高中数学教育中的合情推理研究

高中数学教育中的合情推理研究
史亮
一、问题的提出
教育的目的是提高人的素质，素质是一个人的核心发展力。

传统数学教育为我国培养了一大批优秀人才，功不可没，但我们的教育观念、教育体制、教育结构、人才培养的模式、教育内容和教学方式的相对滞后，影响了青少年的全面发展，也是不可否认的事实。

诺贝尔奖获得者杨振宁和朱棣文在谈到中国教育现状时，都认为中国的教育是重基础知识的学习，而轻创造能力的培养。

是否具有创造性己成为衡量一个人才的重要标准，也是素质教育对能力的要求，而创造能力的培养则有赖于教学中论证推理与合情推理同时并重的方法训练。

我国正在实施素质教育和新课程改革，它是以培养学生的创新精神和实践能力为基本价值取向。

高中数学应该是以思维活动为中心的数学，创新思维能力的培养是中学数学教育的核心目标之一。

合情推理是取得创新性成就的工具，是创造性工作赖以进行的基本能力，是21世纪新型人才的应有素质。

合情推理的教学已经受到了数学教育界的广泛重视。

在第八届国际数学教育大会上，对于20世纪杰出的数学家、数学教育家G.Polya建立的合情推理模式以及观察、猜想、实验、类比、归纳、化归等方法在数学发现和创新中所起的作用给予极高的评价，形成广泛的共识。

在布鲁塞尔的“发现学习”和上海教科院所推出的“研究性学习”中都给合情推理教学以应有的地位。

合情推理教学符合我国素质教育的要求。

但合情推理如何在高中数学教育中具体实践，怎样才能最大限度的提高学生的素质，还需要实践上和方法上的探索。

人的素质先天有之，而各有不同。

这种先天性有时以一种虚拟的现象呈现着，它需要教育、环境来充实和引导，需要学习来提高。

学校、课程、教育理念为人提高素质带来不同的机会。

其次素质是一个人的特质，先天不同，后天也有不同的表现，它是不能完全复制的，在社会生存和学习发明的过程中，高素质的人具有很强的核心竞争力。

素质具有基础、条件、差别以及个人修养、社会品位的尺度等基本特征，人通过合适的教育和影响而获得与形成三方面的：学识特征、能力特征和品质特征。

学识特征主要指基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验（变“双基”为“四基”）；能力特征主要指发现与提出问题的能力和分析与解决问题的能力（变“双能”为“四能”），能力的集中表现是智慧，智慧的基础是演绎思维和归纳思维两种思想的交融；品质特征主要指道德修养、精神境界和个人品位。

变“双基”为“四基”，变“双能”为“四能”，特别是由原来的以演绎思维训练为主转变为演绎思维和归纳思维并举,对当前的中学教育教学改革和正在实施的新课程具有重要的指导意义。

合情推理既是重要的思想方法，也是重要的思维品质。

教育的目的之一是思维品质的培养，一个人有没有思维能力，是否掌握一定的基础知识、基本思想、基本方法和基本活动经验，决定了他在社会生存的质量。

数学素质是一个人全面素质中最重要的一个素质，这个素质的培养不是灌输，而是启发。

学习数学不仅仅是了解、掌握和应用知识，更重要的是了解、掌握数学的思想方法。

传统强调演绎的方法，过多地在验证数学结论，而证明有时会陷入模型（模仿）与机械的怪圈，经常会悬在半空思考问题，使学生知其然不知其所以然。

在中学数学中，强调演绎和强调合情推理，就如同从天空走向地面。

是动手寻根溯源的学习方法，探索“对原初含义进行重新激活的可能性”。

爱因斯坦曾说过一段深刻的话:“结论几乎是以完美的形式出现在读者面前，读者体会不到探索和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也很难达到清楚地理解全部情况。

”所以我们学习了完美无缺的结论,而对探索过程和思维方法却知之甚少，所以新课程中强调的学习是“过程与方法、情感态度与价值观”的学习。

历史上，不仅仅是数学中，甚至在整个科学、社会的领域，大的发现都与合情推理有关系。

波利亚在《怎样解题》一书中，他认为，“在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了合情推理……但合情推理也可达到数学精确的水平。

