2021年高中数学第四章定积分4.1.2定积分课件1北师大版选修2_2

a
a
其中， 叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分
的上限，f (x)叫作被积函数，x叫作积分变量，[a, b]
叫作积分区间.
概念说明
（1）.定积分ab f ( x )dx 是一个常数，即n 时，
S n无限接近的常数A,而不是 S n .
〔2〕.用定义求积分的一般方法是：
分割 近似代替 求和 取极限
yf(x)
定及积x分轴和ab 曲f ( 线x )dyx表示f(由x)直所线围x成曲a,边x梯b形以
的面积，这就是定积分
意义.
b a
f
( x )d x 的几何
O
x
说明：一般情况下，定积分
b
a
f
( x )d x
的几何意义
是介于 x轴、函数 f (x)的图形以及直线 xa,
xb 之间各部分面积的代数和，在 x轴上
012dx2
o
y2
1
x
xdx 解〔2〕： 2 1
表示的是图
中所示梯形的面积，
由于这个梯形的面
积为 3 . 所以
y
2
2
12 xdx 23
1
yx
o 12 x
解〔3〕： 1 1
1x2dx
表示的是图中所示
-1
半径为1的半圆的面
积， 由于这个半圆
的面积为 .
所以
2
1
1
1x2dx 2
y
1 y 1x2
x
根本概念
如果 xi 趋近于0（亦即 n ）时,上述和式
S n f ( 1 ) x 1 f ( 2 ) x 2 f ( i ) x i f ( n ) x n
无限的趋近某个常数A（即曲边梯形面积）.称A是
函数 yf(x)在区间 [a, b] 上的定积分.
记作 b f ( x )d x ,即 b f ( x )d x A
S f ( ) x f ( ) x f ( ) x f ( ) x
n 11 22
ii
nn
如果 f (i )是区间 [xi1,xi]上的最大值，则 S n 是曲边梯形 面积的过剩估计值；如果f (i ) 是区间[xi1,xi]上的最小值， 则 S n 是曲边梯形面积的不足估计值.
oo
1
解〔4〕：
2
1
2xd
x
表示的
是图中所示三角形
的面积之差， 由于
SOABSOCD3
上 方 取所以正 ，下 方 取 负
2
1
2xd
x
3
y y2x
4
B
2
C
-1 o
A
2
x
D-2
定积分的根本性质
b
〔1〕 1dxba a
〔2〕 a bk(fx)d xka bf(x)dx
〔3〕
b
b
b
a [f1 (x ) f2 (x )] d x af1 (x )d x af2 (x )d x
将 区 间 0 ,1 等 分 成 n 个 小 区 间 ， 记 第 i 个 区 间 为
i
1 n
,
i n
(i
1,
2
,
, n) ，其长度为 x i i 1 1 。 nn n
2 近似代替，求和
取 i
i n
(i
1, 2,...n)
则
1 x3dx
0
Sn
n i 1
f ( i ) x n
n ( i )3 1 1 n i3 1 1 n2 (n 1)2 1 (1 1)2
〔3〕.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，
即有
b
b
b
f(x)d x f(t)d t f(u)du
a
a
a
曲边梯形面积：
S
b
a
f
xdx
变速运动路程： S t2 v(t )dt t1
变力做功：
b
W a F(r)dr
定积分的几何意义
从几何图形上看，如果函数 yf(x)在 y
区间[a,b] 上连续且恒有 f(x)0， 那么
一般地，设函数在 f (x)区间 [a,b]上连续，用分点
a x 0 x 1 x 2 x i 1 x i x n b 将区间
[a,b] 分成 n 个小区间，每个小区间长度为 xi
( xxx ),在每个小区间 [x ,x ] 上取一点
i
i
i1
i1 i
i(i1 ,2 ,3 ,,n),作和式：
第四章 定积分 4.1.2 定积分
复习回忆
曲边梯形面积求法
分割：
y
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
f (i ) ••f (i )
yf(x)
xa
xb
O
a
x•0 •x1 •x 2 • • • x•i1•x i • • • •••••x•n 1•xn
x b
讲授新课
i1 n
n
n4 i 1
n4 4
4n
3 取极限
1 x3dx
0
limnBiblioteka Snlimn
1 4
(1
1 )2 n
1 4
练习2：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所围成的图形面积 .
3x+3d x-3x2-x+3d x
0
0
3 -x2+3x dx 0
小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
分割
化整为零
求和
求近似以直〔不变〕代曲〔变〕
积零为整
取逼近
取逼近
精确值——定积分
3.定积分的几何意义及简单应用
〔4〕 a b f(x ) d x a cf(x ) d x c bf(x ) dx
其中〔2〕〔3〕叫作定积分的线性性质 〔4〕叫作定积分对积分区间的可加性
性质1
y
y=1
Oa
b
x
性质4
y A
B C
M Oa
N P bx
定积分的根本性质
补充规定：
1
a
a
f
xdx0
2a bfxdxbafxdx
b
bb
b
推广1 a [f1 (x ) f2 (x ) fm (x )]d x af1 (x )d x af2 (x )d x afm (x )
推广2
bf(x)dxc1f(x)dxc2f(x)dxbf(x)dx
a
a
c1
ck
练习 1：利用定积分的定义，计算 1 x3dx 的值。 0
解：1 分割：在区间0 ,1上等间隔地插入 n 1个点，
方的面积取正号，在 x轴下方的面积取负号．
上方取正，下方取负
例：说明以下定积分所表示的几何意义，并根据 其意义求出定积分的值.
(1) 01 2dx ;
(2) 12 xdx ;
(3) 1 1
1x2dx;
(4)
2
1
2xd
x.
解〔1〕：01 2dx表示的是图
中所示长方形的面积，
由于这个长方形的面
y
积为2. 所以 2