2021-2022学年广西柳州市民族高中高一年级下册学期3月月考数学试题【含答案】

2021-2022学年广西柳州市民族高中高一下学期3月月考数学试题
一、单选题1．已知复数满足
，则的虚部为（ ）
z 32i
1i z +=
-z A ．B ．C ．D ．
12
52
1i 2
52i 【答案】B
【分析】先利用复数除法化简复数，进而求得复数的虚部
z z 【详解】
()()()()
32i 1i 32i 15i 15
i 1i 1i 1i 222z ++++=
===+--+则的虚部为z 5
2
故选：B
2．已知向量，，则（ ）
(0,1)a = (2,1)b
=-2a b
+ A ．B
C ．
D ．24
【答案】B
【分析】利用平面向量的模公式求解.
【详解】因为，，
(0,1)a = (2,1)b
=-所以
，
()
22,1a b +=
所以
，|2|a b += 故选：B
3．已知向量，若，则m 的值为（ ）
(2,1),(5,2)a m b == //a b A ．B ．C ．D ．15
-1552
-54
【答案】D
【分析】根据平行向量的坐标表示计算即可.
【详解】且，//a b (2,1)(5,2)a
m b == ，22150m ∴⨯-⨯=解得
，
54m =
故选：D.
4．向量，
，，
，的夹角是（ ）
a b 1= b 2a b -= a b A ．B ．C ．D ．π
6π32π35π6【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式
求出，从而得
a b ⋅
cos a b
a b
θ⋅=⋅
cos θ解；
，
，
，即，
1
= b 2a b -=
()2
213a b
-= 2
24413a
a b b -⋅+=
即
，所以，设与的夹角为，则，
224413
a a
b b -
⋅+=
32a b ⋅=- a b
θcos a b a b θ⋅==
=⋅ 因为
，所以
；
[]
0,πθ∈5π
6θ=
故选：D 5．在中，，则三角形的形状为（ ）
ABC 1cos b c
A c ++=
A ．直角三角形
B ．等腰三角形或直角三角形
C ．正三角形
D ．等腰三角形
【答案】A
【分析】利用余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到的形状为直角三角形.
222
c b a =+ABC 【详解】中，
，
ABC 1cos b c
A c ++=
则
，整理得，则，22212b c a b c bc c +-++=
22
2c b a =+=90C ∠ 则的形状为直角三角形，ABC 故选：A.
6．如图，A 处为长江南岸某渡口码头，北岸B 码头与A ，江水向正东
流.已知
()AD
一渡船从A 码头按方向以的速度航行，且，若航行到达北岸的B 码头，
AC
10km /h 30BAC ∠=︒0.2h 则江水速度是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．/h /h
5km /h
1km /h
【答案】C
【分析】由力学可知的位移是由和水流合成的，故满足平行四边形法则，解这个平行四
AB AC AE 边形即可.【详解】如图，
以方向为邻边，为对角线作平行四边形，渡船经过小时航行，,AD AC AB AEBF 0.2h 0.2102km ⨯=
即，由题意，，，由余弦定理得
2km AF =AB =30BAF ∠=︒
.所以，渡船在按
222222cos302221km BF AB AF AB AF =+-⋅⋅=+-=︒1km BF =方向航行时，江水向方向流，形成合位移使渡船沿到达北岸B 码头，此时水流动距离
AC AD AB
为，则水流速度为，
1km AE BF ==1
5km
0.2=故选：C.
7．如图所示，在中，，，，AD 为BC 边上的高，；
ABC 2AB =3BC =60ABC ∠=︒25AM AD
= 若，则的值为（ ）
AM AB BC λμ=+ λμ+
A ．
B ．
C ．
D ．4
3815
23
415
【答案】B
【分析】根据题意求得，化简得到，结合，求得
1BD =22515AM AB BC
=+
AM AB BC λμ=+ 的值，即可求解.
,λμ【详解】在中，，，，AD 为BC 边上的高，
ABC 2AB =3BC =60ABC ∠=︒可得，cos 601BD AB ==
由
222122()()5553515AM AD AB BD AB BC AB BC
==+=+=+ 又因为，所以
，所以.AM AB BC λμ=+ 22,515λμ==815λμ+=故选：B.
8．中，，D 为AB 的中点，，则（ ）
ABC 4AB =2AC =2BE EC =
CD AE ⋅= A ．0B ．2C ．-2D ．-4
【答案】A
【分析】取为基底，表示出即可求解.
