人教版初中数学八年级上册三角形重点考点知识点讲解

人教版初中数学八年级上册三角形重点考点知识点讲解
单选题
1、如图，已知a//b，∠1=120°，∠2=90°，则∠3的度数是( )
A．120°B．130°C．140°D．150°
答案：D
解析：
延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
如图，延长∠1的边与直线b相交，
∵a//b，
∴∠4=180°−∠1=180°−120°=60°，
由三角形的外角性质可得，
∠3=90°+∠4=90°+60°=150°．
故选：D．
小提示：
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
2、三角形的三条高所在直线的交点一定在
A．三角形的内部B．三角形的外部
C．三角形的内部或外部D．三角形的内部、外部或顶点
答案：D
解析：
根据高的概念知：不同形状的三角形的高所在直线的交点位置不同．锐角三角形的三条高都在内部，交点在其
内部；直角三角形的三条高中，两条就是直角边，第三条在内部，交点是直角顶点；钝角三角形有两条在外部，一条在内部，所在直线的交点在外部．
A. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的内部，错误；
B. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，不在三角形的外部，错误；
C. 直角三角形的三条高的交点是直角顶点，既不在三角形的内部，又不在三角形的外部，错误；
D. 锐角三角形的三条高的交点在其内部；直角三角形的三条高的交点是直角顶点；钝角三角形的三条高所在直
线的交点在其外部，正确.
故选D.
小提示：
此题考查三角形的角平分线、中线和高，解题关键在于掌握其性质定义性质.
3、下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉
点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓
A．1B．2
C．3D．4
答案：A
解析：
用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边
所以答案是：A．
小提示：
本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
4、在△ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则（）
A．必有一个角等于30°B．必有一个角等于45°
C．必有一个角等于60°D．必有一个角等于90°
答案：D
解析：
先设三角形的两个内角分别为x，y，则可得(180°－x－y)，再分三种情况讨论，即可得到答案. 设三角形的一个内角为x，另一个角为y，则三个角为(180°－x－y)，则有三种情况：
①x=|y−(180°−x−y)|⇒y=90∘或x+y=90∘
②y=|x−(180∘−x−y)|⇒x=90∘或x+y=90∘
③(180∘−x−y)=|x−y|⇒x=90∘或y=90∘
综上所述，必有一个角等于90°
故选D.
小提示：
本题考查三角形内角和的性质，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质，分情况讨论.
5、下图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定，如果在木条交叉点打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加（）个螺栓
A．1B．2
C．3D．4
答案：A
解析：
用木条交叉点打孔加装螺栓的办法去达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
如图，A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边
所以答案是：A．
小提示：
本题考查了三角形的稳定性的问题，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
6、下列多边形中，内角和最大的是（）
A．B．C．D．
答案：D
解析：
根据多边形内角和公式可直接进行排除选项．
解：A、是一个三角形，其内角和为180°；
B、是一个四边形，其内角和为360°；
C、是一个五边形，其内角和为540°；
D、是一个六边形，其内角和为720°；
∴内角和最大的是六边形；
故选D．
小提示：
本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．
7、如图，BP、CP是ΔABC的外角角平分线，若∠P=60°，则∠A的大小为（）
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案：B
解析：
首先根据三角形内角和与∠P得出∠PBC+∠PCB，然后根据角平分线的性质得出∠ABC和∠ACB的外角和，进而得出∠ABC+∠ACB，即可得解.
∵∠P=60°
∴∠PBC+∠PCB=180°-∠P=180°-60°=120°
∵BP、CP是ΔABC的外角角平分线
∴∠DBC+∠ECB=2（∠PBC+∠PCB）=240°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠DBC+180°-∠ECB=360°-240°=120°
∴∠A=60°
故选：B.
小提示：
此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，熟练掌握，即可解题.
