6学年下学期高二期中考试数学(文)试题(附答案)

忻州一中2015−2016学年度第二学期期中考试
高二数学(文科)试题
命题人：杨爱正 王霞
一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分) 1. 若全集},42{},321{}5,4,3,2,1{，，，，===B A U 则B C A U ⋂= A. {2，4} B. {1，3} C. {1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5} 2. 已知命题p ：0>∀x ，总有1)1(>+x e x ，则p ⌝为
A. 00>∃x ，使得00(1)1x x e +≤
B. 00≤∃x ，使得00(1)1x x e +≤
C. 0>∀x ，总有1)1(≤+x e x
D. 0≤∀x ，总有1)1(≤+x e x 3. 设)31(2i i z -=，则z 的虚部为
A. 32
B. 32-
C. i 2
D. 2 4. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为 A.
43 B. 1211 C. 2425 D. 18
17
5. 通过4次试验得到变量y x ,的数据如右表， 根据表中
数据得到回归直线方程a x y
ˆ4.9ˆ+=，由此当6=x 时， y 的估计值为
A. 63.6
B. 65.5
C. 67.7
D.72 6. 若)4sin(
2cos 2απ
α-=，且），（ππ
α2
∈，则=α2sin
A. 1
B.
C.
D. 7
8-
7. 设函数()3f x x x a =-+-，如果对任意,()4x R f x ∈≥，则a 的取值范围是 A. ),1[]7,(+∞⋃--∞ B. ]1,7[- C. ),7[]1,(+∞⋃--∞ D. ]7,1[- 8. 在平面几何中，有“若ABC ∆的周长c ,面积为,S 则内切圆半径c
S
r 2=
”，类比上述结论，在立体几何中，有“若四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则其内切球的半径=r A.
S V
3 B. S
V 2 C. S V 2 D. S V 3 9. 若x 轴为曲线4
1
)(3
-
-=ax x x f 的切线，则=a
A.
43 B. 43- C. 21 D. 2
1- 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A. 4+23π
B. 4+3
2π C. 6+
23π D. 6+32
π 11. 已知函数x a x a x x f )2(ln 22
1)(2
-+-=
，对任意2121),0(,x x x x >+∞∈且当时， 都有2211)()(ax x f ax x f ->-成立，则实数a 的取值范围是 A. 21≥
a B. 21≤a C.21-≥a D.2
1-≤a 12. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形
边上再连接正方形……，如此继续，若共得到1023个正方形， 设初始正方形的边长为
2
2
，则最小正方形的边长为 A.
641 B. 161 C. 32
1 D. 81 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上) 13. 不等式3|2|||<-+x x 的解集为___________.
14. 设y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+-≥-0,031
y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值是___________.
15. 设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，2,4738-==a a S ，则=9a ___________. 16. 已知抛物线C :2
8x y =的焦点为F ，动点Q 在C 上，圆Q 的半径为1，过点F 的直线与圆Q 切于点P ，则FQ FP ⋅的最小值为___________.
三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上.只写最终结果的不得分) 17 (本小题满分10分)
在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，b a C B A 2,sin 2sin sin ==+ （1）证明：ABC ∆是钝角三角形；
（2）若=
∆ABC S 153
4
，求c 的值. 18.(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕ
ϕ
sin cos 1y x ϕ(为参数），以O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 （1）求圆的极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是33)3
sin(2=+
π
θρ，射线3
:π
θ=
OM 与圆C 的交点为
P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 19.(本小题满分12分)
某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如右表： （1）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；
（2）根据以上数据完成下面的2×2列联表，并判断 在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？
()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 2
2
=
= （1）求证：平面PAB ⊥平面PDC （2）求点C 到平面PBD 的距离.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆E ：12222=+b y a x ()0>>b a 过点⎪⎭
⎫
⎝⎛23,1，左、右焦点为1F 、2F ，右顶点为A ，
上顶点为B ，且||2
7
||21F F AB =. （1）求椭圆E 的方程；
（2）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆E 于Q P 、两点，N 为PQ 中点，问是否存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点,说明理由. 22.(本小题满分12分) 已知函数x
x a x f 1
ln )(+
=，曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴. （1）求)(x f 的最小值； （2）比较)(x f 与)1(x
f 的大小. 附加题（每小题5分，共15分）
23. 已知函数⎩
⎨⎧>≤=a x x a
x x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f y -=)(有两个零点，则a 的
取值范围是_________
24. 已知点21,F F 分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，P 为双曲线左支
上的任意一点，若|
|||12
2PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是_______.
25. 函数)(x f 是定义在R 上的可导函数，其导函数为)(x f '，若对任意R x ∈,有
)()(x f x f '>，且1)(-=x f y 是奇函数，则不等式x e x f <)(的解集是
_________.
忻州一中2015−2016学年度第二学期期中考试
高二数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题（每题5分，共60分）：
1—5：BADBB 6—10：DCAAD 11—12：DC 二、填空题（每题5分，共20分）：
14.