所以各种合情推理（包括猜想、类比等）在发现解答方面都可能起作用，我们不应该当忽视任何一种。

”
新课程充分重视为学生提供动手操作与主动参与的机会，促进学生主动学习，提供发现问题和提出问题的时机，提高学生分析问题和解决问题的能力。

其目的是激发学生的学习动机与兴趣，引导学生认知冲突，使他们带着任务去学习。

高中数学新课程教材的编写明显的变化趋势是新课程将知识内容问题化，如设置了很多“想一想”、“探究”等问题栏目。

实际上是将那种从定义到概念处理，再用概念和原理解决问题的演义式教材体系，转化为问题引导的，体现知识发生、发展过程的，再从大量的、丰富的具体实例中通过归纳概括而获得的概念和法则的归纳式的教材体系。

新课标的教材编写建议中明确指出：课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律，以及人们的认识规律，体现从具体到抽象、特殊到一般的原则。

例如，在引入函数的一般概
念时，应从学生已学过的具体函数（一次函数、二次函数）和生活中常见的函数关系（如气温的变化、出租车的计价）等入手，抽象出一般函数的概念和性质，使学生逐步理解函数的概念；立体几何内容，可以用长方体内点、线、面的关系为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间点、线、面的位置关系。

教材应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉。

教材的呈现应为引导学生自主探索留有比较充分的空间，有利于学生经历观察、实验、猜测、推理、交流、反思等过程。

编写教材时，可以通过设置具有启发性、挑战性的问题，激发学生进行思考，鼓励学生自主探索，并在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对数学较为全面的体验和理解。

在新教材的选修模块（2－2）中有合情推理与演绎推理的相关内容
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修2-2中的例2、例3）。

②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

本课题将分析高中教材和高中教学中演绎推理与合情推理的共融关系，并经过实践以及有关学习理论和教学理论，对合情推理在教材中的呈现形式，如何在课堂教学中培养学生的
合情推理能力及如何对学生的合情推理能力进行评价进行初步探究，同时还要探讨高考评价中合情推理的特征。

希望能为学生合情推理能力培养的进一步研究提供一点参考。

二、研究的意义
（一）合情推理在数学自身发展中的意义
G·波利亚说，数学的创造过程与任何其它知识的创造过程一样，在证明一个定理之前，先得猜想、发现出这个定理的内容，在完全做出证明之前，先得不断检验、完善、修改所提出的猜想，还得推测证明的思路，你先得把观察到的结果加以综合，然后加以类比，你得一次又一次地进行尝试。

在这一系列的过程中，需要充分运用的不是论证推理，而是合情推理。

牛顿说:“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。

许多数学问题、数学猜想，包括著名世界难题的解决，往往是在对数、式或图形的直接观察、归纳、类比、猜想中获得方法的，而后再进行逻辑验证。

同时随着问题的解决，使数学方法得到提炼或数学研究范围得到扩展，使数学发展前进一步。

费马通过对勾股定理的研究大胆地猜想出费马大定理。

为了寻找这个猜想的证明方法，许多数学家投入了毕生的精力，最终在上世纪被英国数学家怀尔斯证明。

这个被数学家希尔伯特称作会下“金蛋”的老母鸡，本身是用合情推理的方法提出的，在长达几个世纪的探索中，数学家们的创造过程也蕴涵着合情推理的成分。

因此，从某个方面来说，合情推理促进过数学的发展。

诸如此类的例子还很多，如欧拉定理、歌德巴赫猜想、四色问题等。

（二）合情推理在我国素质教育中的意义
我国正在实施的素质教育，是以培养学生的创新精神和实践能力为基本价值取向的。

中学数学是思维活动的教学，创新思维能力的培养是中学数学教学的核心。

而合情推理的实质就是“发现”，即发现新的关系、新的规律和新的方法等。

在数学学习活动中，合情推理除了具有发现新的命题的重要作用外，还是探索解题思路，概括、解释新的数学事实和规律，扩展认知领域，促进知识的掌握和迁移，启迪思维和发展数学能力的重要方法和手段。

