数学上学期期中试题-东北师范大学附属中学2015届高三(理科)高考总复习阶段测试卷(第35周)

理科数学
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间120分钟． 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚．
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚．
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
4．保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
参考公式：
如果事件A B ，互斥，那么
球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
2
4πS R =
如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径
)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是
p ，那么 34
π3
V R =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径
),,2,1,0()1()(n k p p C k p k n k
k n n =-=-
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1．设集合{}b a A ,=,则满足{}c b a B A ,,= 的集合B 的个数是 ( ) A ．1 B ．3 C ．4 D ．8 2．已知复数i z +=1，则
2
22
-z z
等于（ ） A ．i B ．i - C ．1+i D ．1-i
3．已知函数x
e y =的图像与函数)(x
f y =的图像关于x y =
对称，则（ ）
A ．)()2(2R x e x f x
∈= B ．)0(ln 2ln )2(>⋅=x x x f
C ．)(2)2(R x e x f x
∈= D ．)0(ln 2ln )2(>+=x x x f
4．已知双曲线22
221x y a b -=)0,0(>>b a 的一条渐近线方程为43
y x =，则双曲线的离心
率是（ ）
A ．53
B ．
3 C ．5
4
D 5．若⎩
⎨⎧≥≤x y y 1
，则y x 2+的最大值是（ ）
A ． 0
B ． 3
C ．1
D ．不存在
6．将函数x x y cos sin ⋅=的图像向右平移)0(>ϕϕ个单位后，得到的图像关于直线6
π
=x 对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．
125π B ．611π C ．12
11π D ．以上都不对 7．已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，若421,,a a a 成等比数列，则
10
5
S S 等于（ ） A ．
21 B ．41 C ．11
3
D ．无法确定 8．已知函数)(x f 在区间[)+∞-,1上连续，且当0≠x 时，1
1)(-+=x x x f ,则)0(f 等于
（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
9．设γβα、、为两两不重合的平面，n m l 、、为两两不重合的直线，则下列命题正确的是（ ）
A ．γαγββα//，则，若⊥⊥
B ．βαββαα//,//,//,,则若n m n m ⊂⊂
C ．m l m l //,,,//则若βαβα⊂⊂
D ．n m l ===αγγββα ,,若，则n m l 、、交与一点或相互平行
10．从6名男生与5名女生中，各选3名，使男女相间排成一排，不同的排法种数是（ ）
A ．3
53
62A A B ．6
63
53
6A C C C ．3
53
6A A D ．3
43
53
6A C A 11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 在区间[])2(,1>a a 上单调递增且
()0f x >.则下列不等式中不．
一定成立的是（ ） A ．()f a >()0f B ．12a f +⎛⎫
⎪⎝⎭
>f
C ．131a f a -⎛⎫
⎪+⎝⎭>()f a - D ．131a f a -⎛⎫
⎪+⎝⎭
>()2f - 12．设F 为椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的一个焦点，A B C ，，为该椭圆上三点，若
0=++，则FA FB FC ++=（ ）
A ．a b 2
3 B ．2223b a b - C ．()a b a 2223- D ．2223b
a a -
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在()()6
11-+x x 的展开式中，4
x 的系数为_____________(用数字作答)．
14．过原点作曲线x
e y =的切线，则该切线的斜率为________(e 为自然对数的底数) ．
15．若向量b ，b a b a a 则满足且向量1,),3,1(=-=的取值范围是 ． 16．球O 是棱长为1的正方体ABCD D C B A -1111 的外接球，N M ,分别是B B 1，11C B 的
中点，下列三个命题：
①球O 的表面积为 3π； ②,A B 两点间的球面距离为1arccos
3
； ③直线MN 被球面截得的弦长为
2
6． 其中是真命题的序号为_____(把所有正确命题的序号都填上) ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分10分）
在三角形ABC 中，10
2)4sin(,1=-
=πA BC ． （Ⅰ）求A sin 的值； （Ⅱ）求三角形ABC 面积的最大值. 18．（本小题满分12分）
一大学生参加某公司的招聘考试，需依次参加A 、B 、C 、D 、E 五项测试，如果前四项测试中有两项不合格或第五项不合格，则该考生被淘汰，考试即结束。

考生未被淘汰时，必须继续参加后面的测试，已知每项测试相互独立，该生参加A 、B 、C 、D 四项测试每项不合格的概率均为31
，参加第五项测试不合格的概率为4
1. （Ⅰ）求该生被录取的概率；
（Ⅱ）求该生参加考试的项数ξ的概率分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）6
如图，四棱锥ABCD S -的底面ABCD 是正方形，
侧面SAB 是等腰三角形且垂直于底面，，，、分别是、
的中点．
5==SB SA 2=AB E F AB SD
（Ⅰ）求证：//EF 平面SBC ； （Ⅱ）求二面角A CE F --的大小． 20．（本小题满分12分）
已知数列{n a }的前n 项和为n S ，11=a ，
)(31*+∈=N n S a n n .
