2014届高考数学模拟试题名师解析十二(山东理)

2014届高考数学模拟试题名师解析十二（山东理）
参考公式：
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()
1()(n k p p C k P k
n k
k
n n =-=-
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。

1．设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b
a i
+为纯虚数”的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知全集U R =，集合{|2A x x =<-或3}x >，2{|340}B x x x =--≤，
则集合A B =
（ ）
A ．{|24}x x -≤≤
B ．{|13}x x -≤≤
C ．{|21}x x -≤≤-
D ．{|34}x x <≤
3．已知变量,x y 满足约束条件2
11y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则3z x y =+的最大值为
（ ）
A ．12
B ．11
C ．3
D ．-1 4．等差数列{}n a 中，若
75913a a =，则139
S
S =
（ ）
A ． 1
B ．
13
9
C ．
913
D ．2 5．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则BC =
（ ）
A
．
C
D
6．已知命题p ：函数
12x y a +=-恒过（1，2）点；命题q ：若函数(1)f x -为偶函数，则()f x
的图像关于直线1x =对称，则下列命题为真命题的是
（ ）
A ．p q ∧
B ．p q ⌝∧⌝
C ．p q ⌝∧
D ．p q ∧⌝
7．定义在R 上的奇函数()f x 满足：对任意
[)12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，都有
1212()[()()]0x x f x f x -->，则
（ ）
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<-
8．在某跳水运动员的一项跳水实验中，先后要完成6个动作，其中动作P 只能出现在第一步或最后
一步，动作Q 和R 实施时必须相邻，则动作顺序的编排方法共有
（ ）
A ．96种
B ．48种
C ．24种
D ．144种
9．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图 是腰长为1的两个
全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为
（ ）
A ．12π
B ．
C ．3π
D ． 10．如果函数2()ln(1)a f x x b =-
+的图象在1x =处的切线l 过点1(0,)b
-，并且l 与圆C ：22
1x y +=相离，则点（a ，b ）与圆C 的位置关系是
（ ）
A ．在圆内
B ．在圆外
C ．在圆上
D ．不能确定
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为 ．
12．若
1
1
(2)3ln 2(1)a
x dx a x
+=+>⎰
，则a 的值是
13．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2
a B C c B A
b +=
且a b >，则B ∠= ．
14．若存在实数1[,2]3x ∈满足2
2x a x
>-，则实数a 的取值范围是 ．
15． 已知点P 是△ABC 的中位线EF 上任意一点，且EF//BC ，实数x ，y 满足0=+
+PC y PB x PA 。

设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记3
2332211·,,,λλλλλ则===S S S S S S 取最大值时，y x +2的值为_____________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分） 16．（本题满分12分）
在ABC ∆中，a =3，b ，B ∠=2A ∠.
（Ⅰ）求cos A 的值; （Ⅱ）求c 的值．
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用
ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
（Ⅰ）记“函数
ξ
+
=2
)
(x
x
f x为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（Ⅱ）求
ξ的分布列和数学期望．
如图，在四面体
BCD A -中，⊥AD 平面BCD ，22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是
AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且QC AQ 3=.
（Ⅰ）证明://PQ 平面BCD ; （Ⅱ）若二面角D BM C --的大小为060，求BDC ∠的大小.
19．（本小题满分12分） 在数列{}n a 中，已知)(log 32,41
,41*4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==
+． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列{}n b 是等差数列； （Ⅲ）设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n S ．
椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的左、右焦点分别是12,F F ，
过1F 且垂直于
x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程;
（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM
交C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过P 点作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点，
设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明
12
11
kk kk +为定值，并求出这个定值．
已知函数
ln ()x x k f x e
+=（k 为常数，
2.71828...e =是自然对数的底数），曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行． （Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设
2()()'()g x x x f x =+，其中'()f x 是()f x 的导函数．证明：对任意0x >，
2()1g x e -<+．
20，
=ξξ
∴的数学期望为 。

18．解：（(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是
BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以//PQ 面BDC
;
方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以
1
//2
PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且
3AQ QC =,所以11
//
//42
QH AD MD ,所以////PO QH PQ OH ∴,且OH
BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;由已知得到813BM =+=,设BDC α∠=,所以 cos ,sin 22cos ,22cos sin ,22sin ,CD CG CB
CD CG BC BD CD BD
αααααα===⇒===, 在RT BCG ∆中,2sin 22sin BG
BCG BG BC
ααα∠=∴=∴=,所以在RT BHG ∆中,
22
122sin 3322sin HG HG α
α
=∴=,所以在RT CHG ∆中
222cos sin tan tan 60322sin 3
CG CHG HG αα
α
∠===
=tan 3(0,90)6060BDC ααα∴=∴∈∴=∴∠=.
19、解：（1）∵411=+n n a a ,∴数列｛n a ｝是首项为41，公比为41的等比数列，∴)()4
1
(*N n a n n ∈=．
（2）∵2log 34
1-=n n a b ,∴14
13log ()2324
n
n b n =-=-．∴n≥2时，b n —b n-1=3，∴11=b ，
公差d=3,∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列．
（3）由（1）、（2）知，n n a )41(=，23-=n b n （n *N ∈）∴)(,)4
1
()23(*N n n c n n ∈⨯-=．
∴n n n n n S )41
()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①
于是1432)4
1
()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ②
两式①-②相减得132)4
1
()23(])41()41()41[(34143+⨯--+⋯+++=n n n n S
=1)41()23(21+⨯+-n n ．∴ )()4
1(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+． 20．解：(Ⅰ)由于222c a b =-,将x c =-代入椭圆方程22221x y a b +=得
2
b y a =±
由题意知221b a =,即22a b =
又c
e a =
= 所以2a =,1b = 所以椭圆方程为2
214x y +=
1||||PF PM PF PM ⋅=2||||PF PM PF PM ⋅,1||PF PM PF ⋅=2||
PF PM
PF ⋅,设1211kk kk +=-。