2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2019届安徽省安庆一中高三下学期6月第四次模拟考试数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}
2log 1A x x =≥，{}
2
60B x x x =--<，则()R C A B ⋂等于（ ）
A ．{}
21x x -<< B ．{}
22x x -<<
C ．{}
23x x ≤<
D ．{}
2x x <
【答案】B
【解析】利用对数的单调性求出集合{}
2A x x =≥，一元二次不等式求出
{}23B x x =-<<，再利用集合的交并补运算即可求解.
【详解】
由{}{}
2log 12A x x x x =≥=≥，则{}
2R C A x x =<， 又{
}{
}
2
6023B x x x x x =--<=-<<， 所以(){}
22R C A B x x ⋂=-<<. 故选：B 【点睛】
本题考查了集合的交并补运算、对数函数的单调性解不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．i
C ．1-
D ．1
【答案】D
【解析】由已知等式求出z ，再由共轭复数的概念求得z ，即可得z 的虚部. 【详解】
由zi ＝1﹣i ，∴z ＝
()()
111·i i i i i i i ---==--- ，所以共轭复数z =-1+i ，虚部为1 故选D ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题． 3．设1k >，则关于,x y 的方程()2
2
2
11k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）
A ．长轴在y 轴上的椭圆
B ．长轴在x 轴上的椭圆
C ．实轴在y 轴上的双曲线
D ．实轴在x 轴上的双曲线
【答案】C
【解析】根据条件，方程()2
2
2
11k x y k -+=-．即22
2111
y x k k -=-+，结合双曲线的
标准方程的特征判断曲线的类型． 【详解】
解：∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，
方程()2
2
2
11k x y k -+=-，即22
2111
y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，
故选C ． 【点睛】
本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为22
21
11
y x k k -=-+是关键．
4．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题： ①若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若m α⊥，m β⊥，则//αβ； ③若//m n ，m α⊂，//αβ，则βn//；④若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④
C ．①④
D ．②④
【答案】D
【解析】根据面面垂直的判定定理可判断①；根据空间面面平行的判定定理可判断②；根据线面平行的判定定理可判断③；根据面面垂直的判定定理可判断④. 【详解】
对于①，若m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，α，β两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
对于②，若m α⊥，m β⊥，则//αβ，故②正确；
对于③，若//m n ，m α⊂，//αβ，当n β⊂，则n 与β不平行，故③错误； 对于④，若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥，故④正确； 故选：D
【点睛】
本题考查了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于基础题.
5．执行程序框图，则输出的数值为（ ）
A ．12
B ．29
C ．70
D ．169
【答案】C
【解析】由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量b 的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案. 【详解】
0a =，1b =，1n =，022b =+=，5n <，满足条件，
20
12a -=
=，2n =，145b =+=，5n <，满足条件， 5122a -==，3n =，21012b =+=，5n <，满足条件，
12252a -==，4n =，52429b =+=，5n <，满足条件，
295122a -==，5n =，125870b =+=，5n =，不满足条件，
输出70b =. 故选：C 【点睛】
本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.