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求使不等式
3
1
11113221≤+++++++n n a a a a a a 成立的所有n 的值.
21. （本小题满分12分）
已知在直角坐标平面上两个定点)1,1(),1,1(---B A 和一个动点),,(y x P 且点P 满足下列两个条件：①B P A 、、顺时针排列,且APB ∠是定值；②动点P 的轨迹C 经过点
).2,0(Q
（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若抛物线)0(22
>=p px y 与曲线C 有两个不同的交点，且过抛物线焦点F 的
直线与该抛物线有两个不同交点,N M 、1=+
能否成立？并说明
理由.
22.（本小题满分12分）
已知函数()ln f x x x =⋅，ln ()x
g x x
=
.
（Ⅰ）求函数()f x 的极值和单调区间；
（Ⅱ）对于0x >的任意实数，不等式)(1)(x f ax x g ≤-≤恒成立，求实数a 的取值；
（Ⅲ）数列{ln }()n n N *
∈的前n 项和为n S ，求证：
2(1)(1)(1)
.23
n n n n n S n --+≤≤
理科数学答案
一、选择题CBDAB ACCDA DA
二、填空题 13、-5；14、e ；15、[]31，；16、①③； 三、解答题
17. 解：(Ⅰ) 由10
24
sin
cos 4
cos
sin )4
sin(=
-=-
π
π
π
A A A ， 有51cos sin =-A A ，∴2512sin 1)cos (sin 2=-=-A A A ，∴25
242sin =A ，且角A 为锐角，
又2549252412sin 1)cos (sin 2
=+
=+=+A A A ，取57cos sin =+A A ，（舍去5
7
-） 解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=-.
57cos sin ,51cos sin A A A A 得54sin =A
(Ⅱ)设ABC ∆的角C B A ,,所对的三边长分别为c b a ,,，则 bc bc A bc S 5
2
5421sin 21=⨯==
， 由余弦定理有5
3
2cos 22
2
2
2
2
⨯
-+=-+=bc c b A bc c b a ，
∴bc bc bc 545621=-
≥，即4
5≤bc ， ∴21455252=⨯≤=
bc S ，即ABC ∆面积的最大值为2
1. 18. 解：（I ）43
1432214.43339
P C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （Ⅱ）（理）该食品检验的次数ξ可以是2，3，4，5.
()()1211112142;3;33933327
P P C ξξ==⨯===⋅⋅⋅=()()2
131214144164;51.333279272727
P C P ξξ⎛⎫==⋅⋅⋅===---= ⎪
14416114
2345.92772727
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=
19.解法一：（Ⅰ）取中点，连结、，则． 又， ∴，四边形是平行四边形． ∴，又⊄EF 平面SBC ，⊂BG 平面SBC ， ∴//EF 平面SBC ．
（Ⅱ）连，∵，∴，又面面， ∴⊥SE 面ABCD ．连结，取中点，连结FH ，则SE FH //． ∴FH
⊥平面．
作于，连结，则为二面角的平面角． ∵，，∴，
在正方形中，作于，则
SC G FG BG CD FG 2
1
//
CD BE 2
1
//
BE FG //BEFG BG EF //SE SB SA =AB SE ⊥⊥SAB ABCD DE DE H ABCD CE HK ⊥K FK FKH ∠A CE F --5=
=SB SA 2=AB 2=SE 1=FH ABCD CE DL ⊥L
．
∴． ∴. 故二面角的大小为．
解法二：（Ⅰ）以为原点,在平面ABCD 内过垂直于的直线为x 轴,EA 、ES 分别为 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由已知，，，，
，，，
易求平面SBC 的一个法向量为)1,2,0(-=p
，．
∴0=⋅EF p ，EF p ⊥，又，∴． （Ⅱ）设),,(c b a m =为面的法向量，则⊥，⊥． ∵，，
∴，取，则)2,2,1(-=m ． 又)1,0,0(=为面的法向量，
54
5222sin sin =⨯=⨯
=∠=∠=CE BC BEC CD LCD CD DL 5
221==
DL HK 25tan ==
∠HK FH FKH A CE F --2
5
arctan E E AB )0,0,0(E )0,1,2(D )2,0,0(S )1,2
1
,1(F )0,1,0(-B )0,1,2(-C )1,21
,1(=SBC EF 平面⊄SBC EF 平面//CEF )0,1,2(-=)1,2
1
,1(=⎪⎩
⎪⎨⎧=++=-021
02c b a b a 1=a ACE
所以3
2
132,cos -=⨯-=
>=
<． 因为二面角为锐角，所以其大小为 ．
20解: 解: (Ⅰ) 由n n S a 31=+ (1) 得123++=n n S a (2)
(2)-(1)得 1123+++=-n n n a a a , 整理得
41
2
=++n n a a ()*∈N n ∴数列 ,,,,,432n a a a a 是以4为公比的等比数列.其中,333112===a S a , 所以，⎩⎨
⎧⨯=-2
4
31
n n a
)
,2()
1(N n n n ∈≥=
（Ⅱ）当1=n 时，
3
1
41121<=+a a 当2≥n 时，
1
32211
11+++++++n n a a a a a a
1
224
3431
434314331311--⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+++=
n n A CE F --3
2
arccos
31)411(4544141141115141)
4
1
41411(1514151431514315143151314111
2222≤
-+=--⨯+=+++++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯+=
----n n n n 整理得164
1
≤-n ，解得 3≤n
所以，3,2,1=n 。

解法二： 当1=n 时，
3
1
41121<=+a a
当2=n 时，
3
1
6019123141113221<=++=+++a a a a
当3=n 时，
31
48121123141111433221=++++=+++++a a a a a a
当4≥n 时，
1
32211
11+++++++n n a a a a a a
31
4
3431434313111311232154>⨯+⨯++⨯+⨯+=+++++=
--+n n n n a a a a 所以，3,2,1=n .