,AB AC
,CD AE 【详解】在中，D 为AB 的中点，，取为基底，
ABC 2BE EC =
,AB AC 所以,
()
22123333AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC
=+=+=+-=+ .
12CD AD AC AB AC
=-=- 所以.
CD AE ⋅= 112233AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
221263AB AC
=- 因为，，所以.
4AB =2AC =221212
1640
63
63AB AC -=⨯-⨯= 即
.0CD AE ⋅= 故选：A
二、多选题
9．下面的命题正确的有（ ）A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等
C ．若，满足且与同向，则a b ||||a b > a b a b
> D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且”“四边形ABCD 是平行四边形”
AB DC =
⇔【答案】AD
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可.【详解】对于A ，由相反向量的概念可知A 正确；
对于B ，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B 错误；对于C ，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C 错误；
对于D ，若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且，
AB DC = 可得，且，故四边形ABCD 是平行四边形；//AB DC AB DC =若四边形ABCD 是平行四边形，可知，且，
//AB DC AB DC =此时A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且，故D 正确.
AB DC =
故选：AD.
10．下列说法中错误的是（ ）
A ．已知，，则与可以作为平面内所有向量的一组基底
()1,3a =- ()1,3b =- a b
B ．若与共线，则
a b a b
a b ⋅= C ．若两非零向量，满足，则a b a b a b
+=- a b ⊥ D ．平面直角坐标系中，，，，则为锐角三角形
()
1,1A ()4,2
B ()5,0
C ABC 【答案】ABD
【分析】利用基底定义判断选项A ；利用向量数量积定义判断选项B ；利用向量垂直充要条件判断选项C ；利用向量夹角定义判断选项D.【详解】选项A ：已知
，
，则，则与不可以
()
1,3a =-
()
1,3b =-
//a b a b 作为平面内所有向量的一组基底.判断错误；
选项B ：若与共线，则或.判断错误；
a b a b
a b ⋅= a b a b ⋅=- 选项C ：若两非零向量，满足，则
a b a b a b +=- 22
a b a b
+=-
即
，整理得，则.判断正确；
()()2
2
a b
a b
+=- 0a b ⋅= a b ⊥
选项D ：平面直角坐标系中，
，，，
()
1,1A ()4,2
B ()5,0
C 则，
，(3,1)BA =-- (1,2)BC =-
则cos ,BA BC = 又
，则，则
[]
,0,πBA BC ∈
π,π2BA BC << ππ2ABC <∠<则为钝角三角形. 判断错误.ABC 故选：ABD
11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（ ）,,a b c ABC ,,A B C A ．若是锐角三角形，则ABC sin cos A B >B ．若，则是等腰三角形cos cos a A b B =ABC C ．若，则是等腰三角形
cos cos b C c B b +=ABC D ．若是等边三角形，则ABC cos cos cos a b c
A B C ==
【答案】ACD
【分析】利用诱导公式及正弦函数的性质可判断A ，由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B ，由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C ，利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D.
【详解】对于A ，因为是锐角三角形，所以，所以
，即ABC 2A B π+>
sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故A 正确；
sin cos A B >对于B ，由及正弦定理，可得，即，所以
cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故B 错
22A B =22A B π+=A B =2A B π
+=
ABC 误；
对于C ，由及正弦定理化边为角，可知，即
cos cos b C c B b +=sin cos sin cos sin B C C B B +=，因为为的内角，所以，所以是等腰三角形，故C 正确；
sin sin A B =,A B ABC A B =ABC 对于D ，由是等边三角形，所以，所以，由正弦定理
ABC A B C ==tan tan tan A B C ==，故D 正确.cos cos cos a b c
A B C ==
故选：ACD.
