【市级联考】河南省南阳市2021届高三上学期期末质量评估数学(文)试题

【市级联考】河南省南阳市2019届高三上学期期末质量评估
数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合{|23,}A x x x Z =-<<∈，{2,1,0,1,2,3}B =--，则集合A B 为（ ）
A ．{2,1,0,1,2}--
B ．{1,0,1,2}-
C ．{1,0,1,2,3}
-
D ．{2,1,0,1,2,3}--
2．已知复数3
12z i
=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．
12
55
i - B ．1255i + C ．36
55i - D ．3655
i +
3．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形内的概率为（ ）
A ．
2π
B ．
2
C ．
2π
D ．
2
4．已知向量()()1,2,2,a b t ==-，且a b ，则a b +=
A B
C
D ．5
5．若双曲线22
21(0)9
y x a a -=>的一条渐近线与直线13y x =垂直，则此双曲线的实轴
长为（ ） A ．1
B ．2
C ．9
D ．18
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几
何体的外接球体积为（ ）
A
．
B ．4π
C ．83
π
D ．
43
π 7．函数()()
2
1cos x x f x x
π-=
的部分图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知函数()sin()(0)2
f x x π
ωφωϕ=+><，
图象相邻两条对称轴之间的距离为
2
π
，将函数()y f x =的图象向左平移
3
π
个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）
A ．关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 B ．关于点,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C ．关于直线12
x π
=-
对称
D ．关于直线12
x π
=
对称
9．已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，
则实数m 的取值范围是（ ） A ．(][),55,-∞-+∞ B ．(][),2525,-∞-+∞
C ．[]5,5-
D ．[]25,25-
10．已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，数列{
}n b 满足关系
3
12123
1
2n n
n a a a a b b b b ++++
=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则5S 的值为（ ） A ．-442
B ．-446
C ．-450
D ．-454
11．已知1F ，2F 分别为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于
第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥
，且
1PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ） A
B
．2C
D 1
12．已知函数3,21
(),20x x a x x f x a e x x ⎧--≤-⎪⎪+=⎨⎪--<<⎪⎩
恰有3个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A ．21,33⎡⎫
-
-⎪⎢⎣
⎭ B ．221,3e ⎡⎫
-
-⎪⎢⎣
⎭ C ．21
1,e e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
D ．11,3e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
二、填空题
13．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若16a =， 9b =，则输出的n =______．
14．若x ，y 满足约束条件{x +y ≤
1,
x −y ≤1,x ≥0,
则z =x −2y 的最小值为_____．
15．若tan 3,0,
2παα⎛⎫
=∈ ⎪⎝
⎭，则cos 4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭______．
16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()f'x 0>且()(
)x
f f x e 1-=，若()f x ax a
≥+恒成立，则实数a 的取值范围为______．
三、解答题
17．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，向量(sin ,sin )m A B =，
(cos ,cos )n B A =且sin 2m n C ⋅=.
（1）求角C 的大小；
（2）若sin sin 2sin A B C +=，且ABC
面积为求边c 的长.
18．某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.
（1）求,m n 的值；
（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y 与年龄x 进一步分析，发现他们线性相关，
得到回归方程ˆ5y
x b =-+.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
22⨯列联表
300
消费金额300<
临界值表：
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
19．如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为边长为2的等边三角形，
90BAC ∠=，O 为BC 中点.
(1)证明: AC SO ⊥; (2)求点C 到平面SAB 的距离.
20．过抛物线()2
:20C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，当点
A 的纵坐标为1时，2AF =.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若直线l 的斜率为2，问抛物线C 上是否存在一点M ，使得MA MB ⊥，并说明理由.
21．已知函数()ln f x x ax a =-+，a R ∈. （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当1x ≥时，函数()(1)()ln g x x f x x =+-的图象恒不在x 轴的上方，求实数a 的
取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x t
y t
=--⎧⎨
=+⎩（t 为参数），以
坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为
22
2
1sin ρθ
=
+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点P 的极坐标为4π⎫
⎪⎪⎝⎭
，PA PB ⋅的值.