8、当n边形边数增加2条时，其内角和增加（）
A．180°B．360°C．540°D．720°
答案：B
解析：
根据n边形的内角和定理即可求解．
解：原来的多边形的边数是n，则新的多边形的边数是n＋2．
（n＋2−2）•180−（n−2）•180＝360°．
故选：B．
小提示：
本题主要考查了多边形的内角和定理，多边形的边数每增加一条，内角和就增加180度．
填空题
9、在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为_____．
答案：7cm##7厘米
解析：
根据中线的定义知CD=BD，结合三角形周长可得AC−AB=3cm，根据题意，即可得出AC的长度．解：如图所示：
∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD，
∵C△ADC−C△ABD=3cm，AB=4cm，
即(AC+CD+AD)−(AB+DB+AD)=3cm，
∴AC−AB=3cm，
∴AC=3+AB=7cm．
所以答案是：7cm．
小提示：
本题考查了三角形的中线性质，理解题意，作出图形是解题关键．
10、三角形三边长分别为3，2a−1，4.则a的取值范围是______．
答案：1<a<4
解析：
根据三角形的三边关系为两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式即可求出a的取值范围．∵三角形的三边长分别为3，2a−1，4，
∴4−3<2a−1<4+3，
即1<a<4，
故答案为1<a<4．
小提示：
本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
11、如图，已知∠1＝75°，将直线m平行移动到直线n的位置，则∠2﹣∠3＝_____°．
答案：105
解析：
直接利用平移的性质结合三角形外角的性质得出答案．
解：如图，由题意可得：m∥n，
∴∠CAD+∠1=180°．
∵∠3=∠4，
∴∠4+∠CAD=∠2，
∴∠2﹣∠3=∠CAD+∠3﹣∠3=∠CAD=180°﹣∠1=180°﹣75°=105°．
所以答案是：105．
小提示：
本题考查了平移的性质、三角形外角的性质以及平行线的性质，正确转化角的关系是解题的关键．
12、如图，在△ ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，若△ ABC的面积为4m2，则阴影部分的面积为 _________ cm2
答案：1
解析：
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
解：∵点E是AD的中点，
∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，
∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12
×4＝2cm 2， ∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12
×4＝2cm 2， ∵点F 是CE 的中点，
∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12
×2＝1cm 2． 所以答案是：1．
小提示：
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
13、如图，BE 、CE 分别为△ABC 的内、外角平分线，BF 、CF 分别为△EBC 的内、外角平分线，若∠A =52°，则∠BFC =_______度．
答案：13
解析：
根据BF ，CF 分别为△EBC 的内、外角平分线分别设∠EBF =∠CBF =x ，∠ECF =∠DCF =y ，再根据BE ，CE 分别为△ABC 的内，外角平分线，得到∠ABC =∠ABE +∠EBD =4x 和 ∠ACD =∠ACE +∠ECD =4y ，最后根据 ∠ACD =∠ABC +∠A 和 ∠DCF =∠BFC +∠CBF 求出 ∠BFC =y −x =13°即可．
∵BF ，CF 分别为△EBC 的内、外角平分线，
∴∠EBF =∠CBF ，∠ECF =∠DCF ，
设∠EBF=∠CBF=x，∠ECF=∠DCF=y，
∴∠EBD=∠EBF+∠CBF=2x，∠ECD=∠ECF+∠DCF=2y，
又∵BE，CE分别为△ABC的内，外角平分线，
∴∠ABE=∠EBD=2x，∠ACE=∠ECD=2y，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD=4x，∠ACD=∠ACE+∠ECD=4y，
又∵∠ACD=∠ABC+∠A，
∴4y=4x+52°，∴y−x=13°
又∵∠DCF=∠BFC+∠CBF，
∴y=∠BFC+x，
∴∠BFC=y−x=13°，
所以答案是：13．
小提示：
此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，有一定难度．
解答题
14、如图所示，AE为△ABC的角平分线，CD为△ABC的高，若∠B＝30°，∠ACB为70°．
（1）求∠CAF的度数；
（2）求∠AFC的度数．
答案：（1）40°；（2）130°
解析：
（1）依据三角形内角和定理，即可得到∠BAC 的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠CAF 的度数；
（2）依据三角形内角和定理，即可得到∠ACF 的度数，再根据三角形内角和定理，即可得出∠AFC 的度数． 解：（1）∵∠B ＝30°，∠ACB ＝70°，
∴∠BAC ＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
又∵AE 平分∠BAC ，
∴∠CAF ＝12∠CAB ＝12×80°＝40°； （2）∵CD 为△ABC 的高，∠CAD ＝80°，
∴Rt △ACD 中，∠ACF ＝90°﹣80°＝10°，
∴∠AFC ＝180°﹣∠ACF ﹣∠CAF ＝180°﹣10°﹣40°＝130°．
小提示：
本题考查了三角形的外角性质、三角形的角平分线、中线和高、三角形内角和定理，熟练掌握性质，灵活运用定理是解题的关键．
15、△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，AE 是△ABC 的高．
（1）如图1，若∠B ＝40°，∠C ＝60°．求∠DAE 的度数．
（2）如图2（∠B ＜∠C ），试说明∠DAE 与∠B 、∠C 的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC 中，AE 是∠BAC 的角平分线，DA 是∠BDC 的角平分线，猜想：∠DAE 与∠B 、
∠C的数量关系是否改变，说明理由．
答案：（1）10°；（2）∠DAE=1
2∠C−1
2
∠B，见解析；（3）不变，见解析
解析：
（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM=1
2
（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN=1
2
（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD=1
2
∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC +∠B +∠C ＝180°，
∴∠BAC ＝180°﹣∠B ﹣∠C ，
∵AD 是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD ＝∠BAD =12∠BAC ， ∵AE 是△ABC 的高，
∴∠AEC ＝90°，
∴∠CAE ＝90°﹣∠C ，
∴∠DAE ＝∠CAD ﹣∠CAE =12∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）=12（180°﹣∠B ﹣∠C ）﹣90°+∠C =12∠C −12∠B ， 即∠DAE =12∠C −12∠B ； （3）不变，
理由：连接BC 交AD 于F ，
过点A 作AM ⊥BC 于M ，过点D 作DN ⊥BC 于N ，
∵AE 是∠BAC 的角平分线，AM 是高，
∴∠EAM =12（∠ACB ﹣∠ABC ），
同理，∠ADN =12（∠BCD ﹣∠CBD ）， ∵∠AFM ＝∠DFN ，∠AMF ＝∠DNF ＝90°，
∴∠MAD ＝∠ADN ，
∴∠DAE ＝∠EAM +∠MAD ＝∠EAM +∠ADN =12（∠ACB ﹣∠ABC ）+12（∠BCD ﹣∠CBD ）=12（∠ACD ﹣∠ABD ）．
小提示：
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，熟知相关知识，并根据题意添加辅助线构造图形是解题关键．。