21解：（1）由①②可知 ,AQB APB ∠=∠
)1,1(1±±=∴P x 时，可求当；
当1±≠x 时，可求1
1
,11++=-+=
x y k x y k AP BP .又因为12,12+=--=AQ BQ k k . 所以由AQB APB ∠=∠可得.1tan tan =∠=∠AQB APB
即
11
)1(111
112
2=-++++--+x y x y x y .整理得:).1(222->=+y y x 而)1,1(±P 也满足此方程. 所以曲线C 的方程是).1(22
2->=+y y x
(此问也可以利用Q P B A 、、、四点共圆的思想求曲线C 的方程)
(2)设由于抛物线)0(22
>=p px y 与曲线C 有两个不同的交点，所以)1,1(-B 一定不在抛
物线含焦点的区域内，所以.112<⨯p 即2
1<
p .
设,2),,(),,(12211p x y x N y x M +
=
,2
2p
x +
=,21p x x ++= 若MN 不垂直于x 轴时，由由⎪⎩
⎪⎨⎧-==)
2(22p x k y px
y 消去y 得:04)2(222
22=++-p k x k p x k , 则.4,)2(2
212
221p x x k k p x x =+=
+
+
2
1
21
21p x p x ++
+=
.2
)
2)(2(2121p p x p x p x x =++++=
当x MN ⊥轴时，上式依然成立.
+
p 2=. 因为210<
<p ,
+
.42>=p 所以
1=+
不成立.
22（Ⅰ）解：'()ln 1f x x =+，
由上表可知，单调递增区间为1(,)e +∞，单调递减区间为1(0,)e ；极小值为11()f e e
=-
. （Ⅱ）因为0x >，所以
2ln 1ln x x a x x x +≤≤+，设2ln 1
(),()ln x x m x n x x x x
+==+， ⑴243
1
(1)(ln )212ln '()(0)x x x x
x x
x m x x x x
+⋅-+⋅--==> 再令()12ln h x x x =--，1
'()10h x x
=--
<，()h x 在(0,)+∞上是单调递增函数，且(1)0h =.当(0,1)x ∈时，()0h x >；当(1,)x ∈+∞时，()0.h x <
当(0,1)x ∈时，'()0m x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0.m x <所以()n x 在(0,1)上递增，在
(1,)+∞上递减. 所以()m x 的最大值为1
又因为()a m x ≥，所以 1.a ≥
⑵22111
'()(0).x n x x x x x
-=
-=> 当(0,1)x ∈时，'()0n x <；当(1,)x ∈+∞时，'()0.n x >所以()n x 在(0,1)上递减，在(1,)
+∞上递增. 所以()n x 的最小值为(1)1n =. 又因为()a n x ≤，所以 1.a ≤ 综上⑴⑵可知， 1.a = （Ⅲ）用数学归纳法证明：
⑴当1n =时，1ln10S ==，不等式2(1)(1)(1)
23n n n n n S n --+≤≤成立. ⑵假设n k =时不等式成立，即有2(1)(1)(1)23
k k k k k S k --+≤≤成立.
由（Ⅱ）可知，用1k +代替不等式
ln 1ln x
x x x x
≤-≤⋅中的x ，得 ln(1)(1)ln(1)1k k k k k +≤≤+++ ln(1)(1)1
k
k k k k ⇒≤+≤++，
所以，1(1)(1)(1)[13](1)(2)
ln(1)(1)333
k k k k k k k k k k k S S k k k +-++-+++=++≤
++==
22
2
2
3
211
(1)(1)(1)21ln(1).212(1)2(1)2(1)2(1)
k k k k k k k k k k k S S k k k k k k k k k k k ++
--+++=++≥+===≥+++++ 综上⑴⑵，对于任意的n N *
∈，不等式2(1)(1)(1)
23
n n n n n S n --+≤≤恒成立.。