2013北京中考数学代数综合的命题形式学生版

2013北京中考数学代数综合的命题形式
题型一：以方程为主导的命题
本题型主要是以一元二次方程为主导，考查一元二次方程的解法、根的判别式、不等
式的解法等知识，含有字母系数的方程的解法与根的判别式是考查的重点。

例1：（2013东城一模23） 已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．
（1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）当m 为何整数时，原方程的根也是整数．
例2（2013平谷一模23）已知关于m 的一元二次方程2
21x mx +-=0. （1）判定方程根的情况；
（2）设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于
3
2
，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．
题型二：以函数为主导的命题
本题型以函数为背景，在考查函数基本性质的基础上更加注重考查学生的综合能力，具体考查点：1）待定系数法；2）函数图像与坐标轴的交点处理（方程思想）；3）函数图像之间的交点处理（方程思想）；4）点与函数图像的关系；5）函数图像的变换（平移、对称、旋转）；6）比较大小（不等关系）。

例3（2013海淀一模23）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
2y mx mx n =-+与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标为(2,0)-． （1）求B 点坐标； （2）直线
y =
1
2
x +4m +n 经过点B . ①求直线和抛物线的解析式；
②点P 在抛物线上，过点P 作y 轴的垂线l ，垂足为(0,)D d ．将抛物线在直线l 上方的部分沿直线l 翻折，图象
的其余部分保持不变，得到一个新图象G ．请结合图象回答：当图象G 与直线
y =
1
2
x +4m +n 只有两个公共点时，d 的取值范围是 ．
例4（2013朝阳一模23）二次函数213
4
y x x n =++-
的图象与x 轴只有一个交点；另一个二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交于两点，这两个交点的横坐标都是整数，且m 是小于5的整数．
求（1）n 的值；
（2）二次函数2222(1)46y nx m x m m =--+-+的图象与x 轴交点的坐标．
例5（2013丰台一模23）二次函数2
y x bx c =++的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．
（1） 求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．
例6（2013燕山一模23）己知二次函数)12(22
1-+-=t tx x y (t >1)的图象为抛物线1C ．
⑴求证：无论t 取何值，抛物线1C 与x 轴总有两个交点；
⑵已知抛物线1C 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧)，将抛物线1C 作适当的平
移，得抛物线2C ：2
2)(t x y -=，平移后A 、B 的对应点分别为D (m ，n )，E (m ＋2，n )，求n 的值．
O x
y
3
2-1
12
1
-1
⑶在⑵的条件下，将抛物线2C 位于直线DE 下方的部分沿直线DE 向上翻折后，连同2C 在DE 上方的部分组成一个新图形，记为图形G ，若直线b x y +-=2
1
(b <3)与图形G 有且只有两个公共点，请结合图象求b 的取值范围．
例7（2013海淀二模23）已知：抛物线2
(2)2y ax a x =+--过点(3,4)A ． （1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线2
(2)2y ax a x =+--在直线1y =-下方的部分沿直线1y =-翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ．点()1,M m y 在图象G 上，且10y ≤．
①求m 的取值范围；
②若点()2,N m k y +也在图象G 上，且满足24y ≥恒成立，则k 的取值范围为 ．
例8（2013大兴二模23）已知：如图，抛物线L 1：y=x 2
﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．
（1）直接写出点A 和抛物线L 1的顶点坐标；
（2）研究二次函数L 2：y=kx 2
﹣4kx+3k （k ≠0）．
①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；
②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否会因k 值的变化而发生变化？如果不会，请
求出EF 的长度；如果会，请说明理由．
例9（2013怀柔二模23）已知二次函数m x x y ++=22
的图象C 1与x 轴有且只有一个公共点.
（1）求C 1的顶点坐标；
（2）将C 1向下平移若干个单位后，得抛物线C 2，如果C 2与x 轴的一个交点为A （—3，0），求C 2的函数关系式，
并求C 2与x 轴的另一个交点坐标； （3）若.,),2(),,(21121y y C y Q y n P >且上的两点是直接写出实数n 的取值范围.
题型三：以方程~函数综合为主导的命题
本题型以方程、函数为载体，考查方程函数的综合思想。

考查热点：1）含有字母系数的方程或函数的属性；（分类讨论）2）函数图像与坐标轴的交点问题；（方程思想）3）待定系数法；4)点与函数图像的关系；5)函数图像的变换（平移、对称、旋转）6)代数式化简求值；
例10（SYYM23）.已知关于x 的方程2
(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.
（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.
例11（2013西城一模23）已知关于x 的一元二次方程22(4)0x a x a +++=． (1) 求证：无论a 为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2) 抛物线21:2(4)C y x a x a =+++与x 轴的一个交点的横坐标为
2a ，其中0a ≠，将抛物线1C 向右平移14
个单位，再向上平移
1
8
个单位，得到抛物线2C ．求抛物 线2C 的解析式；
(3) 点A (m ,n )和B (n ,m )都在(2)中抛物线C 2上，且A 、B 两点不重合，求代数式
33222m mn n -+的值．
例12（2013门头沟一模23）已知关于x 的一元二次方程
2
1(2)2602
x m x m +-+-=． （1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根； （2） 当<3m 时，关于x 的二次函数2
1(2)262
y x m x m =
+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象
的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线1
3y x b =+与图象G 只有一
个公共点时，b 的取值范围．
x
y
1 1
O
例13(2013怀柔一模23)已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;
（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;
（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.
例14（2013东城二模23）已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2
=--+-x m x m （m 为实数）. （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）求证：抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个定点； （3）若m 是整数，且关于
x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m 有两个不相等的整数根时，把抛物线
1)2()1(2--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
例15（2013朝阳二模23）已知关于x 的一元二次方程x 2+(4-m )x +1-m = 0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）此方程有一个根是-3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+1-m
向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值．
例16（2013丰台二模23）已知关于x的方程2(2)30
--+-=.
x m x m
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）设抛物线2(2)3
=--+-与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=-x的对称点恰好
y x m x m
是点M，求m的值.
y
O1
x
（备图）。