万载县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

万载县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若平面α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则β⊥α，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．p 或q
B ．p 且q
C ．￢p 或q
D ．p 且￢q
2． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 3． 将函数)63sin(
2)(π+=x x f 的图象向左平移4
π
个单位，再向上平移3个单位，得到函数)(x g 的图象， 则)(x g 的解析式为（ ）
A ．3)43sin(
2)(--=πx x g B ．3)43sin(2)(++=π
x x g C ．3)123sin(2)(+-=πx x g D ．3)12
3sin(2)(--=π
x x g
【命题意图】本题考查三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 4． 已知数列｛n a ｝满足n
n n a 2
728-+=（*
∈N n ）.若数列｛n a ｝的最大项和最小项分别为M 和m ，则=+m M （ ） A ．
211 B ．227 C ． 32259 D ．32
435
5． 已知两不共线的向量，，若对非零实数m ，n 有m +n 与﹣2共线，则=（ ）
A ．﹣2
B ．2
C ．﹣
D ．
6． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）
A ．{}4,2
B ．{}1,3
C ．{}1,2,3,4
D ．以上情况都有可能
7． （2011辽宁）设sin （+θ）=，则sin2θ=（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
8． 若直线y=kx ﹣k 交抛物线y 2=4x 于A ，B 两点，且线段AB 中点到y 轴的距离为3，则|AB|=（ ） A ．12 B ．10
C ．8
D ．6
9． 设F 1，F 2为椭圆=1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则
的值为
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=4，A=45°，O 为△ABC 的外心，则•等于（ ）
A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
11．函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A ． C ． D ．时，函数f （x ）的最大值与最小值的和为（ ） A ．a+3 B ．6 C ．2
D ．3﹣a
12．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）满足：＜0，且f （2）=4，则不等式f （x ）﹣
＞0的解集为（ ） A ．（2，+∞）
B ．（0，2）
C ．（0，4）
D ．（4，+∞）
二、填空题
13．如果定义在R 上的函数f （x ），对任意x 1≠x 2都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2（fx 1），则称函数为“H 函数”，给出下列函数
①f （x ）=3x+1 ②f （x ）=（）x+1
③f （x ）=x 2+1 ④f （x ）=
其中是“H 函数”的有 （填序号）
14．已知1,3x x ==是函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>两个相邻的两个极值点，且()f x 在32
x = 处的导数302f ⎛⎫
'<
⎪⎝⎭，则13f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
___________．
15．已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=a n+2n，则数列的通项a n=．
16．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）．
17．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为．
18．若正方形P1P2P3P4的边长为1，集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：
①当i=1，j=3时，x=2；
②当i=3，j=1时，x=0；
③当x=1时，（i，j）有4种不同取值；
④当x=﹣1时，（i，j）有2种不同取值；
⑤M中的元素之和为0．
其中正确的结论序号为．（填上所有正确结论的序号）
三、解答题
19．已知函数的图象在y轴右侧的第一个最大值点
和最小值点分别为（π，2）和（4π，﹣2）．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．写出函数y=g（x）的解析式．
20．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面
ABC．
（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）在菱形ABCD 中，若∠ABC=60°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC 体积的最大值．
21．（本小题满分12分）已知圆()()2
2
:1225C x y -+-=,直线
()()():211740L m x m y m m R +++--=∈.
（1）证明: 无论m 取什么实数,L 与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时L 的方程.
22．已知集合A={x|
＞1，x ∈R}，B={x|x 2
﹣2x ﹣m ＜0}．
（Ⅰ）当m=3时，求；A ∩（∁R B ）；
（Ⅱ）若A ∩B={x|﹣1＜x ＜4}，求实数m 的值．
23．（本小题满分10分）
已知圆P 过点)0,1(A ，)0,4(B .
（1）若圆P 还过点)2,6( C ，求圆P 的方程； （2）若圆心P 的纵坐标为，求圆P 的方程.
24．如图，已知椭圆C ：
+y 2=1，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 另外一个交点为A ，且
线段AB 的中点E 在直线y=x 上 （Ⅰ）求直线AB 的方程
（Ⅱ）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，证明：OM •ON 为定值．
万载县第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中
命题p：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足α∥β，l⊂α，m⊂β，而m与l异面，故命题p不正确；﹣p正确；
命题q：平面AC为平面α，平面A1C1为平面β，
直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，
显然满足l∥α，m⊥l，m⊂β，而α∥β，故命题q不正确；﹣q正确；
故选C．
【点评】此题是个基础题．考查面面平行的判定和性质定理，要说明一个命题不正确，只需举一个反例即可，否则给出证明；考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．
2．【答案】B
【解析】
试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.