正如波利亚所说:“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证推理，这是他的专业也是他那门科学的特殊标志，然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理，这是他的创造性工作所赖以进行的那种推理。

”如果说通过演绎推理可以培养学生的运算能力、空间想象能力和严谨的治学态度，那么通过合情推理则可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力。

因此可以说，合情推理是发展和培养学生创新能力的基础和必要条件，是21世纪新型人才应当具有的素质。

有研究表明从国际数学课程改革的特点也可看出, 在处理中小学数学思想方法方面有两种基本思路: 第一,主要通过纯数学知识的学习, 逐步使学生掌握数学的思想和方法;第二, 通过解决实际问题, 使学生形成那些对人的素质有促进作用的基本思想方法, 如实验、猜测、合情推理等。

两者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更广泛的应用性。

主要发达国家也倾向于第二种基本思路。

有研究表明：合情推理与演绎推理有着较高的相关性；学生的合情推理的发展与演绎推理的发展有着密切的联系．因此，数学教学要促使学生的合情推理与演绎推理同步发展．学校数学教育一贯重视培养学生的演绎推理能力，而对归纳猜想能力的培养缺乏必要的
措施与手段，使学生数学归纳猜想能力的发展处于一种放任自流的状态。

中学生数学归纳推理的发展现状不容乐观，长期以来，我国学生的数学学习忽视了合情推理，忽视了数学学习过程中的归纳、猜想，这就导致我国学生“数学能力发展不全面，尤其缺乏创新精神与实践能力”。

中学生数学合情推理的发展落后于演绎推理能力的发展，中学生数学合情推理能力的培养是中学数学教学中的一个薄弱环节。

人们对数学能力的理解主要停留在逻辑思维能力的层面上，而逻辑思维有时恰恰阻碍了学生的创新发现。

随着时代的发展，这种数学能力观的局限性越来越明显。

现代社会要求公民具有的数学素养，使数学能力应具有更丰富的内涵。

因此，教学中如何培养学生的数学归纳推理能力，促进学生数学合情推理能力的发展，是当前数学教学中值得重视的问题之一．
爱因斯坦说：适用于科学幼年时代的以归纳为主的方法，正在让位于探索性的演绎法。

虽然爱因斯坦说过类似的话，但是没有人说归纳法要退出和演绎法的竞争。

对于基础教育阶段，尝试或有意识地向学生传授归纳法，对于引导他们发现科学、创造性地解决问题很有益处。

我们真的要认真思考归纳是不是仅仅停留在发现的初级阶段，归纳的方法是不是仅仅停留在学习的初级阶段而提倡的方法？
在新一轮的高中数学课程改革中，虽然给予了合情推理应有的地位，但是如何编写好这方面内容的教材、教师如何讲授好这方面的内容、学生如何学好这方面的内容以及如何对学生合情推理能力进行评价，还比较缺乏理论依据以及实践的总结，因此需要对此方面做深入的研究。

（三）合情推理在发展思维水平中的意义
思维水平不仅是演绎论证的水平，同时还是具备观察、归纳、联想与猜想等看来并不严密，所得结果也无需充足理由的思维习惯的水平。

由于数学本身的严密性和系统性，往往引起数学思维自始至终都必须周密的错觉。

于是，课堂教学中当学生还没开展观察、归纳、类比、联想等活动之前，教师就把书中现成的结论、定义、方法(对教师都是已知的，对学生则是未知的)等强加给学生;在课堂训练中，只注意如何根据现成的定义、结论和方法去解释问题或反复练习，即使是“分析-综合”的解题方法也往往是在教师备课时早已探究得到的。