6．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．
72
B ．
5319
C ．2319
-
D ．12
-
【答案】D
【解析】利用等差数列通项公式推导出λ131819d
d
-=+，由d ∈[1，2]，能求出实数λ取
最大值． 【详解】
∵数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15， ∴1+3d+λ（1+9d ）+1+15d ＝15，解得λ1318d
19d
-=+，
∵d ∈[1，2]，λ1318d 19d -=
=-+215
19d
++是减函数，
∴d ＝1时，实数λ取最大值为λ13181
192
-==-+．
故选D ． 【点睛】
本题考查实数值的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．函数()2
sin f x x x =-在[]22-,
上的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】利用函数的性质，特殊值法以及排除法，即可判断. 【详解】
因为(2)4sin 2f =-，而
222
3
π
π<<
， 所以334sin 24<-<， 所以排除,C D 项，
因为当2(]0,x ∈时，2
()sin f x x x =-， 则()2cos f x x x =-'，
因为cos y x =在(0,2]内单调递减，2y x =在(0,2]内单调递增， 如图，两函数只有一个交点，
所以()2cos f x x x =-'只有一个零点，故()f x 在(0,2]至多有一个极值点，排除A 项， 故选B 项. 【点睛】
本题主要考查了函数的图像判断，以及函数的相关性质，属于中档题.函数图像的识别可从以下几个方面入手：（1）从函数的定义域判断图像左右位置；从函数的值域判断图像的上下位置；
（2）从函数的单调性判断图像的变化趋势； （3）从函数的奇偶性判断图像的对称性； （4）从函数的周期性判断图像的循环往复； （5）取特殊点，把点代入函数，从点的位置判断；
（6）必要时可求导研究函数性质，从函数的特征点，排除不合要求的图像. 充分利用上述的几个方面，排除、筛选错误与正确的选项. 8．若函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02
π
θ<<）的图象过点()0,2，则（ ）
A ．函数()y f x =的值域是[]0,2
B ．点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
是()y f x =的一个对称中心
C ．函数()y f x =的最小正周期是2π
D ．直线4
x π
=
是()y f x =的一条对称轴
【答案】A
【解析】根据函数()f x 的图像过点()0,2，求出θ，可得()cos21f x x =+，再利用余弦函数的图像与性质，得出结论. 【详解】
由函数()()2sin 2cos f x x x θ=+⋅（02
π
θ<<
）的图象过点()0,2，
可得2sin 22θ=，即sin 21θ=，
22
π
θ∴=
，4
π
θ=
，
故()()2
2sin 2cos 2cos cos21f x x x x x θ=+⋅==+， 对于A ，由1cos21x -≤≤，则()02f x ≤≤，故A 正确； 对于B ，当4
x π
=
时，14f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，故B 错误； 对于C ，22
T π
π=
=，故C 错误； 对于D ，当4
x π
=时，14f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.
9．已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线
l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,2),
C ．(2,)+∞
D ．(1,2]
【答案】A
【解析】若过点F 且倾斜角为
3
π
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围． 【详解】
已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，
若过点F 且倾斜角为3
π
的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b
a
，
∴b a 2222
4a b e a +=…， 2e ∴…，
故选：A ． 【点睛】
本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．
10．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．
7
60
B ．
16
C ．
1360
D ．
14
【答案】C
【解析】分情况讨论，由间接法得到“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开的事件个数，不考虑限制因素，总数有6
6A 种，进而得到结果. 【详解】
当“数”位于第一位时，礼和乐相邻有4种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有3
3A 种
情况，由间接法得到满足条件的情况有51235423A C A A -
当“数”在第二位时，礼和乐相邻有3种情况，礼和乐顺序有2种，其它剩下的有33A 种，
由间接法得到满足条件的情况有5123
5323A C A A -
共有：51235123
53235423A C A A A C A A -+-种情况，不考虑限制因素，总数有66A 种，
故满足条件的事件的概率为：51235123532354236
613
60
A C A A A C A A A -+-= 故答案为：C. 【点睛】
解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
11．设函数1,2()21,2,1
a x f x log x x a =⎧=⎨-+≠>⎩，若函数2
()()()g x f x bf x c =++有三
个零点123,,x x x ，则122313x x x x x x ++=（ ） A ．12 B ．11
C ．6
D ．3
【答案】B
【解析】画出函数()f x 的图象，利用函数的图象判断函数的零点个数，然后转化求解，即可得出结果．
【详解】
作出函数
1,
2()21,2,1a
x f x log x x a =⎧
=⎨-+≠>⎩的图象如图所示，
令()f x t =，
由图可得关于x 的方程()f x t =的解有两个或三个（1t =时有三个，1t ≠时有两个）， 所以关于t 的方程20t bt c ++=只能有一个根1t =（若有两个根，则关于x 的方程
2()()0f x bf x c ++=有四个或五个根）， 由()1f x =，可得123,,x x x 的值分别为1,2,3， 则12231312231311x x x x x x ++=⨯+⨯+⨯=
故选B ． 【点睛】
本题考查数形结合以及函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于常考题型. 12．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，
点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+u u u u v u u u v u u u v
(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B 3
C ．2
D ．2【答案】C
【解析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到2x y +的表达式，进而得到最大值. 【详解】
以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆； 根据三角形面积公式得到
011
sin 6022
l r S AB AC ⨯⨯==⨯⨯⨯周长， 可得到内切圆的半径为1; 可得到点的坐标为：())
()()()3,0,3,0,0,3,0,0,cos ,1sin B C
A D M θθ-+ (
)
cos 3,1sin ,BM θθ=+u u u u v ))3,3,3,0BD BA =
=
u u u r
u u u v
故得到
(
))cos 3,1sin 33,3x BM x θθ=+=+u u u u v
故得到cos 333,sin 31x x θθ=+=-
1sin 3sin 2
333x y θθ+⎧=⎪⎪
⇒⎨⎪=+⎪⎩
，()sin 4242sin 2.33333x y θθϕ+=
++=++≤ 故最大值为：2. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
二、填空题
13．已知α，3,4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，
()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭______.
