
11132
f x x a x a b x =+
+++++，
若方程()0f x '=的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则 （ ）
A. 3a b -<-
B. 3a b -≤-
C. 3a b ->-
D. 3a b -≥- 二、填空题：（本题共5个小题；每小题4分，共20分） 13．命题“0
0,20R x x ∃∈≤”的否定是 ．
14.圆心在曲线x
y 3
=
（x>0）上，且与直线3x+ 4y + 3 = 0 相切的面积最小的圆的方程为 。

15．某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四
个图案,这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮;现按同样的规律
刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含()
f n个小正方形．则()
f n的表
达式为__________。

16．给出下列命题：①函数
24
x
y
x
=
+
在区间[1,3]上是增函数；
②函数f（x）=2x－x2的零点有3个；
③函数y= sin x（x∈]
,
[π
π
-）图像与x轴围成的图形的面积是S= ⎰-ππxdx
sin；
④若ξ～N（1，2
σ），且P（0≤ξ≤1）=，则P(ξ≥2）=．
其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）：．
三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、（10分）在ABC
∆中,角A、B、C 所对的边分别为a,b,c,且2,
cosC =
3
4
.
（Ⅰ）求sinA的值; （Ⅱ）求ABC
∆的面积。

18．（12分）为了参加2012年贵州省高中篮球比赛，某中学决定从四个篮球较强的班级中
选出12人组成男子篮球队代表所在地区参赛，队员来源人数如下表：
班级高三（7）班高三（17）班高二（31）班高二（32）班
人数4233
（
（II）该中学篮球队经过奋力拼搏获得冠军．若要求选出两位队员代表冠军队发言，设其
中来自高三（7）班的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望ξ
E．
19、（12分）
如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD为直角梯形，且//
AD BC，
90
ABC PAD
∠=∠=︒，侧面PAD⊥底面ABCD. 若
1
2
PA AB BC AD
===.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
A
P
D
（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，
若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.
20、（12分）2*111
{}2,2(1)()n n n a a a a n N n
+==+∈已知数列满足: （1）求证： 2n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
数列是等比数列，并求出{}n a 数列的通项公式； （2）{},n n n n n c T c a =
设是数列，{}n n T c 是数列的前n 项的和， 724
n T <求证: 21、（12分）已知椭圆C
的长轴长为(1,0)．
（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；
（Ⅱ）设直线l ：y=kx 与椭圆C 交于A ，B 两点，点P 为椭圆的右顶点． （ⅰ）若直线l 斜率k=1，求△ABP 的面积；
（ⅱ）若直线AP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅为定值． 22、（12分）已知函数)0,0(11
2
)1ln()(>≥-++
+=a x x ax x f 。

（1）若)(x f 在1=x 处取得极值，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间； （3）若1=a 且0<b ，函数bx bx x g -=
3
3
1)(，
若对于)1,0(1∈∀x ，总存在)1,0(2∈x 使得)()(21x g x f =，求实数b 的取值范围。