于是，学生只能复制，只能依赖教材和教师，稍有变化便束手无策。

反之，当学生的上述思维水平全面提高时，从同一来源就会产生为数众多的信息输出，会产生各种“念头”，表现出较高的思维水平。

因此，合情推理教学有助于学生思维水平的发展。

（四）在转变学习方式中的意义
数学学习活动是一种知识与经验，方法与策略，想象与猜想等多种思维活动参与的创造性劳动，没有观察、联想、想象就不会有创造力。

而长期以来，学生学习数学的方式以被动接受方式为主。

表现一就是数学教学以教师的讲授为主，而很少让学生通过自己的活动与实践来获取知识;表现二就是学生们很少有根据自己的理解发表看法与意见的机会。

数学课的基本风格是从数学概念出发，定义、定理、法则、公式加大量的分类练习。

这种方式是成人社会“数学家共同体”用来整理人类数学成果的演绎模式，它与儿童认识和理解世界的方式相去甚远。

课堂上缺少人际间的交流、观点的交锋、智慧的碰撞，因而学生在9年乃至12年的学校数学学习生涯中难以体验到数学学习的吸引力。

这就与长期以来对合情推理的重视不够有关。

而合情推理的实质是“发现”，合情推理的教学突出了学生的主体地位，是学生通过参与到知识的发现过程中，体验、探索数学知识的活动。

在这样的教学中，概念的形成、结论
和定理的发现、解题思路的产生，都离不开合情推理这种探索方式和认知过程。

而且，经历这种“过程”不仅有助于学生学习和掌握数学知识，还有助于培养学生对数学的兴趣和优良的思维品质。

因此，开展合情推理教学是实现新课标中“转变学习方式”的必要途径。

重视合情推理能够引导我们关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成。

三、研究的内容
长期以来数学教学注重采用“形式化”的方式，发展学生的论证推理能力，忽视了合情推理能力的培养；以及合情推理的教学是一种数学思想方法的教学，不同于以往的数学知识的教学。

因此，对于习惯了数学中重视论证推理的教学的师生，对合情推理都比较陌生。

在高中数学中加入合情推理内容，无论对数学教师的教，还是高中学生的学，都是一个不小的挑战。

但同时也是使学生理解数学本质、学会应用数学解决实际问题以及形成创新意识的大好机遇。

以往的研究者已经从合情推理的模式与方法、合情推理在数学中的教育功能等方面研究过合情推理。

但是对于高中数学新课程中合情推理的教学现状，特别是如何从教材改进以及教学策略的完善角度培养学生的合情推理能力，提高学生的创新能力还没有研究结论。

本研究以高中数学新课程的合情推理内容为背景，主要考察以下几方面的内容：
1.学生合情推理能力发展的现状分析；
2.合情推理与演绎推理的在高中数学中的关系（高中数学教材及教学）；
3.目前高中数学教学中的合情推理案例研究；
4．考试评价中的合情推理研究。

为了使新课程中合情推理内容落到实处，真正的达到培养学生合情推理能力的教育目标。

本研究会针对实施合情推理内容时师生遇到的问题与困难，提出意见与建议，对进一步实施新课程和一线教师的合情推理教学提供参考依据。

四、研究问题的现状
（一）合情推理的涵义
G•波利亚在《数学与猜想》一书中讨论了合情推理的特征、作用、范例、模式，并且还指出了合情推理的教学意义和教学方法。

他是通过对数学创造和数学学习等具体思维过程的再现、分析提出了“合情推理”的思维模式，开辟了一条与传统的思辨方式截然不同的新途径;他首先肯定了论证推理在确定数学命题的真理性和其科学体系建构中的作用，然后说数学与其他学科一样，数学知识也是从零散的猜想开始，通过归纳、检验等非论证的思维方式而发生发展，而这种思维方式就是合情推理。

G•波利亚的主要成就是有效地拓宽了数学推理的范围;有关合情推理的概念的展开、模式概括和技能训练都是密切结合数学发现和数学学习的具体思维活动;他的不足之处是对合情推理的界定比较模糊和不完全。

