比赛项目排序的研究

比赛项目排序的研究
（马元陈三磊刘世家）
摘要：本论文研究了比赛中经常碰到的问题，即如何合理安排赛程，使得连续参加两
项比赛的运动员人数达到最少，达到公平的目的。

通过对题目的分析并结合实际，提出
合理假设，把参赛表转化为0-1矩阵，运用有关矩阵的知识，结合运筹学中图与网络分
析原理，利用Matlab和WinQSB软件分析并计算出结果，最终给出合理的比赛项目顺序，并提出优化的建议和方案。

关键词： 0-1矩阵 WinQSB Matlab 图与网络分析 Hanmilton回路
一、问题的提出
在各种运动比赛中，为了使比赛公平、公正、合理的举行，一个基本要求是：在比
赛项目排序过程中，尽可能使每个运动员不连续参加两项比赛，以便运动员恢复体力，
发挥正常水平。

1．表1是某个小型运动会的比赛报名表。

有14个比赛项目，40名运动员参加比赛。

表中第1行表示14个比赛项目，第1列表示40名运动员，表中“＃”号位置表示运动员参加此项比赛。

建立此问题的数学模型，并且合理安排比赛项目顺序，使连续参加两
项比赛的运动员人次尽可能的少；
2．说明上述算法的合理性；
3．对“问题2”的比赛排序结果，给出解决“运动员连续参加比赛”问题的建议及
方案。

二、问题的分析
思路1：把表1看成是一个40*14的0-1矩阵，0表示运动员没有参加了这个项目，1表示参加，设此0-1矩阵为矩阵A，那么问题中安排合理的比赛顺序用数学语言表示为
调整A的列向量使之成为矩阵B，若B满足一定的条件后，会使B中行向量连续出现1的次数最少，那么B就是最终要排出的比赛项目矩阵。

在这个过程中，我们使用了Hanmilton回路、Matlab 、WinQSB软件等来求解B。

三、模型的建立
1 模型假设：
（1）每个运动员都能按时参加比赛；
（2）天气情况良好，不出现因天气原因中断比赛项目；
（3）单纯比赛项目的早与迟不影响运动员的技能发挥；
（4）两项比赛不会同时进行；
（5）运动员在一夜休息后，体力可以得到充分恢复；
（6）比赛中不考虑个人因素（如裁判不公等）影响比赛的公平性。

2 符号说明
A:初始矩阵
B:最优矩阵
i :运动员序号（i=1,2,…m）
j: 项目序号 (j=1,2,…,n)
b j:第j个项目 (j=1,2,…,n)
p i:初始矩阵A的列向量
x ij:第i个运动员参加的第j项项目，x ij=1表示参加，x ij=0表示不参加。

w rs:第r项比赛项目对第s项的影响度(r,s=1,2…n)，即连续参加r项目和s项目的运动员人数。

W：表示影响力矩阵，即任意两个项目连续进行，导致连续参加两个比赛项目的运动
员人数的组合而形成的14*14矩阵,w rs为W矩阵的元素
3 模型的建立:
（1）把附录一变换为0-1矩阵A，如图附录二所示。