)2
5
,21-（ 14. 3 15. -6 16. 3 17． (本小题满分10分)
解：（1）证明：因为sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=，
又2a b =，可得2
3
b c =
， ………2分 所以222222
2416199cos 022423
c c c b c a A bc c +-+-===-<⨯，
所以A 为钝角，故ABC ∆为钝角三角形． ………5分 （2）由1cos 4A =-
，得sin 4
A =， ………7分
所以2112sin 223ABC S bc A c ∆=
=⨯=4c = ………10分 18. (本小题满分12分) （1）由圆C 的参数方程1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨
=⎩，（ϕ为参数）可知1cos sin x y ϕ
ϕ-=⎧⎨=⎩
消去参数化为普通方程为
22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==
………4分
代入可得圆的极坐标方程为22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=． ………6分
（2）设11(,)ρθ为点P 的极坐标，由2cos 3ρθ
πθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1113ρπθ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
． ………8分
设22(,)ρθ为点Q
的极坐标，由2(sin )3ρθθπ
θ⎧+=⎪
⎨=
⎪⎩
， 解得223
3ρπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
． ………10分
∴12||||2PQ ρρ=-= ………12分
19. (本小题满分12分)
解：（1）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A 、B 、C 、D 、E 、F ． 成绩优秀的记为A 、B ．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：
{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}，{C ，D}，{C ，E}，{C ，F}，{D ，E}，{D ，F}，{E ，F}共15个 ………3分 设事件G 表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有{A ，C}，{A ，D}， {A ，E}，{A ，F}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{B ，F}共8个 ………5分 所以15
8
)(=G P ………6分 （2）
………8分
706.27843.051
402020346)162184(4022
<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=k ………10分
在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系． ………12分 20. (本小题满分12分)
（1）2=AD ，2==∴PD PA ，2
22AD PD PA =+∴AP PD ⊥∴，
又 平面⊥PAD 底面ABCD ，平面⋂PAD 平面ABCD =AD 且AD AB ⊥，
∴⊥AB 平面PAD ，又⊂PD 平面PAD ，PD AB ⊥∴， ………4分
又A AP AP =⋂ ，且AP 、AB ⊂平面PAB ，⊥∴PD 平面PAB ，
又⊂PD 平面PDC ，∴平面PAB ⊥平面PDC ………6分 （2）PBD ∆ 中，22,6,2===
BD PB PD ，222BD PB PD =+∴，
︒=∠∴90DPB ，32
1
=⋅=
∆PB PD S PBD ，且2=∆BCD S ， ………9分 又P 到平面BCD 的距离1=h ，∴BCD P PBD C V V --==h S BCD ⋅∆31=3
2
，
∴C 到平面PBD 的距离=
3
3
23=
∆-PBD PBD C S V ………12分
21. (本小题满分12分)
（1） 椭圆E 过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛23,1∴将该点代入椭圆方程得
14912
2=+b a ，① 由已知||27||21F F AB =
，∴c b a 22
722⋅=+，即2227c b a =+② 又 222b a c -= ③，将①②③联立得⎩⎨
⎧==3
2
b a ，
∴椭圆方程为13
42
2=+
y x ………5分 （2） 证明：设),(),,(211y x Q y x P ，线段PQ 的中点),(00y x N ． 由题意可得直线l 的方程为：)4(+=x k y ，且0≠k ．
联立⎪⎩
⎪⎨⎧+==+)4(13
42
2x k y y x ，化为12)4(432
22=++x k x 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，
由0)1264)(43(4)32(2
2
2
2>-+-=∆k k k ，可得4
1
2<
k ，且0≠k ． ∴22214332k k x x +-=+22214312
64.k k x x +-=． ………7分
∴2
22143162k
k x x x o +-=+=，204312)4(k k
x k y o +=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，
即12F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-， ………9分
∵22
22004141
4316431211k k k k k k x y k N F -=++-+=+=，2202202121234161203134F N
k
y k k k k x k k +===-----+ ∴22412114203
k k k k ⨯=----，化为42804030k k +-=， ………11分 设2t k =，则2804030t t +-=
∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．
即存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆过N 点． ………12分 22.(本小题满分12分)
（1）=
')(x f )012>-x x
x a （，根据题意知0)1(='f ，即1=a ，x x x f 1ln )(+=∴，
∴=')(x f 221
11x
x x x -=-，∴当10<<x 时，0)(<'x f ，)(x f 单调递减；
当1>x 时，0)(>'x f ，)(x f 单调递增；∴1)1()(min ==f x f . ………5分 （2）令)1
()()(x f x f x g -==])1[ln(1ln x x x x +-+
=x x
x -+1
ln 2， ………7分 0)1(112)(2
2
2≤--=--='x x x x x g ，）上单调递减，在（∞+∴0)(x g ………9分
又0)1(=g ∴当10<<x 时，0)1()(=>g x g ，)1
()(x
f x f >； 当1>x 时，0)1()(=<
g x g ，)1()(x
f x f <；
当1=x 时，0)(=x g ，)1()(x
f x f =. ………12分
附加题：（每小题5分，共15分）
23. 10><a a 或 24. ]3,1（ 25.
），（∞+0。