湖北八2019高三3月联考-数学文(扫描版)

湖北八2019高三3月联考-数学文（扫描版）
数学〔文科〕参考答案及评分标准
【一】选择题：〔每题5分，10小题共50分〕
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.C
7.B
8.A
9.B10.A
【二】填空题：〔每题5分，满35分〕[来源:]
11.}5,3{12.5313.914.29.2515.2
1 16.5.017.〔Ⅰ〕82,〔Ⅱ〕5
三、解答题(本大题共5小题,共65分;解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18、〔Ⅰ〕〔Ⅰ〕∵m 与n 共线 ∴)2
cos 2sin 3(2cos 23C C C +=
1π1(1cos )sin()2262
C C C =
++=++…………………………3分 得πsin()16C +=…………………………4分 ∴C=3
π……………………………6分 〔Ⅱ〕方法1：由2a c b +=〔1〕
依照余弦定理可得：222c a b ab =+-〔2〕……………………8分
〔1〕、〔2〕联立解得：()0b b a -=……………………………10分
0,,C=3
b b a ABC π
>∴=∴∆又，为等边三角形，……………………………12分 方法2：
由正弦定理得： 2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C C A C A C
+==++=+……………………8分 ∴2
1cos =A ，∴在△ABC 中∠π3A =.……………………………10分 ABC ∴∆为等边三角形……………………………12分[来源:]
方法3：由〔Ⅰ〕知C=π3
，又由题设得：2a c b +=， 在ABC ∆中依照射影定理得：
2(cos cos )2cos a c a C c A a c A +=+=+……………………8分
1cos ,23
A A π∴=∴=……………………………10分 又.C=π3
，因此△ABC 为等边三角形，……………………………12分
19.〔Ⅰ〕设等差数列{}n a 的公差是d 、
依题意3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-、………………2分
因此2712723a a a d +=+=-，解得11a =-、………………4分[来源:]
因此数列{}n a 的通项公式为23+-=n a n 、………………6分
〔Ⅱ〕由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，
得1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，
因此123-+-=n n c n b 、………………8分
因此21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++
21(31)(1)2n n n c c c --=+++++、………………10分
从而当1=c 时，2(31)322
n n n n n S n -+=+=；………………11分[来源:] 当1≠c 时，(31)121n
n n n c S c
--=+-、………………12分 20、〔Ⅰ〕证明:连结AC ，交BD 于O 、
因为底面ABCD 为菱形，因此O 为AC 的中点、
因为Q 是PA 的中点，因此PC OQ //，
因为⊂OQ 平面BDQ ，⊄PC 平面BDQ ，
因此//PC 平面BDQ 、…………………4分
〔Ⅱ〕证明：因为底面ABCD 为菱形，
因此BD AC ⊥，O 为BD 的中点、
因为PD PB =，因此BD PO ⊥、
因为O BD PO = ，因此⊥BD 平面PAC 、因为⊂CQ 平面PAC ，
因此CQ BD ⊥、………………………………8分
〔Ⅲ〕因为PC PA =，因此△PAC 为等腰三角形、
因为O 为AC 的中点，因此AC PO ⊥、
由〔Ⅱ〕知BD PO ⊥，且O BD AC = ，
因此⊥PO 平面ABCD ，即PO 为四棱锥ABCD P -的高、
因为四边形是边长为2的菱形，且︒=∠60ABC ， O Q P B
A C D
因此3=BO 6=
⇒PO 、 因此226323
1=⨯⨯=-ABCD P V 、……………12分 21、〔Ⅰ〕由题知：
11y y m x x -+⋅= 化简得：221(0)mx y x -+=≠……………………………2分
当1m <-时轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；
当1m =-时轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；
当0m >时轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；
……………………………6分
〔Ⅱ〕设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠
依题直线l 的斜率存在且不为零，那么可设l :1x ty =+， 代入2
21(0)2
x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，12212
y y t -=+，………………………………9分 又因为M Q 、不重合，那么1212,x x y y ≠≠-
Q MQ 的方程为121112
()y y y y x x x x +-=--令0y =， 得1211211211121212
()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++ 故直线MQ 过定点(2,0).……………………………13分
解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠
依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =- 代入2
21(0)2
x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2
122412k x x k
+=+,21222212k x x k -=+，……………………………9分 Q MQ 的方程为121112
()y y y y x x x x +-=--令0y =，
得121121121211121212()(1)()2()2(2)2
y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+- ∴直线MQ 过定点(2,0)……………………………13分
22.〔Ⅰ〕因为32,1,()ln , 1.
x x x f x a x x ⎧-+<=⎨⎩≥ 当1x <时，()(32)f x x x '=--，
解()0f x '>得到203x <<；解()0f x '<得到0x <或213
x <<、因此()f x 在(,1)-∞上的单调减区间为(,0)-∞，2(,1)3：单调增区间为2(0,)3
………………4分[来源:] 〔Ⅱ〕①当11x -≤≤时，由〔Ⅰ〕知在()f x (1,0)-和2(,1)3上单调递减，在2(0,)3
上单调递增，从而()f x 在23x =处取得极大值24()327
f =、 又(1)2,(1)0f f -==，因此()f x 在[1,1)-上的最大值为2、……………………6分
②当1x e ≤≤时，()ln f x a x =，当0a >时，()f x 在[1,]e 上单调递增，因此()f x 在[1,]e 上的最大值为a 、因此当2a ≥时，()f x 在[1,]e -上的最大值为a ；当2a <时，()f x 在[1,]e -上的最大值为2.…………………………8分
〔Ⅲ〕假设曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，那么,P Q 只能在y 轴的两侧，不妨设(,())(0)P t f t t >，那么32(,)Q t t t -+，且1t ≠、…9分 因为POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，因此0OP OQ ⋅=，
即：232()()0t f t t t -+⋅+=〔1〕……………………………………10分
是否存在点,P Q 等价于方程〔1〕是否有解、
假设01t <<，那么32()f t t t =-+，代入方程〔1〕得：4210t t -+=，此方程无解.…11分 假设1t >，那么()ln f t a t =，代入方程〔1〕得到：
1(1)ln t t a =+……12分 设()(1)ln (1)h x x x x =+≥，那么1()ln 10h x x x
'=++>在(1,)+∞上恒成立、因此()h x 在[1,)+∞上单调递增，从而0)1()(min ==h x h ，即有)(x h 的值域为),0[+∞〔不需证明〕，因此当0
a >时，方程1(1)ln t t a
=+有解，即方程〔1〕有解、 因此，对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上存在两点,P Q ，使得△POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上、…………………14分。