高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式》难题汇编及答案解析

【最新】数学《不等式》试卷含答案
一、选择题
1．若实数x ，y ，对任意实数m ，满足()()22
2122211x y m x y m x y m ⎧-≤-⎪⎪
+≥+⎨⎪-+-≤⎪⎩
，则由不等式组确定的可行域的面积是( ) A ．
1
4
π
B ．12
π
C ．π
D ．
32
π 【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积． 【详解】
实数x ，y ，对任意实数m ，满足2221222(1)()1x y m x y m x y m --⎧⎪
++⎨⎪-+-⎩
„…„的可行域如图：
可行域是扇形，14
个圆，面积为：2
11144ππ⨯⨯=．
故选：A ．
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查数形结合以及计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
2．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +> B ．2ab c >
C ．
a b
2
c +> D ．
112a b c
+> 【答案】C 【解析】
【分析】
取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】
,a c b c >>，故2a b c +>，
2
a b
c +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C . 【点睛】
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
3．变量,x y 满足约束条件1
{2
314
y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则
实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-
C ．{0,1}
D ．{3,0,1}-
【答案】B 【解析】
若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．
4．若,x y 满足约束条件360,60,1,x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
则z x y =-的最小值为（ ）
A ．4
B ．0
C ．2-
D ．4-
【答案】D 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
目标函数z x y =-，可化为直线y x z =-当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，
又由360
1
x y y -+=⎧⎨
=⎩，解得(3,1)A -，
所以目标函数的最小值为min 314z =--=-. 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
5．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)
1
2
8
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,
3212,
x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则
max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足
15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A ．[3,3]；
B ．(,3]-∞
C ．3,)
+∞
D ．(,3]3,)-∞-⋃+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的前n 项和公式转化条件得1
1322
a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】
Q 数列{}n a 为等差数列，
∴15154
55102
a d d S a ⨯=+
=+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得1
1322
a d a =--， 当10a >时，111
11133323222222a a a d a a a ⎛⎫=--=-+≤-⋅=- ⎪⎝⎭
13a 时等号成立；
当10a <时，1
1113
3232222a a d a a ⎛⎫⎛⎫=--≥-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，当且仅当13a =-时等号成立；
∴实数d 的取值范围为(,3][3,)-∞-⋃+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题.
7．设变量,x y 满足约束条件0
211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大， 由21
1x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就
是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8．已知点P ，Q 分别是抛物线28x y =和圆22(2)1x y +-=上的动点，点(0,4)A ，则
2
||||
PA PQ 的最小值为( ) A ．10 B ．4
C
．2 D
．1
【答案】B 【解析】 【分析】
设出点P 的坐标()00,x y ，用0y 表示出PA ；根据圆上一点到定点距离的范围，求得PQ 的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值. 【详解】
设点()00,P x y ，因为点P 在抛物线上，所以()2
00080x y y =≥，
因为点(0,4)A ，则()()2
2
222
00000||48416PA x y y y y =+-=+-=+.
又知点Q 在圆22
(2)1x y +-=上，圆心为抛物线的焦点(0,2)F ，
要使2||||
PA PQ 的值最小，则||PQ 的值应最大，即0max 13PQ PF y =+=+.
所以()()2
2
2000
003632516||||33
y y y PA PQ y y +-+++==
++ ()
0025
36643
y y =++
-≥=+ 当且仅当02y =时等号成立.
所以2
||||
PA PQ 的最小值为4.
故选：B. 【点睛】
本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A
【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．已知,x y 满足33025010
x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3
6y z x -=-的最小值为（ ）
A ．
157
B ．
913
C ．
17
D ．
313
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，目标函数3
6
y z x -=-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根据图像得到答案. 【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示， 目标函数3
6
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率. 直线330x y -+=与直线10x y +-=交于点13(,)22
A -，
由图可知，当可行域内的点为A 时，PA k 最小，故min 33
321
1362
z -==--. 故选：D .