【答案】33
65
-
【解析】由已知利用同角三角函数的基本关系式可求得()sin αβ+，
sin 4πβ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
的值，由两角差的正弦公式即可计算得sin 4πα⎛
⎫
+ ⎪⎝
⎭
的值. 【详解】
Q α，3,4πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()4cos 5αβ+=，5cos 413πβ⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，
3,22παβπ⎛⎫
∴+∈ ⎪⎝⎭
，3,
424πππβ⎛⎫
-∈ ⎪⎝⎭
， ()
3
sin 5
αβ∴+==-，
12sin 413πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，
()sin sin 44ππααββ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫∴+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎝⎭⎣
⎦()()3541233sin cos cos sin 4451351365ππαββαββ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+--+-=-⨯--⨯=-
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭.
故答案为：3365
- 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.
14．设实数x ，y 满足20202xy x y x ≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
，则点(),P x y 表示的区域面积为______.
【答案】12ln2+
【解析】先画出满足条件的平面区域，求出交点坐标，利用定积分即可求解.
【详解】
画出实数x ，y 满足20202xy x y x ≤⎧⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域，如图（阴影部分）：
则阴影部分的面积()2
2
1
1
12
1212ln 12ln 2ln112ln 22S dx x
x =⨯⨯+=+=+-=+⎰，
故答案为：12ln2+ 【点睛】
本题考查了定积分求曲边梯形的面积，考查了微积分基本定理，属于基础题. 15．已知()6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，则
()
6
ax b +展开式所有项系数之和为______.
【答案】64
【解析】由题意先求得,a b 的值，再令1x =求出展开式中所有项的系数和. 【详解】
()
6
ax b +的展开式中4x 项的系数与5x 项的系数分别为135与18-，
4
426135C a b ∴⋅⋅=，556
18C a b ⋅⋅=-， 由两式可组成方程组42515135
618
a b a b ⎧=⎨=-⎩，
解得1,3a b ==-或1,3a b =-=，
∴令1x =，求得()6
ax b +展开式中所有的系数之和为6264=.
故答案为：64 【点睛】
本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.
16．若函数2()1(x
f x mx e e =-+为自然对数的底数）在1x x =和2x x =两处取得极值，
且212x x ≥，则实数m 的取值范围是______． 【答案】12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
， 【解析】先将函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，转化为方程(0)2x
e
m x x =≠有
两不等实根12,x x ，且212x x ≥，再令()(0)2x e
h x x x
=≠，将问题转化为直线y m =与
曲线()2x h x x e =有两交点，且横坐标满足212x x ≥，用导数方法研究()2x
h x x
e =单调性，
作出简图，求出212x x =时，m 的值，进而可得出结果. 【详解】 因为
2()1x f x mx e =-+，所以()2x f x mx e '=-，
又函数()f x 在1x x =和2x x =两处取得极值，
所以12,x x 是方程20x mx e -=的两不等实根，且212x x ≥，
即(0)2x
e m x x =≠有两不等实根12,x x ，且212x x ≥，
令()(0)2x
e h x x x
=≠，
则直线y m =与曲线()2x h x x
e
=有两交点，且交点横坐标满足212x x ≥，
又22
()42(22)(1)
x x e e h x x x
x x =-'=-， 由()0h x '=得1x =，
所以，当1x >时，()0h x '>，即函数()2x
h x x
e
=在(1,)+∞上单调递增；
当0x <，01x <<时，()0h x '<，即函数()2x h x x
e
=在(,0)-∞和(0,1)上单调递减；
当212x x =时，由121222x x e e x x =得1ln 2x =，此时1112ln 2
x e m x ==，
因此，由212x x ≥得1
ln 2
m >. 故答案为12ln ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
，
【点睛】
本题主要考查导数的应用，已知函数极值点间的关系求参数的问题，通常需要将函数极值点，转化为导函数对应方程的根，再转化为直线与曲线交点的问题来处理，属于常考题型.