考点：二次函数图象与性质． 3． 【答案】B
【解析】根据三角函数图象的平移变换理论可得，将)(x f 的图象向左平移4
π个单位得到函数)4(π
+x f 的图
象，再将)4(π+x f 的图象向上平移3个单位得到函数3)4(++πx f 的图象，因此=)(x g 3)4
(++π
x f
3)4
3sin(23]6)4(31sin[2++=+++=π
ππx x .
4． 【答案】D 【解析】
试题分析： 数列n n n a 2728-+=，112528++-+=∴n n n a ，112527
22n n
n n
n n a a ++--∴-=- ()11
252272922
n n n n n ++----+==，当41≤≤n 时，n n a a >+1,即12345a a a a a >>>>；当5≥n 时,n n a a <+1,即...765>>>a a a .因此数列{}n a 先增后减,32259,55==∴a n 为最大项，8,→∞→n a n ，
2
11
1=a ,∴最小项为211，M m +∴的值为32
435
32259211=+．故选D.
考点：数列的函数特性.
5． 【答案】C
【解析】解：两不共线的向量，，若对非零实数m ，n 有m +n 与﹣2共线，
∴存在非0实数k 使得m +n =k （﹣2）=k ﹣2k ，或k （m +n ）=﹣2，
∴
，或
，
则=﹣． 故选：C ．
【点评】本题考查了向量共线定理、向量共面的基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6． 【答案】A 【解析】
试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为
{}4,2.
考点：复合函数求值． 7． 【答案】A
【解析】解：由sin （
+θ）=sin
cos θ+cos
sin θ=
（sin θ+cos θ）=，
两边平方得：1+2sin θcos θ=，即2sin θcos θ=﹣，
则sin2θ=2sin θcos θ=﹣．
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题． 8． 【答案】C
【解析】解：直线y=kx ﹣k 恒过（1，0），恰好是抛物线y 2
=4x 的焦点坐标， 设A （x 1，y 1） B （x 2，y 2）
抛物y 2
=4x 的线准线x=﹣1，线段AB 中点到y 轴的距离为3，x 1+x 2=6，
∴|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=8， 故选：C ．
【点评】本题的考点是函数的最值及其几何意义，主要解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．
9． 【答案】C
【解析】解：F
，F2为椭圆=1的两个焦点，可得F1（﹣，0），F2（）．a=2，b=1．
1
点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2，
|PF2|==，由勾股定理可得：|PF1|==．
==．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
10．【答案】A
【解析】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB，AC上的射影为相应线段的中点，
可得，，则•==16﹣18=﹣2；
故选A．
【点评】本题考查了向量数量积的几何意义和三角形外心的性质、向量的三角形法则，属于中档题11．【答案】A
【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•＜6π，
求得10≤ω＜12，
故选：A．
12．【答案】B
【解析】解：定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：＜0．
∵f（2）=4，则2f（2）=8，
f（x）﹣＞0化简得，
当x＜2时，
⇒成立．
故得x＜2，
∵定义在（0，+∞）上．
∴不等式f （x ）﹣＞0的解集为（0，2）． 故选B ．
【点评】本题考查了构造已知条件求解不等式，从已知条件入手，找个关系求解．属于中档题．
二、填空题
13．【答案】 ①④
【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x 1，x 2，不等式x 1f （x 1）+x 2f （x 2）≥x 1f （x 2）+x 2f （x 1）恒成立， ∴不等式等价为（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]≥0恒成立， 即函数f （x ）是定义在R 上的不减函数（即无递减区间）； ①f （x ）在R 递增，符合题意； ②f （x ）在R 递减，不合题意；
③f （x ）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意； ④f （x ）在R 递增，符合题意； 故答案为：①④．
14．【答案】12
【解析】
考
点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式．
【思路点晴】本题主要考查两个知识点：三角函数图象与性质，函数导数与不等式.三角函数的极值点，也就是最大值、最小值的位置，所以两个极值点之间为半周期，由此求得周期和ω，再结合极值点的导数等于零，可求出ϕ.在求ϕ的过程中，由于题目没有给定它的取值范围，需要用302f ⎛⎫
'< ⎪⎝⎭
来验证.求出()f x 表达式后，就可以求出13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.1 15．【答案】 2n ﹣1 ．
【解析】解：∵a1=1，a n+1=a n+2n，
∴a2﹣a1=2，
a3﹣a2=22，
…
a n﹣a n﹣1=2n﹣1，
相加得：a n﹣a1=2+22+23+2…+2n﹣1，
a n=2n﹣1，
故答案为：2n﹣1，
16．【答案】．
【解析】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
17．【答案】7+
【解析】解：如图所示，
设∠APB=α，∠APC=π﹣α．
在△ABP与△APC中，
由余弦定理可得：AB2=AP2+BP2﹣2AP•BPcosα，
AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），
∴AB2+AC2=2AP2+，
∴42+32=2AP2+，
解得AP=．
∴三角形ABP的周长=7+．
故答案为：7+．
【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
18．【答案】①③⑤
【解析】解：建立直角坐标系如图：
则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．
∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；
对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；
对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，
∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），
∴•=1；•=1；•=1；•=1；
∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；
④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；
⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；
当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，
∴M中的元素之和为0，故⑤正确．
综上所述，正确的序号为：①③⑤，
故答案为：①③⑤．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，
﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）由题意知：A=2，…
∵T=6π，
∴=6π得
ω=，…
∴f（x）=2sin（x+φ），
∵函数图象过（π，2），
∴sin（+φ）=1，
∵﹣＜φ+＜，
∴φ+=，得φ=…
∴A=2，ω=，φ=，
∴f（x）=2sin（x+）．…
（2）∵将y=f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），可得函数y=2sin（x+）的图象，
然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数g（x）=2sin[（x﹣）+]=2sin（﹣）的图象．
故y=g（x）的解析式为：g（x）=2sin（﹣）．…
【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，其中根据已知求出函数的最值，周期，向左平移量，特殊点等，进而求出A，ω，φ值，得到函数的解析式是解答本题的关键．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，
∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．
（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC，
PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直，
故以O为原点，以方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，菱形ABCD 的边长为2，
∴，
，
设平面PBC的法向量，直线AB与平面PBC成角为θ，
∴，取x=1，则，于是，
∴，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为．
（Ⅲ）法一：
设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴，，
又PO⊥平面ABC，∴=
（），
∴
，
∴，当且仅当，即时取等号，
∴四面体PABC体积的最大值为．
法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），
∴，，又PO⊥平面ABC，
∴=（），
设，则，且0＜t＜1，
∴，
∴当时，V'PABC＞0，当时，V'PABC＜0，
∴当时，V PABC取得最大值，∴四面体PABC体积的最大值为．
法三：设PO=x，则BO=x，，（0＜x＜2）
又PO⊥平面ABC，
∴，
∵
，
当且仅当x 2=8﹣2x 2
，即
时取等号，∴四面体PABC 体积的最大值为
．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）250x y --=． 【解析】
试题分析：（1）L 的方程整理为()()4270x y m x y +-++-=，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可
证明；（2）由圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.
1111]
（2）圆心()1,2M ,当截得弦长最小时, 则L AM ⊥, 由1
2
AM k =-
得L 的方程()123y x -=-即250x y --=. 考点：直线方程；直线与圆的位置关系.
22．【答案】
【解析】解：（1）当m=3时，由x 2
﹣2x ﹣3＜0⇒﹣1＜x ＜3，
由
＞1⇒﹣1＜x ＜5，
∴A ∩B={x|﹣1＜x ＜3}； （2）若A ∩B={x|﹣1＜x ＜4}， ∵A=（﹣1，5），
∴4是方程x 2
﹣2x ﹣m=0的一个根，
∴m=8，
此时B=（﹣2，4），满足A ∩B=（﹣1，4）． ∴m=8．
23．【答案】（1）047522=++-+y x y x ；（2）4
25)2()2
5(2
2=-+-y x . 【解析】
试题分析：（1）当题设给出圆上三点时，求圆的方程，此时设圆的一般方程022=++++F Ey Dx y x ，将三点代入，求解圆的方程；（2）AB 的垂直平分线过圆心，所以圆心的横坐标为2
5
，圆心与圆上任一点连线段为半径，根据圆心与半径求圆的标准方程.
试题解析：（1）设圆P 的方程是02
2
=++++F Ey Dx y x ，则由已知得
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+-+=++++=++++0
26)2(60
04040001222
222F E D F D F D ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=475F E D ． 故圆P 的方程为04752
2
=++-+y x y x .
（2）由圆的对称性可知，圆心P 的横坐标为25
241=+，故圆心)2,2
5(P ， 故圆P 的半径25)20()251(||2
2=-+-==AP r ，
故圆P 的标准方程为4
25)2()25(2
2=-+-y x .
考点：圆的方程 24．【答案】
【解析】（Ⅰ）解：设点E （t ，t ），∵B （0，﹣1），∴A （2t ，2t+1）， ∵点A 在椭圆C 上，
∴
，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（Ⅱ）证明：设P（x0，y0），则，
直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，
直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。