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny +-=上，其中·0m n >，则
41
m n
+的最小值为（） A ．16 B ．24
C ．50
D ．25
【答案】D 【解析】 【分析】
由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值． 【详解】
令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，
则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴
41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n
++ 4n 4m
m n
⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，
故则
41
m n +的最小值为25， 故选D ． 【点睛】
本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．
12．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r
，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可. 【详解】
解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r
，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
13．已知M 、N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪
⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||MN 的最大值是（ ）
A 17
B 34
C ．32
D ．
172
【答案】A 【解析】
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN的最大值为BD=2
1417
+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
14．已知直线21
y kx k
=++与直线
1
2
2
y x
=-+的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）
A．
1
2
k>B．
1
6
k<-或
1
2
k>C．62
k
-<<D．
11
62
k
-<<
【答案】D
【解析】
【分析】
联立
21
1
2
2
y kx k
y x
=++
⎧
⎪
⎨
=-+
⎪⎩
，可解得交点坐标(,)
x y，由于直线21
y kx k
=++与直线
1
2
2
y x
=-+的交点位于第一象限，可得
x
y
>
⎧
⎨
>
⎩
，解得即可．
【详解】
解：联立21122y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得24216121k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩
， Q 直线21y kx k =++与直线122
y x =-+的交点位于第一象限， ∴2402161021
k k k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得：1162k -<<． 故选：D ．
【点睛】
本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．
15．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【解析】
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+= (
)212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
16．某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( )
A．16
9
π
B．
8
9
π
C．
16
27
π
D．
8
27
π
【答案】A
【解析】
【分析】
根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．
【详解】
解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，
则由题意可得
3
23
r x
-
=，
3
3
2
x r
∴=-，
∴圆柱的体积为23
()(3)(02)
2
V r r r r
π
=-<<，
则3
333
3
163331616
442
()(3)()
9442939
r r r
V r r r r
ππ
π
++-
=-=
g g g g
…．
当且仅当
33
3
42
r r
=-，即
4
3
r=时等号成立．
∴圆柱的最大体积为
16
9
π
，
故选：A．
【点睛】
本题考查圆柱的体积和基本不等式的实际应用，利用条件建立体积函数是解决本题的关键，是中档题．
17．已知实数x y
，满足
10
30
350
x y
x y
x y
-+≥
⎧
⎪
+-≥
⎨
⎪--≤
⎩
，则()2
2
(4)2
z x y
=-+-的最小值为（）A5B．5C．3D．
5
2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意作出其平面区域，22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，求阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方最小值即可．
【详解】
解：由题意作出实数x ，y 满足1030350x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩
……
„平面区域， 22(4)(2)z x y =-+-可看成阴影内的点到点(4,2)P 的距离的平方，
则22(4)(2)z x y =-+-的最小值为P 到350x y --=的距离的平方， 解得，222
2523(1)d -⎛⎫+ ⎪= ⎝⎭=⎪； 所以min 52
z =
故选：D ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，用到了表达式的几何意义的转化，属于中档题．
18．设x ∈R ，则“|1|1x -<”是“2
20x x --<”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，22012x x x --<⇒-<<，故为充分不必要条件.
19．已知,a b 都是正实数，则222a b a b a b
+++的最大值是（ ） A
．2 B
．3- C
．1 D ．43
【答案】A 【解析】
【分析】 设2,2m a b n a b =+=+，将
222a b a b a b +++，转化为2222233a b n m a b a b m n +=--++，利用基本不等式求解.
【详解】
设2,2m a b n a b =+=+， 所以22,33m n n m a b --=
=，
所以222222233a b n m a b a b m n +=--≤-=-++， 当且仅当
233n m m n =时取等号. 所以222a b a b a b +++
的最大值是2-. 故选：A
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
20．已知x ，y 满足约束条件1,22,326,x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22x y z +≥恒成立，则实数z 的最大值为
（ ）
A
．2 B ．25 C ．12 D ．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据22x y +的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22x y z +≥恒成立，只需()22min z x y ≥+，
因为22x y +表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10x y +-=的距离的平方最小， 其中最小值距离为22122
11d -=
=+，则212d =，即12z ≤ 所以数z 的最大值
12
． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22x
y +的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能
力．。