三、解答题
17．数列{}n a 满足1232
2322
n n n a a a na +++++=-L . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n n a b a a +=
+⋅+，n T 为{}n b 的前n 项和，求证：2
3
n T <.
【答案】（1）1
2
n n a =
（2）证明见解析 【解析】（1）利用n S 与n a 的关系即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】
解析：（1）当1n =时，131
222
a =-=； 当2n ≥，12122222n n n n n n n na -++⎛⎫=-
--= ⎪⎝
⎭，可得1
2n n a =，
又∵当1n =时也成立，12n n
a ∴=
； （2）()()11111
2112211212121211122n n n n n n n n n b ++++⎛⎫===- ⎪++⎛⎫⎛⎫+
+⎝⎭++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，
22311
111112212121212121n n n T +⎛⎫∴=-+-++- ⎪++++++⎝⎭L
111
122223213213
n n ++⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了n S 与n a 的关系、裂项求和法，属于基础题. 18．如图（1）五边形
中，
,将
沿
折到的位置，得到四棱锥
，如图（2），点
为线段
的中点，且
平面. （1）求证：平面平面
；
（2）若直线
与所成角的正切值为，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析： （1）根据已知条件由线线垂直得出线面垂直,再根据面面垂直的判定定理证得成立; （2）通过已知条件求出各边长度,建系如图所示,求出平面的法
向量,根据线面角公式代入坐标求得结果. 试题解析:（1）证明：取的中点，连接
，则，
又
，所以
，则四边形
为平行四边形，所以
，
又平面， ∴平面
，
∴
.
由即及为的中点，可得为等边三角形，
∴，
又，∴，∴，
∴平面平面，
∴平面平面.
（2）解：
，∴为直线与所成的角，
由（1）可得，∴，∴，
设，则，
取的中点，连接，过作的平行线，
可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
∴，
所以，
设为平面的法向量，则，即，
取，则为平面的一个法向量，
∵，
则直线与平面所成角的正弦值为.
点睛: 判定直线和平面垂直的方法:①定义法．②利用判定定理：一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线和此平面垂直．③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．平面与平面垂直的判定方法:①定义法．②利用判定定理：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂
直．
19．已知O 为坐标原点，点1(F ，2F ，S ，动点N 满足
1NF NS +=，点P 为线段1NF 的中点，抛物线C ：22(0)x my m =>上点A
，OA OS ⋅=u u u v u u u v
（1）求动点P 的轨迹曲线W 的标准方程及抛物线C 的标准方程； （2）若抛物线C 的准线上一点Q 满足OP OQ ⊥，试判断22
11
||||OP OQ +是否为定值，
若是，求这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.抛物线C 的标准方程为2x =.
（2）见解析
【解析】（1）由题知|PF 1|+|PF 2|1
2
NS NF +=
=|F 1F 2|，判断动点P 的轨迹W 是
椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A 在抛物线上求出抛物线C 的标准方程；（2）设出点P 的坐标，再表示出点N 和Q 的坐标，根据题意求出
22
11
||||OP OQ +的值，即可判断结果是否成立．
【详解】
（1）由题知22
NS PF =
，112
NF PF =
，
所以12
122
NF NF PF PF ++=
12F F =>，
因此动点P 的轨迹W 是以1F ，2F 为焦点的椭圆，
又知2a =，2c =，
所以曲线W 的标准方程为2
213
x y +=.