然后运用Matlab软件求出A矩阵的列矩阵A T
（2）求出影响力矩阵W
由符号说明，可知w rs=x r1* x s1+ x r2* x s2+ … + x rm* x sm由矩阵相关知识知W= A T *A,运用Matlab软件求得W矩阵如下
b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 b8 b9 b10 b11 b12 b13 b14
b1 6 2 1 2 0 0 1 0 1 2 1 1 1 1
b2 2 8 1 4 1 0 1 1 1 3 1 0 2 1
b3 1 1 6 1 0 0 0 3 1 1 0 2 2 1
b4 2 4 1 9 1 1 2 1 0 2 1 0 1 1
b5 0 1 0 1 7 2 0 1 1 1 0 1 1 2
b6 0 0 0 1 2 8 1 2 1 1 1 2 1 2
b7 1 1 0 2 0 1 7 1 1 1 0 2 2 1
b8 0 1 3 1 1 2 1 10 1 2 1 4 2 2
b9 1 1 1 0 1 1 1 1 6 1 1 1 3 1
b10 2 3 1 2 1 1 1 2 1 10 1 0 0 3
b11 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 6 3 1 1
b12 1 0 2 0 1 2 2 4 1 0 3 10 1 0
b13 1 2 2 1 1 1 2 2 3 0 1 1 8 4
b14 1 1 1 1 2 2 1 2 1 3 1 0 4 10 从矩阵中可以很清楚地看出任意两个比赛项目连续进行，导致连续参加两个项目的
运动员人数例w12表示若项目一与项目二排在一起，共有两个人连续参加了项目一与项
目二，而w11表示项目一与项目一的重复人数，这与本题无关，不予考虑。

此时问题演
变成如何安排14个项目的顺序，使得连续参加比赛的运动员人数最少。

即对矩阵
W=[b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,b10,b11,b12,b13,b14]的各列重新排序
四、模型的求解
（1）“旅行推销商”问题：一个推销商从n个城市v1 v2 v n中某一个城市出发，到其他n-1个城市推销商品，每个城市都必须访问并只经过一次，最后回到出发点，那么如
何安排他的旅行路线使其总距离最短。

我们发现，所求的问题与“旅行推销商”问题很相似，我们可以将此W矩阵问题看作为14个城市，现在就是要使连接这14个城市的路线最短，只不过“旅行推销商”问题是一个闭环的回路，项目排序问题是一条直线而已，如果我们运用Hamilton回路解法求出最优解，再在这个闭环回路中找出距离最长（即影响力最大的两个相临项目）
的两个项目，从中把它割段，使闭环回路变成一条直线，便可得到我们所要的模型的解
了
定义：[Hamilton回路]设b1, b2, b3…b n是图G中的n个顶点，若有一条从某一顶点b j(1≤j≤n)出发，经过各节点一次且仅一次，最后返回出发点b j的回路，则称此回路为Hamilton回路。

形成的圈称为H圈。

（2）Hamilton回路求解原理：
1,任取初始H圈：C0=v1 ,v2…v i,…v j…,v n, v1
2,对所有的i,j,1<i+1<j<n,若w(v i,v j)+w(v i+1,v j+1)< w(v i,v i+1)+w(v j, v j+1)
则在C0删去边(v i,v i+1)和(v j, v j+1)而加入边(v i,v j)和(v i+1,v j+1)，形成新的H 圈C，即：
C=v1,v2,…,v i ,v j ,v j-1 ,…,v i+1 ,v j+1 ,…v n ,v 1
3,对C重复步骤（2），直到条件不满足为止，最后得到的C即为所求。

（3）运用WinQSB软件可以进行对hamilton回路的求解。

运行WinQSB软件，调用子程序Network Modeling,进入主界面后,选择Traveling Salesmen Problem,设置14个项目。

采用三种近似方法：最近城市法（Nearest Neighbor Heuristic），两两交换法（Cheapest Insertion Heuristic），逐步包围法（Tow-way Exchange Improvement Heuristic）求得的最优项目顺序中连续参赛的运动员人数依次为9，6，4，因为前两种方法的连续参赛运动员数目为9和6，大于第三种的4人，所以第三种方法优于前两种，则对于前两种方法不于考虑。

采用第三种方法求得的结果如下表：
从表中看出,从b14到b2，b8到b4,b9到b3,b5到b13，都有一人连续参加两项比赛。

所以断点处可以为四处任意一点，假设在b14到b2处断开，则比赛项目排序为b2,b6,b1,b8,b4,b9,b3,b11,b7,b5,b13,
b10,b12,b14。

按照此种排序，共有三人连续参加了两项比赛。

转换为网络图如下所示
（粗线处为断开点）：
进一步简化图表为：
2 6 1 8 4
11 3 9
7
5
13 10 12 14。