福建省厦门六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)

福建省厦门六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（）
A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真
2．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中一定正确的是（）
A．若＞，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞﹣b，则c﹣a＜c+b D．若a＞b，则a2＞b2
3．（5分）已知△ABC中，a=2，b=2，A=60°，则B=（）
A．450B．1350C．450或1350D．300或1500
4．（5分）某种细胞每隔30分钟分裂1次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过4小时30分钟后，可得到的细胞个数为（）
A．512 B．511 C．1024 D．1023
5．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0
C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．B．
C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81
7．（5分）在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20的值是（）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是（）
A．0＜s≤2或s≥4 B．0＜s≤2 C．2≤s≤4 D．s≥4
9．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
10．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a n+12=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；
②{（﹣1）n}是等方差数列；
③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．
其中真命题的序号是（）
A．②B．①②C．②③D．①②③
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n，则a6=．
12．（4分）已知△ABC的外接圆半径为1，则=．
13．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为．
14．（4分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是．
15．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．
16．（4分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=210，则i、j的值分别为，．
三．解答题（本大题有6小题，共76分；解答应写出文字说明与演算步骤）
17．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=15，a4+a6=22，S n为{a n}的前n项和．
（1）求通项公式a n及S n；
（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．
20．（13分）某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．已知生产每匹布料A、B 的利润分别为120元、80元．那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？
羊毛颜色每匹需要/kg 供应量/kg
布料A 布料B
红 4 4 1400
绿 6 3 1800
黄 2 6 1800
21．（13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，铺设一个对角线在L上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，使A+C=180°，且AB=BC．设AB=x米，cos A=f（x）．
（1）求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求的最大值，并指出相应的x值．
22．（14分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a n}是等比数列；
（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；
（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．
福建省厦门六中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）
1．（5分）若命题“p∨q”为真，“¬p”为真，则（）
A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真
考点：复合命题的真假．
专题：阅读型．
分析：本题考查的是复合命题的真假问题．在解答时，可先结合条件“p或q”为真命题判断p、q 的情况，根据¬p为真，由此即可获得p、q 的真假情况，得到答案
解答：解：由题意可知：“p∨q”为真命题，
∴p、q中至少有一个为真，
∵¬p为真，
∴p、q全为真时，p且q为真，即“p且q为真”此时成立；
当p假、q真，
故选D．
点评：本题考查的是复合命题的真假问题．在解答的过程当中充分体现了命题中的或非关系．值得同学们体会反思．属基础题．
2．（5分）已知a，b，c∈R，那么下列命题中一定正确的是（）
A．若＞，则a＞b B．若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d
C．若a＞﹣b，则c﹣a＜c+b D．若a＞b，则a2＞b2
考点：不等关系与不等式．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：由不等式的性质，对四个命题一一验证，注意举反例．
解答：解：若a=1，b=2，c=﹣1，则A错误；
若a=1，b=0，c=5，d=﹣10，则B错误；
若a＞﹣b，则﹣a＜b，则c﹣a＜c+b，正确；
若a=﹣1，b=﹣2，则D错误；
故选C．
点评：本题考查了不等式的性质应用，注意成立的条件，属于基础题．
3．（5分）已知△ABC中，a=2，b=2，A=60°，则B=（）
A．450B．1350C．450或1350D．300或1500