又由题知(A A x ，
所以(()
A OA OS x ⋅=⋅u u u v u u u v
A ==，
所以A x =
又因为点(A 在抛物线C
上，所以m =
所以抛物线C
的标准方程为2x =.
（2）设(),P P P x y
，,2Q Q x ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
，
由题知OP OQ ⊥
，所以02
P
p Q x x -
=
，即()02P Q P P x x x =
≠， 所以22222
2111133||||22
P P P P y OP OQ x y x +=+++ ()2
22323P P P x x y +=+， 又因为2213P P x y +=，2
2
13
P P x y =-，
所以()
22222
2323213313P P
P P P P x x x x y x ++==⎛⎫++- ⎪
⎝
⎭， 所以
22
11
||||OP OQ +为定值，且定值为1.
【点睛】
本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．
20．2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：
（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，
μ近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正
态分布，求P （50.594Z <<）；
（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i ）得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次： （ii ）每次赠送的随机话费和对应概率如下： 赠送话费（单位：元） 10
20
概率 2
3 13
现有一位市民要参加此次问卷调查，记X （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列.21014.5=，若()2
,Z N
μδ:，则
()0.6826P Z μδμδ-<<+=，()220.9544P Z μδμδ-<<+=.
【答案】（1）0.8185（2）详见解析
【解析】（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.
（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.
【详解】
解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值μ为
350.025450.15550.20650.25750.225850.1950.05μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
0.875 6.751116.2516.8758.5 4.75=++++++
65=
∵由于得分Z 服从正态分布()65,210N ，
()()0.68260.9544
50.5946514.565214.50.81852
P Z P Z +∴<<=-<<+⨯=
=
（2）设得分不低于μ分的概率为p ，()12
p P Z μ=≥=
（或由频率分布直方图知0.2251
0.0250.150.20.522
p =+++==） 法一：X 的取值为10，20，30，40
()121
10233
P X ==⨯=；
()111227
202323318
P X ==⨯+⨯⨯=；
()121212
30C 2339
P X ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭； ()1111
4023318
P X ==⨯⨯=；
所以X 的分布列为
法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下
X 的取值为10，20，30，40
()121
10233P X ==⨯=；
()11147
20232918
P X ==⨯+⨯=；
()142
30299
P X ==⨯=；
()111
402918
P X ==⨯=；
所以X 的分布列为
【点睛】
本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题. 21．已知21
()(ln )ln 12
f x x x k x =-
--()k ∈R . （1）若()f x 是(0,)+∞上的增函数，求k 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个极值点，判断函数()f x 零点的个数. 【答案】(1) (,1]-∞ (2) 三个零点
【解析】(1) 由题意知()0f x '≥恒成立,构造函数()ln F x x x k =--，对函数求导，求得函数最值，进而得到结果；（2）当1k >时先对函数求导研究函数的单调性可得到函数有两个极值点，再证()10f x >，()20f x <. 【详解】
（1）由()()2
1ln ln 12f x x x k x =-
--得()ln x x k f x x
'--=
，
由题意知()0f x '≥恒成立，即ln 0x x k --≥，设()ln F x x x k =--，()1
1F x x
'=-
， ()0,1x ∈时()0F x '<，()F x 递减，()1,x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 递增；
故()()min 110F x F k ==-≥，即1k ≤，故k 的取值范围是(]
,1-∞. （2）当1k ≤时，()f x 单调，无极值； 当1k >时，()110F k =-<， 一方面，()0k k
F e e
--=>，且()F x 在()0,1递减，所以()F x 在区间()
,1k e -有一个
零点.
另一方面，()2k
k
F e e
k =-，设()2k g k e k =- (1)k >，则()20k g k e ='->，从
而()g k
在()1,+∞递增，则()()120g k g e >=->，即()0k
F e >，又()F x 在()1,+∞递增，
所以
()F x 在区间()1,k e 有一个零点.