12．在中，角所对的边分别为，已知，则下列结
ABC ,,A B C ,,a b c ()()()::4:5:6b c c a a b +++=论正确的是（ ）A ．B ．sin :sin :sin 7:5:3A B C =0
CA CB ⋅< C ．若，则的面积是15D ．若，则
6c =ABC 8+=b c ABC 【答案】AD
【分析】设，，，，求出
，，
，根据正弦定理4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >72a t =
5
2b t =32c t
=可判断A 正确；根据平面向量数量积和余弦定理可判断B 不正确；根据余弦定理和三角形面积公式可判断C 不正确；根据余弦定理和正弦定理可判断D 正确.【详解】设，，，，4b c t +=5c a t +=6a b t +=0t >则，，
，72a t =
5
2b t =32c t
=对于A ，
，故A 正确；753
sin :sin :sin ::::222A B C a b c t t t
==7:5:3=对于B ，，故B 不正确；CA CB ⋅ cos b a C
=⋅⋅222
2a b c ab ab +-=⋅
222214925965()24448t t t t =+-=0>对于C ，若，则，，，
6c =4t =14a =10b =所以
，所以，22219610036cos 221410a b
c C ab +-+-
==⨯⨯13
14=
sin C
===所以
的面积是C 不正确；
ABC 11sin 141022ab C =⨯⨯=对于D ，若，则，则，则，，，8+=b c 53
8
22t t +=2t =7a =5b =3c =所以，
，2224925913
cos 227514
a b c C ab +
-+-===
⨯⨯sin C =
==所以外接圆半径为.
故D 正确.
ABC 2sin c
C
==故选：AD
三、填空题13．已知复数
，若，则___________.
122(1)i, 45i(,)z x y z x y R =+-=-+∈12z z =x y +=
【答案】4
【分析】根据复数相等的概念求解即可.【详解】解：因为
122(1)i, 45i(,)
z x y z x y R =+-=-+∈所以，解得2415x y =-⎧⎨-=⎩26x y =-⎧⎨=⎩所以4x y +=故答案为：414．已知
，
，若
，则______．
()
1,a m =
()
3,4b =-
(
)a a b
⊥- m =【答案】2
【分析】求出的坐标，由推出，列出方程即可求得m .
a b -
()a a b ⊥- ()0⋅-= a a b 【详解】已知，
，
()
1,a m =
()
3,4b =-
所以，
()
4,4a b m -=-
由
可得，解得．
(
)a a b
⊥- ()440m m +-=2m =故答案为：2.15．已知
，
，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______．
()
1,2a =
()
1,1b =
a a
b λ+
λ【答案】()
5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭【分析】先利用题意算出，再利用平面向量夹角为锐角的充要条件，列出不等
()
1,2a b λλλ+=++
式求解作答【详解】解：因为
，
，所以
，
()
1,2a =
()
1,1b =
()
1,2a b λλλ+=++
因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，
a a
b λ+ ()
0a a b λ+⋅> a a b λ+ 所以
且
，
()1220
λλ+++>()212λλ
+≠+解得
且，所以的取值范围为，
5
3λ>-
0λ≠λ()
5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()
5,00,3⎛⎫
-⋃+∞ ⎪⎝⎭
16．△的内角，，的对边分别为，，，若，，，则△
ABC A B C a b c 4a =22
3b c bc +=120A =︒
的面积为_______．
ABC
【分析】由余弦定理的边角关系可得，即可求，再利用三角形面积公式求面积
316
cos1202bc bc -︒=
bc 即可.
【详解】由余弦定理得：，则
，解得：，222cos 2b c a A bc +-=316
cos1202
bc bc -︒=
4bc =∴.
112sin 4sin 223ABC
S bc A π
==⨯⨯= 四、解答题17．已知，
，
．
4a = 3
b = (
)()
23261
a b a b -⋅+=
(1)求
；
a b
+
(2)求与的夹角；
a b 【答案】(2)2π3
【分析】（1）利用向量数量积的运算律可求得，根据
a b ⋅ a b +=
（2）利用向量夹角公式可求得
，进而确定夹角.cos ,a b <> 【详解】（1），
，()()
2223244337461a b a b a a b b a b -⋅+=-⋅-=-⋅= 6a b ∴⋅=-
a ∴+ （2）由（1）知：，，
6a b ⋅=- 61cos ,432a b a b a b
⋅∴<>==-=-
⨯⋅
，
.[],0,πa b <>∈ 2π,3a b ∴<>= 18．已知向量，，．
()a 1,2= ()b 3,4=- ()c 5,k =
若，求实数k 的值；
()1()
()a b a c 10+⋅-=-
若向量满足，且
．
()2m
m //a m =m
【答案】（1）；（2）
或
.