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：利用正弦定理列出关系式，把a，b，sinA的值代入求出sinB的值，即可确定出B的度数．解答：解：∵△ABC中，a=2，b=2，A=60°，
∴由正弦定理=得：sinB===，
∵b＜a，∴B＜A，
则B=45°．
故选：A．
点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
4．（5分）某种细胞每隔30分钟分裂1次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过4小时30分钟后，可得到的细胞个数为（）
A．512 B．511 C．1024 D．1023
考点：数列的应用．
专题：应用题；等差数列与等比数列．
分析：根据指数函数产生的背景，可判断出a×2n，a=1，n=9，代入可判断．
解答：解：∵某种细胞每隔30分钟分裂1次，1个分裂成2个，则1个这样的细胞经过4小时30分钟后，
∴共分裂9次，
∴可得到的细胞个数为29=512，
故选：A
点评：本题考查了数列在实际问题中的应用，属于中档题．
5．（5分）命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，x3﹣x2+1≤0 B．∃x0∈R，x3﹣x2+1＜0
C．∃x0∈R，x3﹣x2+1≤0 D．不存在x∈R，x3﹣x2+1＞0
考点：命题的否定．
专题：常规题型．
分析：特称命题“∃x0∈M，p（x）”的否定为全称命题“∀x∈M，￢p（x）”．
解答：解：特称命题“∃x0∈R，x3﹣x2+1＞0”的否定是“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”．
故选A．
点评：本题考查特称命题的否定形式，要注意存在量词“∃”应相应变为全称量词“∀”．
6．（5分）下列函数中，最小值为4的函数是（）
A．B．
C．y=e x+4e﹣x D．y=log3x+log x81
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式可得=4，注意检验不等式使用的前提条件．解答：解：∵e x＞0，4e﹣x＞0，
∴=4，
当且仅当e x=4e﹣x，即x=ln2时取得等号，
∴y=e x+4e﹣x的最小值为4，
故选C．
点评：本题考查基本不等式求函数的最值，利用基本不等式求函数最值要注意条件：“一正、二定、三相等”．
7．（5分）在等比数列{a n}中，S4=1，S8=3，则a17+a18+a19+a20的值是（）
A．14 B．16 C．18 D．20
考点：等比数列的性质．
专题：计算题．
分析：根据等比数列的性质可知，从第1到第4项的和，以后每四项的和都成等比数列，由前8项的和减前4项的和得到第5项加到第8项的和为2，然后利用第5项到第8项的和除以前4项的和即可得到此等比数列的公比为2，首项为前4项的和即为1，而所求的式子（a17+a18+a19+a20）为此数列的第5项，根据等比数列的通项公式即可求出值．
解答：解：∵S4=1，S8=3，
∴S8﹣S4=2，
而等比数列依次K项和为等比数列，
则a17+a18+a19+a20=（a1+a2+a3+a4）•25﹣1=16．
故选B．
点评：此题考查学生掌握等比数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．
8．（5分）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则s的取值范围是（）
A．0＜s≤2或s≥4 B．0＜s≤2 C．2≤s≤4 D．s≥4
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．
分析：由题意作出其平面区域，由图求s的取值范围．
解答：解：由题意作出其平面区域，
由图可知，0＜s≤2或s≥4．
故选A．
点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．
9．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）
A．B．C．D．
考点：余弦定理；等比数列．
专题：计算题．
分析：根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．
解答：解：△ABC中，a、b、c成等比数列，且c=2a，
则b=a，=，
故选B．
点评：本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．
10．（5分）在数列{a n}中，若a n2﹣a n+12=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；
②{（﹣1）n}是等方差数列；
③若{a n}是等方差数列，则{a kn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列．
其中真命题的序号是（）
A．②B．①②C．②③D．①②③
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：根据“等方差数列”的定义，数列{a n}中，若a n2﹣a n+12=p（n≥1，n∈N*，p为常数），则{a n}称为“等方差数列”，我们逐一判断①②③中的三个数列是否满足等方差数列的定义，可得答案．解答：解：①∵{a n}是等方差数列，
∴a n2﹣a n﹣12=p（p为常数）
∴{a n2}是等差数列，故①正确；
②数列{（﹣1）n}中，a n2﹣a n﹣12=2﹣2=0，
∴{（﹣1）n}是等方差数列；故②正确；
③数列{a n}中的项列举出来是，a1，a2，…，a k，…，a2k，…
数列{a kn}中的项列举出来是，a k，a2k，…，a3k，…，
∵（a k+12﹣a k2）=（a k+22﹣a k+12）=（a k+32﹣a k+22）=…=（a2k2﹣a2k﹣12）=p
∴（a k+12﹣a k2）+（a k+22﹣a k+12）+（a k+32﹣a k+22）+…+（a2k2﹣a2k﹣12）=kp
∴（a kn+12﹣a kn2）=kp
∴{a kn}（k∈N*，k为常数）是等方差数列；故③正确；
故选：D．
点评：本题考查等差数列的定义及其应用，解题时要注意掌握数列的概念，属基础题．
二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n，则a6=8．
考点：数列的概念及简单表示法．
专题：点列、递归数列与数学归纳法．
分析：根据数列{a n}满足a1=1，a n+2=a n+1+a n，一步一步的求a6．
解答：解：因为数列{a n}满足a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n，
a3=a2+a1=1+1=2，
a4=a3+a2=2+1=3，
a5=a4+a3=3+2=5，
a6=a5+a4=5+3=8．
故答案为：8
点评：本题主要考查利用数列递推式求值，属易题，计算细心即可．
12．（4分）已知△ABC的外接圆半径为1，则=2．
考点：正弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：由正弦定理可得==2r，△ABC的外接圆半径为r．
解答：解：由正弦定理可得==2r=2，
故答案为：2．
点评：本题考查正弦定理的应用，把要求的式子化为，是解题的关键．
13．（4分）函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（mn＞0）上，则的最小值为4．
考点：基本不等式；指数函数的图像与性质．
专题：计算题；压轴题；转化思想．
分析：最值问题长利用均值不等式求解，适时应用“1”的代换是解本题的关键．函数y=a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，知A（1，1），点A在直线mx+ny﹣1=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，下用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．
解答：解：由已知定点A坐标为（1，1），由点A在直线mx+ny﹣1=0上，
∴m+n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴=（）（m+n）==2++≥2+2•=4，
当且仅当两数相等时取等号．
故答案为4．．
点评：均值不等式是不等式问题中的确重要公式，应用十分广泛．在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．当均值不等式中等号不成立时，常利用函数单调性求最值．也可将已知条件适当变形，再利用均值不等式，使得等号成立．有时也可利用柯西不等式以确保等号成立，取得最值．
14．（4分）若不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立．则x的取值范围是{﹣2，0}．
考点：函数恒成立问题．
专题：不等式的解法及应用．
分析：将不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，则f（a）是可看做为关于a的一次函数，所以不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立等价于，解之即可确定x的取值范围．
解答：解：不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，
可转化为（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4＜0，
令f（a）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4，
则f（a）是可看做为关于a的一次函数，
∴等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切a∈R恒成立
等价于，
解得，x=0或x=﹣2，
∴x的取值范围是{﹣2，0}．
故答案为：{﹣2，0}．
点评：本题考查不等式的化简，一次函数的性质，恒成立问题的灵活转化，属于中档题．
15．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4
y 6 0 ﹣4 ﹣6 ﹣6 ﹣4 0 6
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}．
考点：一元二次不等式与二次函数；二次函数的性质；一元二次不等式．
专题：计算题；综合题．
分析：由表可得二次函数的零点，可设其两根式，然后代入一点求得解析式，即可得到不等式
ax2+bx+c＞0的解集．
解答：解：由表可设y=a（x+2）（x﹣3），
又∵x=0，y=﹣6，代入知a=1．
∴y=（x+2）（x﹣3）
∴ax2+bx+c=（x+2）（x﹣3）＞0得x＞3或x＜﹣2．
故答案为：{x|x＞3或x＜﹣2}
点评：本题为基础题，考查了一元二次不等式与二次函数的关系，在解题时注意题目要求不等式的解集．
16．（4分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=210，则i、j的值分别为20，20．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：第一行有一个数，第二行有两个数…，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，表示出等差数列的前项和，使得和大于或等于210，解出不等式，求出n的值，在满足条件的数字附近检验，得到结果．
解答：解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，
∴前n项的和是，
∵当n=20时，=210，
∴210为第20行，第20个数
故答案为：20，20
点评：本题的考点是归纳推理，主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，利用等差数列的前项和，使得和大于或等于210求解．
三．解答题（本大题有6小题，共76分；解答应写出文字说明与演算步骤）
17．（12分）已知p：﹣2≤x≤10；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
考点：必要条件．
分析：p与q是数的范围问题，所以“p是q的必要不充分条件”可以转化为集合间的包含关系解决．解答：解：p：﹣2≤x≤10；
q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0）⇔（x﹣（1﹣m））（x﹣（1+m））≤0⇔1﹣m≤x≤1+m，
若p是q的必要不充分条件即“q⇒p”⇔{x|1﹣m≤x≤1+m}⊊{x|﹣2≤x≤10}，
∴，∴m≤3，又m＞0
所以实数m的取值范围是0＜m≤3．
点评：本题考查充分条件和必要条件有关问题，利用集合的包含关系解决充要条件问题是一种常用方法．
18．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．
考点：正弦定理；余弦定理．
专题：综合题；解三角形．
分析：（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值；
（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．
解答：解：（Ⅰ）∵cosB=
∴sinB=，
∵a=2，b=4，
∴sinA===；
（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，
∴b==．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
19．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=15，a4+a6=22，S n为{a n}的前n项和．
（1）求通项公式a n及S n；
（2）设{b n﹣a n}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n．
考点：等差数列与等比数列的综合．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）由已知可先求得d，a1的值，从而可求通项公式a n及S n；
（2）根据已知，可先求出数列{b n}的通项公式，进而即可求出其前n项和T n．
解答：解：（1）a3=a1+2d=15，a4+a6=2a5=22，a5=a1+4d=11，
∴可解得d=﹣2，a1=19，
∴a n=﹣2n+21；
（2），
∴可求得
故有前n项和．
点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和的求法，属于基础题．
20．（13分）某家公司每月生产两种布料A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛，下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量，以及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．已知生产每匹布料A、B 的利润分别为120元、80元．那么如何安排生产才能够产生最大的利润？最大的利润是多少？
羊毛颜色每匹需要/kg 供应量/kg
布料A 布料B
红 4 4 1400
绿 6 3 1800
黄 2 6 1800
考点：简单线性规划的应用．
专题：计算题；应用题．
分析：设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值，从而求出所求．
解答：解：设每月生产布料A、B分别为x匹、y匹，利润为Z元，那么①…（1
分）
目标函数为z=120x+80y…（2分）
作出二元一次不等式①所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．把z=120x+80y变形为
，得到斜率为，在轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．如图可以看出，当直线经过可行域上
M时，截距最大，即z最大．…（6分）
解方程组
得M的坐标为x=250，y=100 …（7分）
所以z max=120x+80y=38000．
答：该公司每月生产布料A、B分别为250、100匹时，能够产生最大的利润，最大的利润是38000 元．
点评：本题主要考查了简单线性规划的应用，以及平面区域图的画法和二元一次不等式组的解法，属于中档题．
21．（13分）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，铺设一个对角线在L上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，使A+C=180°，且AB=BC．设AB=x米，cos A=f（x）．
（1）求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求的最大值，并指出相应的x值．
考点：解三角形的实际应用．
专题：应用题；解三角形．
分析：（1）利用余弦定理，建立方程，解得cos A=，即可求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）表示出，利用基本不等式求出最大值，并指出相应的x值．
解答：解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD2=CB2+CD2﹣2CB•CD•cosC．
因为∠A和∠C互补，
所以AB2+AD2﹣2AB•AD•cosA=CB2+CD2﹣2CB•CD•cosC=CB2+CD2+2CB•CD•cosA．…（4分）即x2+（9﹣x）2﹣2x（9﹣x）cosA=x2+（5﹣x）2+2x（5﹣xcosA．
解得cosA=，
即f（x）=，其中x∈（2，5）…（7分）
，∴x∈（2，5）…（9分）
∴，…（11分）
当时，…（13分）
点评：本题考查余弦定理，考查基本不等式的运用，正确运用余弦定理是关键．
22．（14分）已知f（x）=log m x（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（a n）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a n}是等比数列；
（2）若b n=a n f（a n），记数列{b n}的前n项和为S n，当时，求S n；
（3）若c n=a n lga n，问是否存在实数m，使得{c n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m 的取值范围．
考点：等比关系的确定；数列的函数特性；数列的求和．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）根据等差数列的通项公式可求得f（x）的解析式，进而求得a n，进而根据推
断出数列{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）把（1）中的a n代入b n=a n f（a n）求得b n，把m代入，进而利用错位相减法求得S n．
（3）把a n代入c n，要使c n﹣1＜c n对一切n≥2成立，需nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，进而根据m的不同范围求得答案．
解答：解：（1）由题意f（a n）=4+2（n﹣1）=2n+2，即log m a n=2n+2，
∴a n=m2n+2
∴
∵m＞0且m≠1，
∴m2为非零常数，
∴数列{a n}是以m4为首项，m2为公比的等比数列
（2）由题意b n=a n f（a n）=m2n+2log m m2n+2=（2n+2）•m2n+2，
当
∴S n=2•23+3•24+4•25+…+（n+1）•2n+2①
①式乘以2，得2S n=2•24+3•25+4•26+…+n•2n+2+（n+1）•2n+3②
②﹣①并整理，得S n=﹣2•23﹣24﹣25﹣26﹣…﹣2n+2+（n+1）•2n+3=﹣23﹣+（n+1）•2n+3
==﹣23+23（1﹣2n）+（n+1）•2n+3=2n+3•n
（3）由题意c n=a n lga n=（2n+2）•m2n+2lgm，要使c n﹣1＜c n对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）•m2•lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m2对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m2
∴对一切n≥2成立，只需，
解得，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜．
综上，当0＜m＜或m＞1时，数列{c n}中每一项恒小于它后面的项
点评：本题主要考查了等比关系的确定．涉及了数列的求和，不等式知识等问题，考查了学生分析问题的能力．。