2012-2013年下学期高二期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题（本题共10个小题；每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
１ Ｃ２Ｄ３Ｂ４Ｃ５Ａ ６Ａ７Ｂ８Ｂ９Ｄ１０Ｃ １１Ｄ １２Ａ
二、非选择题（本题共5个小题；每小题4分，共20分）
13． ,20x
x ∀∈>R ； 14． ()2
2
3292x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭ 152()221f n n n =-+;
16. ②④ .
三、计算题（本题共6个小题，共70分；解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分） 解：
（Ⅰ）3cos ,sin 4C C =
∴= 2'
1
,sin sin sin sin 84
a c A A C A
=∴== 5'
（Ⅱ）
222223
2cos ,21,2320,22c a b ab C b b b b b =+-∴=+-
∴--=∴=
8'
11sin 122244
ABC S ab C ∆=
=⨯⨯⨯=10'
18、（本题满分12分）
解：（I ）“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一班级”记作事件A ，
则22
2242332
1213
()66
C C C C P A C +++== ······················· 4' （II ）ξ的所有可能取值为0,1,2 ························ 5'
则021120484848222
121212141631
(0),(1),(2)33333311
C C C C C C P P P C C C ξξξ==========
8'
∴ξ的分布列为：
ξ
0 1 2
P
1433 1633 111
······································ 10' ∴141632
0123333333
E ξ=⨯
+⨯+⨯= ······················ 12'
19、 （本题满分12分） 解法一：
（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥. 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD
底面ABCD AD =，所以PA ⊥底面
ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . …………2分
在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，1
2
AB BC AD ==
， 所以 2
2
AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA
AC A =， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分
（Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，
证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则
//EF AD ，且1
2
EF AD =
. 由已知
90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又
1
2
BC AD =
，所以//BC EF ，且BC EF =， 所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF . 因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ， 所以//BE 平面PCD . ……………8分 （Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，
则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD .过G 作GH PD ⊥于H ， 连结CH ，则PD CGH ⊥面，所以CH PD ⊥ 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角. 设2AD =，则1PA AB CG DG ====, 5DP =
.在
PAD ∆中，由相似三角形可得：
GH DG
PA DP =
，所以5
GH =.所以 G
H
A
B
P
C
D
tan CG
GHC GH
∠=
=
，cos 6GHC ∠=.即二面角A PD C --的余弦值
为6
………………………12分 解法二：因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥. 又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，
且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以 PA ⊥底面ABCD .又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，
(0,2,0)D ，(0,0,1)P .
（Ⅰ）(0,0,1)AP =，(1,1,0)AC =，(1,1,0)CD =-,
可得 0AP CD ⋅=，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .
又因为AP
AC A =， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分
（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1
(1, 0, )2
BE =-.
设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,
0.
CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
因为(1, 1, 0)CD =-，(0, 2,1)PD =-，所以0,
20.
x y y z -+=⎧⎨
-=⎩ 取1x =，则
(1, 1, 2)=n .
所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02
BE ⋅=⋅-=n ， 所以BE ⊥n .
因为BE ⊄平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ………………………………8分
（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.
由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
所以cos AB AB
θ⋅
=
=
=n n .即二面角A PD C --的余弦值为……12分
20． （本题满分12分）
【证明】（1）由题设2112
2
1
2(1)21n n
n n a a a a n n n ++=+⇒=⋅+（），………… 2分 所以数列2n a n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是以2为首项，公比为2的等比数列，………… 3分 所以
12
222n n
n a n
-=⋅=即22n n a n =⋅…………4分 （2）∵2122
n n n n n n c a n n ===⋅⋅，…………5分 ∴231111
122232
2
n n
T n =
++++
⋅⋅⋅⋅ ………………① …………8分 解法一：22
21
111
11
12232(1)22n n n T n n --=+
++
+
+⋅⋅-⋅⋅…………………②
②－①得：2311111111111111
1[()()()()]212223234212n n n T n n n -=--+-+-++-+-⋅
21111111117
1[()()]121222342424
<--+-=--=
……… 12分 解法二：先验证2,1=n 时24
17
<n T ，…… 8分
111
3322n n n n c n ≥=≤⋅
⋅当时，
…… 10分 ∴
231111122232
2n n
T n =
++++
⋅⋅⋅⋅322
3411(1)11111111122)12328322222
12
n n --≤++++⋯+=++⋅⋅-（
221111111117(1)28322281224
n -=++⋅-<++=
……… 12分
21、（本题满分12分）
解112222222=-=∴==∴=∴c a b c a a 又
椭圆的标准方程为12
22
=+y x ……………………3分 （2）（Ⅰ）设)(),(2211y x B y x A ，⎩
⎨⎧=+=222
2y x x
y
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==363611y x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=363622y x ………………4分
)0,2(334||P AB =∴ P 到直线x y =的距离为d ，则12
|2|==d ……6分
3
32||21=⋅=
∆d AB S ABP ……………………7分 （或33
2
362||||2122=⨯=⋅⋅⨯
==∆∆y OP S S OPB ABP ） （Ⅱ）⎩
⎨⎧=+=222
2y x kx y 消去y 得2)21(2
2=+x k 2212k x +±=………………8分
2
2
21212
212k x k x +-=+=
2
221212
212k
k y k k
y +-=+=∴ …………10分 2212212
2)(222222212121221121++-+⋅
-=++-=-⋅-=⋅k
k k x x x x y y x y x y k k
=-=-=++--=2142)21(2222
222k k k k 定值………………12分
22、（本小题12分）
解：（1）2
22)1)(1()
1(2)1()1(21)('+++-+=
+-+=x ax ax x a x ax a x f 2
2)
1)(1(2
++-+=x ax a ax 1,0220)1('=∴=-=a a f 即
(4)
（2）)0,0()
1)(1(2
)('2
2≥>++-+=x a x ax a ax x f
若0)('0,2>≥≥x f x a 得 ）单调递增＋在（即∞0,)(x f
(6)
若a a
x x f a -=
=<<20)('20得令或a
a
--2（舍去）
上是减函数在)2,
0()(a
a
x f -∴ ）上是增函数，＋在（
∞-a
a
2 …………………8 （3）1=a 由（2）得）上是减函数在（0,1)(x f )1,2ln )(1)(2ln ＝（值域即A x f x f <<∴………………9 又)1)(1()('2
+-=-=x x b b bx x g 0<b
上递增
在时)1,0()(0)(')1,0(x g x g x ∴>∈∴
）－＝（的值域b B x g 3
2
,0)(∴
(10)
由)()()1,0(),1,0(2121x g x f x x =∈∃∈∀使得 2
3,132,-≤∴≥-⊆∴b b B A 即 (12)。