23．已知函数()34f x x x =-++. （1）求()(4)f x f ≥的解集；
（2）设函数()(3)()g x k x k R =-∈，若()()f x g x >对x R ∀∈成立，求实数k 的取值范围.
参考答案
1．B 【解析】
由题意可得：{}1,0,1,2A =- ，则集合A B ⋂为{}1,0,1,2-. 本题选择B 选项.
2．D 【解析】
312z i =
+3(12)36
555i i -==-,z =3655
i +,选D. 3．A 【解析】
设圆的半径为r ，则圆的面积2
=S r π圆，正六边形的面积
22133=6sin 6022
S r r ⨯
⨯⨯=
正六边形，所以向圆中随机投掷一个点，该点落在正六边形内
的概率
2
22=
=S P S r 正六边形圆
π=
，故选A. 4．B 【分析】
首先根据两向量的平行关系可得4t =-，再将向量加法和向量模长运算公式相结合即可得最后结果. 【详解】
根据题意可得()122t ⨯=⨯-，可得4t =-，
所以()1,2a b +
=--，从而可求得14a b +=+= B. 【点睛】
该题考查的是有关向量模的求解问题，在解题的过程中，需要利用向量共线坐标所满足的条件，求得相关的参数的值，之后应用向量加法运算法则求得和向量的坐标，接着应用向量的模的坐标公式求得结果. 5．D 【解析】
【分析】
先求出渐近线的一般方程，利用斜率乘积为1-得到a 的值后可得实轴长. 【详解】
渐近线的方程为30ax y ±=，因0a >，故渐近线30ax y +=与直线1
3
y x =垂直，
故1
133
a -
⨯=-，解得9a =，所以双曲线的实轴长为218a =，故选D. 【点睛】
如果双曲线的方程为()22
220x y a b λλ-=≠，那么求其渐近线的方法就是把λ变成零后所得
两个二元一次方程就是渐近线方程.另外()22
220x y a b
λλ-=≠表示一类双曲线，它们具有共
同的渐近线（俗称共渐近线的双曲线系）. 6．A 【分析】
三视图对应的几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面且长度为2，补体后可求外接球的半径，从而求得外接球的体积. 【详解】
三视图对应的几何体是四棱锥1A ABCD -（如图所示），其中底面是边长为2的正方形，侧棱12A A =且垂直于底面.如图，把几何体补成正方体，则四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线且为23，故外接球的体积为()
3
4
3
433
ππ⨯
= .故选A .
【点睛】
本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．外接球的体积的计算，关键在于球心的位置的确定，如果球心位置不容易确定，则可以通过补体以方
便球的半径的计算． 7．C 【解析】 【分析】
分析函数的奇偶性，及x ∈（0，1
2
）时函数的符号，利用排除法可得答案． 【详解】
函数f （x ）＝
()2
1cos ||
x
x x π-，定义域为()()00-∞∞，，+，
()()
()
()()
()2
2
11x cos x x cos x f x f x x
x
ππ-----=
=
=-，满足f （﹣x ）＝f （x ）
， 故函数图象关于y 轴对称，排除B ，D ；
当x∈（0，1
2）时，210x -<，f （x ）＝()
21cos ||
x x x π-＜0，排除A ，
故选C ． 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，解答此类问题先考虑其定义域，然后判定函数的奇偶性、单调性，或者运用特殊值代入求出函数的图像大致趋势，属于基础题. 8．B 【分析】
先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案． 【详解】
因为相邻两条对称轴的距离为2π
，故22
T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移
3
π
单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，
所以2sin 13
πφ⎛⎫
+=± ⎪
⎝
⎭
，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z =-∈πφπ， 因2
π
φ<
，所以6
π
φ=-
．
又()sin 26f x x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
，令2,6
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，
故对称轴为直线,23
k x k Z ππ
=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-
=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫
+∈ ⎪⎝
⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ． 【点睛】
一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数
sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.