因此，当1k >时()f x '在(),1k
e -和(
)1,k
e
各有一个零点，将这两个零点记为1
x ，
2x ()121x x <<，当()10,x x ∈时()0F x >，即()0f x '>；当()12,x x x ∈时
()0F x <，即
()0f x '<；当()2,x x ∈+∞时()0F x >，即()0f x '>：从而()f x 在()10,x 递增，
在()12,x x
递减，在()2,x +∞递增；于是1x 是函数的极大值点，2x 是函数的极小值点. 下面证明：()10f x >，()20f x <
由()10f x '=得11ln 0x x k --=，即11ln k x x =-，由()()2
11111ln ln 12
f x x x k x =--- 得()()()21111111ln ln ln 12f x x x x x x =---- ()2
11111ln ln 12
x x x x =+--， 令()()21ln ln 12m x x x x x =+
--，则()()1ln x x m x x
-'=， ①当()0,1x ∈时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m >=，而11x <，故()10f x >；
②当()1,x ∈+∞时()0m x '<，()m x 递减，则()()10m x m <=，而21x >，故
()20f x <；
一方面，因为(
)2210k
k
f e e
--=-<，又()10f x >，且()f x 在()10,x 递增，所以()
f x 在
()
21,k
e
x -上有一个零点，即()f x 在()10,x 上有一个零点.
另一方面，根据1(0)x e x x >+>得1k e k >+，则有：
()()
4
442
2
1211121k
k
f e
e
k k k =-->+-- 2
4
37
4044k k k k ⎛⎫=+-+> ⎪⎝
⎭，
又()20f x <，且()f x 在()2,x +∞递增，故()f x 在(
)42,k
x e 上有一个零点，故()
f x 在
()2,x +∞上有一个零点.
又()10f =，故()f x 有三个零点. 【点睛】
本题考查函数的零点，导数的综合应用．在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论．
22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是3
(13x tcos t y tsin
ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数），曲线C 的
参数方程是φx y （ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系．
（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线102OM πθαα⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
：＜＜
与曲线C 交于,O M 两点，射线22
ON ：π
θα=+
与直线l 交于N 点，若OMN ∆的面积为1，求α的值和弦长OM ．
【答案】（1）132sin πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
,ρθ=；（2）,6
π
【解析】（1）先把直线l 和曲线C 的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得,OM ON ，再由面积
1
12
OMN S OM ON ∆=
⋅=可解得极角，从而可得OM ． 【详解】
（1）直线l 的参数方程是3
(13x tcos t y tsin ππ⎧
=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
为参数），
消去参数t
10y -+=．
10cos sin θρθ-+=，即132
sin πρθ⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭． 曲线C
的参数方程是x y ϕ
ϕ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数），
转换为直角坐标方程为：22(12x y +-=，
化为一般式得220x y +-=
化为极坐标方程为：ρθ=． （2）由于02
＜＜
π
α
，得OM α=
，
ON =
=
．
所以112OMN S OM ON ∆=⋅==，
所以tan α=
， 由于02
＜＜
π
α，所以6
π
α=
，
所以OM = 【点睛】
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
23．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +->，求a 的取值范围；
（2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈-∞-，不等式3(2
)4f x y y a
≤+++恒成立，求a 的取值范围．
【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0-.
【解析】（1）分类讨论1a ≤-，11a -<<，1a ≥，即可得出结果； （2）先由题意，将问题转化为3))42
((max min f x y a
y ≤+
++即可，再求出()max f x ，42
3a
y y +
++的最小值，解不等式即可得出结果. 【详解】
（1）由()()111f f +->得111a a +-->， 若1a ≤-，则111a a --+->，显然不成立； 若11a -<<，则111a a ++->，12a >
，即1
12
a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +-+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42
((max min f x y a
y ≤+
++， 当(,]x a ∈-∞-时，()()f x x x a =-+，所以2()24
max
a a f x f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；
因为22
3344a y y a +
++≥-， 所以23442
a a
≤-，解得31a -≤≤，结合0a <，
所以a 的取值范围是[)3,0-． 【点睛】
本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记分类讨论的思想、以及绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。