1988年，我国著名数学家徐利治指出:“要用G•波利亚的思想改革数学教材和教学方法，要培养G•波利亚的数学工作者”，从而在我国正式拉开了把数学方法论和G•波利亚的数学教育思想应用于课堂教学进行创新教育实践的序幕。

从此，人们逐渐开始探索，在培养
学生逻辑思维能力的同时进行合情推理能力的培养。

杨世明的《数学发现的艺术》(30)，是用G•波利亚风格写出的数学方法论专著。

从数学史、数学课本、众多数学家的著作和手稿中采集了丰富的素材，归纳、研究了合情推理方法，对数学学习、解题、教学和研究中广泛应用的观察、实验、归纳、类比、联想、猜测、检验、推广、限定以及抽象、概括等思维方法进行了探讨。

可以说合情推理的思想萌芽很早。

开拓它，发展它，使之趋于完善的是G。

波利亚。

G•波利亚是在与传统观念普遍认可的演绎推理相对立的意义上引入合情推理的，并力图将数学推理的非演绎机制尽可能地涵盖其中。

目前，数学教育理论界对合情推理的涵义说法众多，但仔细探究这些概念主要是从三个角度说的。

一是从形式逻辑的角度出发，认为合情推理就是或然性推理或者和演绎推理对立起来称为非演绎推理；二是从数学方法论的角度出发，把合情推理看作是科学的发现方法。

因而，连同归纳、类比在内，把观察、实验、联想、猜测、直观等一系列科学发现的手段都归于合情推理的范畴；三是从教育心理学的角度出发，认为合情推理的过程和人的经验、感觉等其他非智力因素息息相关。

这三种从不同角度出发对合情推理的认识都有一定道理。

但是如果从形式逻辑的角度出发，把合情推理看作是或然性推理（或者是非演绎推理），就会把一些“既不可信又无价值的推测”归入到合情推理之中，如此以来合情推理的外延就有些大了；但是如果按照传统逻辑认为合情推理主要归纳推理和类比推理，那么就会把溯因推理排斥在外，则合情推理的外延就有些小了。

而从数学方法论的角度出发，把合情推理看作是一种探索方法，则扩大了合情推理的内涵，与合情推理的日常概念的理解相差太远；但是如果把合情推理看作是运用探索方法进行
的推理，则缩小了合情推理的运用范围，似乎合情推理不会存在于其他方法中。

例如合情推理中的溯因推理在证明过程中经常出现。

从教育心理学的角度界定合情推理，认为合情推理就是根据人们的经验、知识、直观、感觉与情感等得到的一种可能性结论的推理。

观察、实验、归纳、类比、推广、限定、猜想、联想等一套自然科学中常用方法里面充满了合情推理。

如此就把合情推理与推测方法区分开来，而合情推理主要是选择不同的推测方法，把比较合理的推测与不合理的推测区分开来。

总的来说，合情推理是否可以这样表述：合情推理就是人们根据已有的知识经验（即原有的认知结构），在情感等非智力因素的影响下，运用观察、实验、归纳、类比、推广、限定、联想、直觉等非演绎的（或非完全演绎的）思维形式，做出关于客体的合乎情理的认知过程。

在以上提及的著作中，对合情推理的特征有以下几种阐述:
G•波利亚认为:合情推理是一种合乎情理的、好像为真的推理，它的清晰程度不能与论证推理相比，它没有固定的逻辑标准，并且只是笼统的，通人情的，是与个人的情绪、爱好、知识等主观因素有关的一种推理，所以它是有争议的、冒风险的、暂时的，有时不能像论证推理那样博得大家的公认。

但合情推理对于发展学生的创新能力，还是十分重要的。

费马曾通过观察形如的数列的前四项：5，17，257，65537之后，发现这四个数都是素数，于是自信的提出：对一般情况的形如的都是素数。

这个结论就是运用合情推理的出的一个猜想。

但n=5时，= = 推翻了费马的结论，但其中创造性思维的光彩却是永存的。

数学知识的创造需要猜想，在教学中，通过合情推理，可以培养学生的创新思维能力、创造想象能力、创新实践能力、求异精。