9．C 【分析】
P 的轨迹为圆，考虑该圆和直线340x y m -+=有公共点（即相交或相切）可得实数m 的
取值范围. 【详解】
设(),P x y ，则()()1,,1,,PM x y PN x y =---=--
由PM PN ⊥得2
2
1x y +=，因P 在直线340x y m -+=上，故圆心到直线的距离
1d =
≤，故[]5,5m ∈-，故选C.
【点睛】
此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果,A B 为定点，且动点M 满足()1MA MB λλ=≠，则动点M 的轨迹为圆； （2）如果ABC ∆中，BC 为定长，A 为定值，则动点A 的轨迹为一段圆弧． 10．C 【分析】
{}n a 的通项公式为21n a n =-，由
12
12
12n n n a a a b b b +++
=可得n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的通项进而求出n b 后可得5S ． 【详解】
因为{}n a 为等差数列且11,2a d ==，故21n a n =-．
又11,1211,222n n n n n a b n -⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，也就是1
,121,2
2n
n n n a b n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩，所以()2,1212,2n n
n b n n =⎧=⎨--≥⎩， 521240112288450S =----=-，故选C ．
【点睛】
数列的通项{}n a 与前n 项和n S 的关系式
11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，我们常利用这个关系式实现n a 与n S 之间的相互转化.
11．A 【分析】
设()10PF m m =>，
则22PF a m =-，222QF m a =-，再次利用椭圆的几何性质可得
142QF a m =-，利用11QF =求得m 后再利用12PF F ∆ 为直角三角形得到关于
a,c 的方程，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】
设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，14
2QF a m =-，
因为11QF =
，故(4m a =-.
因2
2
2
212
124PF PF F
F c +==，故()
()
2
2
24244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦
，
整理得到2
436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭
c a == A. 【点睛】
圆锥曲线中离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于,,a b c 的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于,,a b c 的不等式或不等式组． 12．D 【分析】
因为方程()3021x a x x -
-=≤-+①至多有一个零点，所以方程()020x a
e x x
-=-<<②至少有两个零点，所以0a <，利用导数分析函数,20x
a y e x x
=--<<的图像特点可知①
有一个零点且②有两个零点，从而可得实数a 的取值范围． 【详解】 方程()3021x a x x -
-=≤-+①至多有一个零点，所以方程()020x a
e x x
-=-<<至少有两个零点． 令(),20x
a
g x e x x
=-
-<<． 若0a ≥，则()g x 为()2,0-上的增函数，故()020x
a
e x x
-=-<<至多有一个零点，舍去；
若0a <，则()222
'x x
a x e a
g x e x x
+=+=， 令()2x
h x x e =，则()()
2
'20x
h x x x e =+<，
()h x 为()2,0-上的减函数，故22
40x x e e <<
， 若2
4a e ≤-
，则()'0g x <，()g x 为()2,0-上的减函数，故()020x
a e x x
-=-<<至多有一个零点，舍去； 若24
0a e
-
<<，则()'0g x =在()2,0-有解0x x =,
当()02,x x ∈-时，()'0g x >；当()0,0x x ∈时，()'0g x <， 故()g x 在()02,x -上单调递增，在()0,0x 单调递减，所以()020x
a
e x x
-
=-<<在()2,0-上只能有两个零点，故000
2
2200
4
00
20
x x a e x a e a
e x e a -⎧->⎪⎪⎪-<<⎪⎨⎪⎪+<⎪⎪+=⎩，解212
a e e -<<-． 又方程()3021x a x x -
-=≤-+有一个零点，故3231a
a -≤-+，故2133a -≤<-， 综上，11
3
a e -
<<-，故选D ． 【点睛】
已知分段函数的零点的个数求参数的取值范围时，要根据各段函数图像的特点判断零点的个数，必要时可结合函数的导数分类讨论图像的特点．如果导数的零点不易求得，则可设出该零点，通过零点满足的方程去化简，从而得到参数的取值范围． 13．2 【分析】
流程图为循环结构，依据输入值逐个计算可得输出结果． 【详解】
1n =时，24,18a b ==；2n =时，36,36a b ==，此时a b ≤成立，
故输出n 的值为2． 【点睛】
对于流程图的问题，我们可以先判断出流程图的功能，再逐步计算即可，注意循环中各变量的变化规律. 14．−2 【解析】
分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
详解：由x ，y 满足约束条件{x +y ≤1
x −y ≤1x ≥0
,作出可行域如图:
联立{x =0x +y =1 ，解得B （0，1）． 化目标函数z=x ﹣2y 为y=1
2x ﹣1
2z ，
由图可知，当直线y=1
2x ﹣12z 过B （0，1）时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最小值为：0﹣2×
1=﹣2． 故答案为﹣2．
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15 【解析】 分析：
由tan 3,0,2παα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，根据同角三角函数之间的关系，求出cos α与sin α的值，利用两
角差的余弦公式求解即可. 详解：
由tan 3α=，可得
3cos sin α
α
=.