5k =()
m 3,6=
()3,6--【分析】（1）利用坐标运算可得
，解这个方程可得；
()()246210
k -⨯-+⨯-=-5k =（2）因向量共线故可设，利用已知的模长可得的值从而得到所求的向量．m a λ=
λ【详解】（1）由题设有，，
()2,6a b +=-
()
4,2a c k -=--
因为，故，所以．
(
)a b + ()
10a c -=-
()()246210k -⨯-+⨯-=-5k =（2）因为，故，所以，解得，
m a
(),2m a λλλ== 22445λλ+=3λ=±所以或．
()3,6m = ()3,6m =--
【点睛】如果，那么：
()()1122,0,,a x y b x y =≠=
（1）若，则存在实数使得 且；
//a b λb a λ=
12
21x y x y =（2）若，则；a b ⊥
1212
0x x y y +=19．在中，角的对边分别是，，，且ABC ,,A B C a b c 222
a c
b bc
-=-(1)求角A ；
(2)若，且的周长．2a =ABC ABC 【答案】(1)π
3
(2)6
【分析】（1）根据余弦定理即可求得角A ；
（2）由三角形面积求出，利用余弦定理结合完全平方公式求得，即得答案.
4bc =4b c +=【详解】（1）由题意在 中，，
ABC 222a c b bc -=-即，故
，
222
b c a bc +-=2221
cos 22b c a A bc +-==
由于 ，所以
.
(0,π)A ∈π3A =
（2）由题意，
,即, ，
ABC π
3A =
1sin 2ABC S bc A ===△4bc ∴=由 ,,得,
2a =222
2cos a b c bc A =+-2224()3b c bc b c bc =+-=+-则 ，
4b c +=故的周长为 .
ABC 6a b c ++=
20
的军事基地和，测得C D 蓝方两支精锐部队分别在处和处，且，
A B 30ADB ∠=︒，，，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.
30BDC ∠=︒
60DCA ∠=︒45ACB
∠=︒【分析】在中利用正弦定理求出，在中利用余弦定理求出．
BCD ∆BC ABC ∆AB 【详解】，
604515BCD DCA ACB ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ，
180135DBC BDC BCD ∴∠=︒-∠-∠=︒在中，由正弦定理得
，BCD ∆sin sin CD BC DBC BDC =∠
∠12BC
=解得
BC =
，，
60ADC ADB BDC ∠=∠+∠=︒ 60DCA ∠=︒是等边三角形，．ACD ∴∆AC CD ∴=在中，由余弦定理得
，ABC ∆
222232cos 8a AB BC AC AB AC ACB =
+-⋅⋅∠=AB ∴=∴【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题．
21．在中，，，，为边中点．ABC 6CA =8AB =π2BAC ∠=D BC (1)求的值；
AD CB ⋅ (2)若点满足，求的最小值；
P ()CP CA λλ=∈R PB PC ⋅
【答案】(1)14
(2)最小值为9
-【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出
A AC A
B 、x y 、、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；
AD CB （2）根据点在上，设
，求出、的坐标，则，利用二
P AC (),0P x PB PC ()(),86,0⋅=-⋅- PB PC x x 次函数配方求最值可得答案.【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标A AC AB 、x y 、系，
所以，，，
()0,0A ()0,8B ()
6,0C 为边中点，所以，，，D BC ()3,4D ()3,4= AD ()6,8=- CB 则
；183214⋅=-+= AD CB （2）若点满足
，则点在上，
P ()CP CA λλ=∈R P AC 由（1），设，则，，(),0P x (),8=- PB x ()6,0=- PC x 则，
()()()2,86,039⋅=-⋅-=-- PB PC x x x 所以当时的最小值为.
3x =PB PC ⋅ 9-
22．在中，
,点D 在边上，，求的长.
ABC 3,6,4A AB AC π===BC AD BD =AD
【详解】试题分析：根据题意，设出的内角所对边的长分别是，由余弦定理求ABC ∆,,A B C ,,a b c 出的长度，再由正弦定理求出角的大小，在中.利用正弦定理即可求出的长度.a B ABD ∆AD 试题解析：如图，
设的内角所对边的长分别是，由余弦定理得ABC ∆,,A B C ,,a b c
，2222232cos 626cos 1836(36)904a b c bc BAC π=+-∠=+-⨯⨯=+--=
所以a =
又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠=
=
由题设知，所以04B π
<<cos B ==
在中，由正弦定理得.
ABD ∆sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B B π⋅====-【解析】1.正弦定理、余弦定理的应用.。