精品教育新版高中数学人教A版选修2-2习题：第二章推理与证明 检测A

第二章检测(A)
(时间:90分钟满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于()
A.28
B.32
C.33
D.27
解析由5-2=3,11-5=6,20-11=9,x-20=12,得x=32.
答案B
2用反证法证明一个命题时,下列说法正确的是()
A.将结论与条件同时否定,推出矛盾
B.肯定条件,否定结论,推出矛盾
C.将被否定的结论当条件,经过推理得出的结论只与原题条件矛盾,才是反证法的正确运用
D.将被否定的结论当条件,原题的条件不能当条件
答案B
3由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想“正四面体的内切球切于四个
面”.()
A.各正三角形内一点
B.各正三角形的某高线上的点
C.各正三角形的中心
D.各正三角形外的某点
解析正三角形的边对应正四面体的面,即正三角形所在的正四面体的面,所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心.故选C.
答案C
4已知c>1,a=,b=,则正确的结论是()
A.a>b
B.a<b
C.a=b
D.a,b大小不定
解析∵a=,b=,而,∴a<b.答案B
5下列结论正确的是()
A.当x>0,且x≠1时,lg x+≥2
B.当x>0时,≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2
D.当0<x≤2时,x-无最大值
解析选项A错在lg x的正负不明确;选项C错在等号成立的条件不存在;根据函数f(x)=x-的单调性,当x=2时,f(x)取最大值,故选项D错误.
答案B
6观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=()
A.28
B.76
C.123
D.199
解析利用归纳
法:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8 +b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.
规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.
答案C
7设x i,a i(i=1,2,3)均为正实数,甲、乙两位同学由命题“若x1+x2=1,则≤()2”分别推理得出了新命题:
甲:若x1+x2+x3=1,则≤()2;
乙:若x1+x2+x3+x4=1,则≤()2.
他们所用的推理方法是()
A.甲、乙都用演绎推理
B.甲、乙都用类比推理
C.甲用演绎推理,乙用类比推理
D.甲用归纳推理,乙用类比推理
答案B
8已知数列{a n}的前几项为,…,则猜想数列{a n}的通项公式为()
A.a n=
B.a n=
C.a n=
D.a n=
解析,…,于是猜想数列{a n}的通项公式为a n=.
答案C
9已知数列{a n}的前n项和S n=n2·a n(n≥2,n∈N),而a1=1,通过计算a2,a3,a4,猜想a n等于() A. B.
C. D.
解析∵S n=n2·a n(n≥2),a1=1,
∴S2=4a2=a1+a2⇒a2=,
S3=9a3=a1+a2+a3⇒a3=,
S4=16a4=a1+a2+a3+a4⇒a4=.故猜想a n=.
答案B
10用数学归纳法证明“1++…+<n(n∈N*,n>1)”时,由n=k(k>1)不等式成立,推证
n=k+1时,左边应增加的项数是()
A.2k-1
B.2k-1
C.2k
D.2k+1
答案C
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11已知x,y∈R,且x+y<2,则x,y中至多有一个大于1,在用反证法证明时,假设应
为.
解析“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”,故其对立面为“x,y都大于1”.
答案x,y都大于1
12观察数列,3,,3,…,写出该数列的一个通项公式为.
解析将各项统一写成根式形式为,…即,…,被开方数是正奇数的3倍,故a n=(n∈N*).
答案a n=(n∈N*)
13以下是对命题“若两个正实数a1,a2满足=1,则a1+a2≤”的证明过程:
证明:构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数x,恒有f(x)≥0,所以Δ≤0,从而得4(a1+a2)2-8≤0,所以a1+a2≤.
根据上述证明方法,若n个正实数满足+…+=1,你能得到的结论为(不必证明).
解析依题意,构造函数f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2,
则有f(x)=nx2-2(a1+a2+…+a n)x+1,Δ=-4n=4(a1+a2+…+a n)2-4n≤0,
即有a1+a2+…+a n≤.
答案a1+a2+…+a n≤
14若等差数列{a n}的前n项之和为S n,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:若等比数列{b n}的前n项之积为T n,则T4,,,成等比数列.
解析本题是数列与类比推理相结合的问题,既考查了等差数列与等比数列的知识,又考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力.
答案
15设C1,C2,C3,…为一组圆,其作法如下:C1是半径为a的圆,在C1的圆内作四个相等的圆C2(如图),每个圆C2和圆C1都内切,且相邻的两个圆C2均外切;在C2的每一个圆中,用同样的方法作四个相等的圆C3,依此类推作出C4,C5,C6,….
(1)其中C2中每个圆的半径长等于(用a表示);
(2)猜想C n中每个圆的半径长为(用a表示,不必证明).
答案(-1)a(-1)n-1a
三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16(8分)若x,y>0,且x+y>2,求证:<2和<2中至少有一个成立.
证明假设≥2,且≥2,则1+x≥2y,1+y≥2x,所以(1+x)+(1+y)≥2y+2x,即x+y≤2,与题设矛盾.故假设不成立,原命题成立.
17(8分)已知命题“若数列{a n}是等比数列,且a n>0,则数列{b n},b n=(n∈N*)也是等比数列”.类比这一性质,你能得到关于等差数列的一个什么性质?并证明你的结论.
解类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{a n}是等差数列,则数列
{b n},b n=也是等差数列.证明如下:
设等差数列{a n}的公差为d,则b n==a1+(n-1),所以数列{b n}是以a1为首项,为公差的等差数列.
18(9分)设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.
(1)求数列{x n}的通项公式;
(2)记T n=,证明:T n≥.
(1)解y'=(x2n+2+1)'=(2n+2)x2n+1,曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2,
从而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标x n=1-.
(2)证明由题设和(1)中的计算结果知
T n=.
当n=1时,T1=.
当n≥2时,因为,
所以T n>×…×.
综上可得对任意的n∈N*,均有T n≥.
19(10分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.求证:直线AC经过原点O.
证明因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,
所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+,代入抛物线方程,可得y2-2pmy-p2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1,y2是该方程的两个根,
所以y1y2=-p2.
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,
所以点C的坐标是,
故直线CO的斜率为k=,
即k也是直线OA的斜率.故直线AC经过原点O.
20(10分)设f(n)=1++…+,问是否存在关于自然数n的函数g(n)使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切自然数都成立?若存在,证明你的结论.
解当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],
得g(2)==2,
当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],
得g(3)==3,
猜想g(n)=n(n≥2).
下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.
①当n=2时,由上面计算知,等式成立.
②假设当n=k时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]恒成立.
则当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)·-k=(k+1)[f(k+1)-1],
所以当n=k+1时,等式也成立.
由①②知,对一切n≥2的自然数n,等式都成立,
故存在函数g(n)=n,使等式成立.。