又22sin cos 1αα+=，结合0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，可得cos sin αα=
=
)cos cos 4sin πααα⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭
，
故答案为5
. 点睛：
本题主要考查两角差的余弦公式以及同角三角函数之间的关系，同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换. 16．01a ≤≤ 【分析】
求出()f x 的解析式为()x
f x e =，结合函数图象即可得出a 的范围．
【详解】
因为()f x '＞0，∴f （x ）为增函数，∴f （f （x ）﹣e x ）=1，
∴存在唯一一个常数x 0，使得f （x 0）=1，∴f （x ）﹣e x =x 0，即f （x ）=e x +x 0， 令x=x 0可得0x e +x 0=1，∴x 0=0，故而f （x ）=e x ， ∵f （x ）≥ax+a 恒成立，即e x ≥a （x+1）恒成立． ∴y=e x 的函数图象在直线y=a （x +1）上方，
不妨设直线y=k （x +1）与y=e x 的图象相切，切点为（x 0，y 0），
则()000001x x y k x y e e k ⎧=+⎪
=⎨⎪=⎩
，解得k=1． ∴当0≤a≤1时，y=e x 的函数图象在直线y=a （x +1）上方，即f （x ）≥ax+a 恒成立， 故答案为[0，1]．
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的确定，以及恒成立问题与函数图象的应用，其中解答中把
()f x ax a ≥+的恒成立，转化为(1)x e a x ≥+恒成立，转化为函数x y e =的图象在函数
(1)y a x =+的图象上方，作出函数的图象是解答的关键，着重考查，分析问题和解答问题
的能力，属于中档试题. 17．(1)60C =︒；(2)6c =. 【分析】
（1）先根据向量数量积得角的关系式，再根据诱导公式得1
cos 2
C =
，解得角C ， （2）先根据正弦定理得2a b c +=，再根据三角形面积公式得36ab =，最后利用余弦定理求边c 的长. 【详解】
（1）因为sin cos m n A B ⋅=+ ()sin cos sin sin2B A A B C =+= 在三角形ABC 中有：()sin sin A B C += 从而有sin 2sin cos C C C =，即1
cos 2
C =
，则60C =︒； （2）由sin sin 2sin A B C +=，结合正弦定理知：2a b c +=
又11sin 22S ab C ab =
==知：36ab = 根据余弦定理可知：2222cos c a b ab C =+- ()2
234108a b ab c =+-=- 解得：6c =. 【点睛】
本题考查向量的数量积、正弦定理和余弦定理的应用.三角形中共有七个几何量，知道其中三个，可以求出其余四个，注意根据给出的三个基本量选择合适的定理来解决，如给出的条件是两角及一边所对的角，可选择正弦定理，如给出的条件是两边及夹角，可选择余弦定理. 18．（1）0.0035m =，0.0025n =（2）详见解析（3）395元 【分析】
（1）根据频率分布直方图可得0.006m n +=，结合0.00152m n +=可得,m n 的值. （2）根据表格数据可得28.249K ≈，再根据临界值表可得有99%的把握认为消费金额与性别有关.
