高中数学 第3章 不等式 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式学案 北师大版必修5-北师大版高

1.1 不等关系 1．2 不等关系与不等式
学习目标核心素养
1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式(组)的实际背景．(难点) 3．能用作差法比较大小．(重点) 1．通过认识不等关系及不等符号，培养数学抽象素养．
2．通过对两数(式)比较大小，提升逻辑推理素养．
1．不等式中的数字符号
阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．
两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”．
文字语言数学符号文字语言数学符号
大于＞至多≤
小于＜至少≥
大于等于≥不少于≥
小于等于≤不多于≤
思考：(1)限速v不超过40 km/h，用不等式如何表示？
[提示] v≤40 km/h．
(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？
[提示] a－b≥0．
2．比较大小
阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．
(1)作差法比较两实数大小
依据如果a－b＞0，那么a＞b．如果a－b＜0，那么a＜b．如果a－b＝0，那么a＝b
结论确定任意两个实数a，b的大小关系，只需确定它们的差a－b与0的大小关系
(2)不等式的性质
①对称性：若a ＞b ，则b ＜a ；若b ＜a ，则a ＞b ． ②传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ．
③同向可加性：若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ．
④乘法法则：若a >b ，c >0，则ac >bc ；若a >b ，c <0，则ac <bc ． ⑤同向的可乘性：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ． ⑥乘方法则：若a ＞b ＞0，则a n
＞b n
(n ∈N ＋，且n ≥2)． ⑦开方法则：若a ＞b ＞0，则n a ＞n
b (n ∈N ＋，且n ≥2)． ⑧同号取倒数反序性：若a ＞b ，ab ＞0，则1a ＜1
b
．
思考：(1)“若a ＞b ，c ＞d ，那么ac ＞bd ”成立吗？
[提示] 不成立，如a ＝－2，b ＝－3，c ＝1，d ＝0，则ac ＜bd ． (2)“若a n ＞b n
，(n ∈N ＋，且n ≥2)，则a ＞b ”一定成立吗？ [提示] 不一定，如(－4)2
＞(－2)2
，但－4＜－2．
1．如果a ＜0，b ＞0，那么，下列不等式中正确的是( ) A ．1a ＜1
b
B ．－a ＜b
C ．a 2
＜b 2
D ．|a |＞|b |
A [A 正确，
B 、
C 、
D 可举反例排除，如对B 、C ，设a ＝－9，b ＝1，对D ，设a ＝－1，b ＝2即可．]
2．当x ＞2时，x 2
与2x 的大小关系为 ．
x 2＞2x [x 2－2x ＝x (x －2)，因为x ＞2，故x (x －2)＞0，即x 2＞2x ．]
3．已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则b 2
－4ac 的值的符号为 ． 正 [因为a ＋b ＋c ＝0， 所以b ＝－(a ＋c )， 所以b 2
＝a 2
＋c 2
＋2ac ．
所以b 2
－4ac ＝a 2
＋c 2
－2ac ＝(a －c )2
． 因为a >c ， 所以(a －c )2
>0． 所以b 2
－4ac >0，
即b 2
－4ac 的符号为正．] 4．已知a >b >c ，则1a －b ＋1b －c ＋1c －a
的值为 (填“正数”“非正数”“非负数”)．
正数 [因为a >b >c ，所以a －b >0，b －c >0，a －c >b －c >0．所以1a －b >0，1b －c >0，1a －c <1
b －c
，所以
1a －b ＋1b －c －1a －c >0，所以1a －b ＋1b －c ＋1
c －a
为正数．]
用不等式(组)表示不等关系
【例1】 配制A ，B 两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A 种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B 种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A ，B 两种药至少各配一剂，设A ，B 两种药分别配x ，y 剂(x ，y ∈N ