第二章 线性规划的对偶理论2-对偶问题的性质

cj CB -24 基 y2 b 1/4
-15 y1 -5/4
-24 y2 1
-5 y3 0
0 y4 -1/4
0 y5 1/4
-5
y3
cj-zj
1/2
15/2
-15/2
0
0
1
0
1/2
-7/2
-3/2
-3/2
原问题变量 CB 0 2 1 基 x3 x1 x2 cj-zj b 15/2 7/2 3/2 x1 0 1 0 0 x2 0 0 1 0 x3 1 0 0 0
例 已知线性规划问题 max z x1 x2
x1 x2 x3 2 2 x1 x2 x3 1 x13 0
试用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
证明：该问题存在可行解，例如X= (0,0,0)，其对偶问题为
min w 2 y1 y2 y1 2 y2 1 y1 y2 1 y1 y2 0 y1 , y2 0
-1/6
-1/3 5/4 1/4 -1/4 -1/4
1
0 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
0 2 1
15/2 7/2 3/2
0 1 0 0
最优解为 X = (2/7, 2/3, 15/2, 0, 0)T ，代入目标函数得 z = 8.5。
max w 15 y1 24 y2 5 y3 0 y4 0 y5
0
y5 0 -1/5
cj
CB -24 -15 基 y2 y1 cj-zj b 1/3 1/15
-15
y1 0 1 0
-24y2 1 0 0-5y3 1/60
y4 -1/6 1/15 -3
0
y5 0 -1/5 -3
[2/15]
1
cj
CB -24 -15 基 y2 y1 cj-zj -24 -5 y2 y3 cj-zj 1/4 1/2 b 1/3 1/15
设 x1和 x2分别表示该公司生产甲乙两种产品的数量
(LP1)
max z 2 x1 x2 max z 2 x1 x2 +0x3+0x4+0x5
5 x2 15 6 x1 2 x2 24 x1 x2 5 x , x 0 2 1
5 x2 x3 15 化标 准形 6 x 2 x x4 24 2 1 x1 x2 x5 5 x15 0
cj
CB -1 -1 基 y6 y7 cj-zj b 2 1
0
y1 0 5 5
0
y2
0
y3 1 1 2
0
y4 -1 0 -1
0
y5 0 -1 1
-1
y6 1 0 0
-1
y7 0 1 0
[
6] 2 8
cj
CB -1 -1 基 y6 y7 cj-zj 0 -1 y2 y7 cj-zj 1/3 1/3 b 2 1
原问题松弛变量 x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4 对偶问题变量 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
对偶问题剩余变量
y4
y5
对偶问题变量
y1
y2
y3
对偶问题剩余变量
CB -24
基 y2
b 1/4
y1 -5/4
y2 1
y3 0
y4 -1/4
y5 1/4
-5
y3
cj-zj
1/2
15/2
(LP1)
max z 2 x1 x2 +0x3+0x4+0x
5 x2 x3 15 x4 24 6 x1 2 x2 x1 x2 x5 5 x15 0
cj 2 b 15 24 5 x1 0 6 1 2 1 x2 5 2 1 1 0 x3 1 0 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x5 0 0 1 0
第二章 对偶理论与灵敏度分析
第二节 对偶问题的基本性质
例：某公司计划生产甲、乙两种产品，已知各生产一件 时分别占用的设备A、B的台时、调试时间和调试工序每天 可用于这两种产品的能力、各销售一件时的获利情况，如下 表所示。问该公司应生产两种产品各多少件，使获取的利润 为最大。
甲 设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 利润（元） 0 6 1 2 乙 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
由第一约束条件可知对偶问题无可行解，因而无最优解。
引进松弛变量
对偶
min w = YT b s.t. AT Y ≥ CT Y≥0
引进松弛变量
max z =CX s.t. AX+XS= b X, XS≥0
X，Xs
max w / = -yT b s.t. AT Y-YS = CT Y, YS≥0
Y，Ys
XT YS = 0 YT XS = 0
互补松弛关系
AT
-I
CT =
XTYS=0 YTXS=0
m
n
原始问题的变量
原始问题的松弛变量
x1
xj
xn
xn+1 xn+i xn+m
y1
yi ym
ym+1
ym+j
yn+m
对偶问题的变量
对偶问题的松弛变量
互补松弛性 xj ym+j=0 yi xn+i=0 ( i = 1, 2, …, m； j = 1, 2, …, n )
(LP2)
6 y2 y3 y4 2 y5 1 5 y1 2 y2 y3 y 0 15
加人工 变量
max w 15 y1 24 y2 5 y3 0 y4 0 y5 My6 My7
6 y2 y3 y4 y6 2 y5 y7 1 5 y1 2 y2 y3 y 0 17
5
CB 0 0 0
基 x3 x4 x5 cj-zj
cj CB 0 0 0 基 x3 x4 x5 cj-zj b 15 24 5
2 x1 0
1 x2 5 2 1 1
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 1 0 0
0 x5 0 0 1 0
[6]
1 2
cj CB 0 0 基 x3 x4 b 15 24
0
y1 0 5 5 0
0
y2
0
y3 1 1 2 1/6 2/3 2/3
0
y4 -1 0 -1 -1/6 1/3 1/3
0
y5 0 -1 1 0 -1 -1
-1
y6 1 0 0 1/6 -1/3 -1/3
-1
y7 0 1 0 0 1 0
[
6] 2 8 1
[
5 5
]
0 0
cj
CB -1 -1 基 y6 y7 cj-zj 0 -1 y2 y7 cj-zj 0 0 y2 y1 cj-zj 1/3 1/15 1/3 1/3 b 2 1
0
y1 0 5 5 0
0
y2
0
y3 1 1 2 1/6 2/3 2/3 1/6 2/15 0
0
y4 -1 0 -1 -1/6 1/3 1/3 -1/6 1/15 0
0
y5 0 -1 1 0 -1 -1 0 -1/5 0
-1
y6 1 0 0 1/6 -1/3 -1/3 1/6 -1/15 -1
-1
y7 0 1 0 0 1 0 0 1/5 -1
w = 8.5。
将 LP1 和 LP2 的最终单纯形表进行比较，我们观察有什 么特点？
cj CB 0 2 1 基 x3 x1 x2 cj-zj b 15/2 7/2 3/2
2 x1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 5/4 1/4 -1/4 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
即：在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0。
对偶问题的基本性质：
1．弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行 解，则存在 CX Y / b 。 2．无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题 （原问题）无可行解。
ˆ ˆ 3．最优性：设 X 是原问题的可行解， Y 是对偶问题的 ˆ ˆ/ ˆ 可行解，当 CX Y b 时，X 和Y 是最优解。 ˆ
2 x1 0
1 x2 5 2
0 x3 1 0
0 x4 0 1
0 x5 0 0
[6]
1
2
0
x5
cj-zj x3 x1
5
1
1 5 2/6
0
0 1 0
0
0 0 1/6
1
0 0 0
0 2
15 4
0 1
0
x5
cj-zj
1
0
0
[2/3 ]
1/3
0
0
-1/6
-1/3
1
0
cj CB 0 0 基 x3 x4 b 15 24
4．强对偶性（对偶定理）：若原问题及其对偶问题均具有可行 解，则两者均具有最优解，且它们最优解的目标函数值相等。
ˆ ˆ 5．互补松弛性：若 X ， Y 分别是原问题和对偶问题的可行解， / ˆ ˆ/ ˆ 那么 ，当且仅当 ， ˆ 为最优解。 Ys X 0 Y X s和 0 X Y
1、可行解的目标函数值之间的关系
-15
y1 0 1 0 -5/4 15/2 -15/2
-24
y2 1 0 0 1 0 0
-5
y3 1/6
0
y4 -1/6 1/15 -3 -1/4 1/2 -7/2
0
y5 0 -1/5 -3 1/4 -3/2 -3/2
[2/15]
1 0 1 0
LP2 的最优解为 Y = (0, 1/4, 1/2, 0, 0)T ，代入目标函数得
设X、Y 分别是原始问题和对偶问题的可行解，则
z =CX YT b = w
2、最优解的目标函数值之间的关系
设Xo、Yo 分别是原始问题和对偶问题的最优解
z = CXo = yo T b = w
3、原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系 max z = CX s.t. AX ≤ b X ≥0
[
6] 2 8 1
[
5 5 0 1 0
]
0 0 1 0 0
问题 LP2 有可行解，去除人工变量，并从最后一个表出发， 继续用单纯形法求解。
cj
CB -24 -15 基 y2 y1 cj-zj b 1/3 1/15
-15
y1 0 1
-24
y2 1 0
-5
y3 1/6 2/15
0
y4 -1/6 1/15
-15/2
0
0
1
0
1/2
-7/2
-3/2
-3/2
原问题松弛变量
x3 x4 x5
原问题变量
x1 x2
原问题和对偶问题变量、松弛变量的维数
max z=CX s.t. AX+XS=b X, XS ≥0 min W=YTb s.t. ATY-YS=CT Y, YS ≥0
n n m XS
X
m Y
A
YS
I
= b
2 x1 0
1 x2 5 2
0 x3 1 0
0 x4 0 1
0 x5 0 0
[6]
1
2
0
x5
cj-zj x3 x1
5
1
1 5 2/6
0
0 1 0
0
0 0 1/6
1
0 0 0
0 2
15 4
0 1
0
x5
cj-zj x3 x1 x2 cj-zj
1
0
0
[ 2/3]
1/3 0 0 1 0
0
0 1 0 0 0
(LP2)
min w 15 y1 24 y2 5 y3
6 y 2 y3 2 5 y1 2 y 2 y 3 1 y 13 0
化标 准形
max w 15 y1 24 y2 5 y3 0 y4 0 y5
6 y2 y3 y4 2 y5 1 5 y1 2 y2 y3 y 0 15
两阶段法
min w y6 y7
第一阶段
6 y2 y3 y4 y6 2 y5 y7 1 5 y1 2 y2 y3 y 0 17
max w 15 y1 24 y2 5 y3 0 y4 0 y5
第二阶段
6 y2 y3 y4 2 y5 1 5 y1 2 y2 y3 y 0 15