（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到520b =，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额. 【详解】
（1）由频率分布直方图可知，0.010.001520.0010.006m n +=-⨯-=， 由中间三组的人数成等差数列可知0.00152m n +=， 可解得0.0035m =，0.0025n =
（2）周平均消费不低于300元的频率为()0.00350.00150.0011000.6++=⨯，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为1000.660⨯=人. 所以22⨯列联表为
300
消费金额300<
2
2
100(20152540)8.249 6.63545556040
K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯
所以有99%的把握认为消费金额与性别有关. （3）调查对象的周平均消费为
0.151500.252500.353500.154500.10550330⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
由题意330538b =-⨯+，∴520b =
525520395y =-⨯+=.
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元. 【点睛】
（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是
频率
组距
； （2）两类变量是否相关，应先计算2K 的值，再与临界值比较后可判断是否相关. （3）线性回归方程对应的直线必经过()
,x y .
19．（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）由题设AB=AC=SB=SC=SA ，连结OA ，推导出SO ⊥BC ，SO ⊥AO ，由此能证明SO ⊥平面ABC ;
（2）设点B 到平面SAC 的距离为h ，由V S ﹣BAC =V B ﹣SAC ，能求出点B 到平面SAC 的距离． 【详解】
（1）由题设AB AC SB SC === = SA ，连结OA ，ABC 为等腰直角三角形，所以
2
OA OB OC SA ===
，且AO BC ⊥，
又SBC 为等腰三角形，故SO BC ⊥，且2
SO SA =
， 从而222OA SO SA +=．所以SOA 为直角三角形，SO AO ⊥． 又AO
BO O =．
所以SO ⊥平面ABC ，故AC ⊥SO ．
（2）设B 到平面SAC 的距离为d ，则由（Ⅰ）知：三棱锥S ABC B SAC V V --= 即
11
33
ABC SAC S SO S d ∆∆⋅=⋅ ∵ABC 为等腰直角三角形,且腰长为2.
∴BC =
∴SO =
=
∴△SAC 的面积为SAC S ∆=
2
12sin602
⨯⨯︒=
△ABC 面积为2ABC S ∆=, ∴=,d =
∴B 到平面SAC 的距离为3
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，考查点到平面距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
20．（1）2
:4C x y =；（2）存在点(6,9),(6,9)M M -.
【解析】
【试题分析】（1）运用抛物线的定义建立方程
122
p
+=求出2p =；（2）借助题设条件MA MB ⊥建立方程1020()()160x x x x +++=，再运用根与系数的关系得到方程
2004120x kx ++=，通过对判别式的研究发现有解，即所设的点存在：
解：（1）由抛物线的定义可得
1222
p
p +=⇒=，故抛物线方程为24x y =； （2）假设存在满足题设条件的点()00,M x y ，则设直线:+1AB y kx =代入2
4x y =可得2440x kx --=，
设()()1122,,,A x y B x y ，则12124,4x x k x x +==-．因为10102020(,),(,)MA x x y y MB x x y y =--=--，则由MA MB ⊥可得：
10201020()()()()0x x x x y y y y --+--=，即
102010201
()()[1()()]016
x x x x x x x x --+
++=，也即1020()()160x x x x +++=，所以2004120x kx ++=，由于判别式2164816(43)0k ∆=-=->，此时002,6x x =-=-，
则存在点(2,1),(6,9)M M --，即存在点()00,M x y 满足题设． 21．（1）见解析；（2）1
,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭
【解析】
分析：（1）函数的定义域是（0，+∞）．f （x ）=lnx ﹣ax+a ，f′（x ）=
1
x
﹣a ，对a 分类讨论
即可得出单调性；（2）当x≥1时，函数g （x ）=（x+1）f （x ）﹣lnx=xlnx ﹣a （x 2﹣1）的图象恒不在x 轴的上方，⇔g （x ）max ≤0，x≥1．g′（x ）=1+lnx ﹣2ax=h （x ），h′（x ）=1
x
﹣2a ，对a 分类讨论利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a 的范围． 详解：（1）∵()ln f x x ax a =-+，0x >，∴()11'ax f x a x x
-=
-=. ①当0a ≤时，则()'0f x >，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，则由()'0f x >得10x a <<
，由()'0f x <得1x a >，所以()f x 在10,a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，在1,a ⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞； 当0a >时，()f x 的单调递增区间为10,
a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
（2）由题意得()()()1ln g x x f x x =+- ()()1ln ln x x ax a x =+-+- ()
2
ln 1x x a x =--，
∵当1x ≥时，函数()g x 的图象恒不在x 轴的上方，∴()
2
ln 10x x a x --≤在[
)1,+∞上恒
成立.
设()()
2
ln 1g x x x a x =--，()1x ≥，则()'ln 12g x x ax =+-.
令()ln 12h x x ax =+-，则()112'2ax h x a x x
-=
-=， ①若0a ≤，则()'0h x >，故()'g x 在[
)1,+∞上单调递增，∴()()''1120g x g a ≥=-≥， ∴()g x 在[
)1,+∞上单调递增，∴()()10g x g ≥=，从而()
2
ln 10x x a x --≥，不符合题
意. ②若102a <<
，当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0h x >，()'0g x >在11,2a ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，∴
()()''1120g x g a >=->，
∴()g x 在11,
2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，∴()()10g x g ≥=，从而在11,2a ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上()
2ln 10x x a x --≥，不符合题意；
③若12
a ≥，则()'0h x ≤在[)1,+∞上恒成立，∴()'g x 在[)1,+∞上单调递减，∴()()''1120g x g a ≤=-≤，
∴()g x 在[)1,+∞上单调递减，∴()()10g x g ≤=，从而()
2ln 10x x a x --≤恒成立. 综上可得实数的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值） . 22．(1) 10x y +-=，2
212
x y +=. (2) 56
. 【解析】
分析：(1)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P 直角坐标，再设直线l 的参数方程标准式，代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果.
详解：(1) 的普通方程为:
； 又,
即曲线的直角坐标方程为:
(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得
，即,
. 解法二:
，
，
，
．
点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩
.(t 是参数，t 可正、可负、可为0)
若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则
(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α).
(2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.
(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122
t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122
t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.
23．（1）{5x x ≤-或}4x ≥；（2）12k -<≤
【解析】
分析：（1）对x 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k R ∈图象的上方，作出函数图像，根据直线恒过定点()3,0P ，结合函数图象即可的结果. 详解：（1）()34f x x x =-++
∴()()4f x f ≥，即349x x -++≥
∴4349x x x ≤-⎧⎨---≥⎩①或43349x x x -<<⎧⎨-++≥⎩②或3349x x x ≥⎧⎨-++≥⎩
③ 解不等式①：5x ≤-；②：无解；③：4x ≥，
所以()()4f x f ≥的解集为{
5x x ≤-或}4x ≥
（2）()()f x g x >即()34f x x x =-++的图象恒在()()3g x k x =-，k R ∈图象的上方，
可以作出()34f x x x =-++ 21,47,4321,3x x x x x --≤-⎧⎪=-<<⎨⎪+≥⎩
的图象，
而()()3g x k x =-，k R ∈图象为恒过定点()3,0P ，且斜率k 变化的一条直线， 作出函数()y f x =，()y g x =图象如图，
其中2PB k =，可求：()4,7A -
∴1PA k =-，由图可知，要使得()f x 的图象恒在()g x 图象的上方，实数k 的取值范围为12k -<≤.
点睛：绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。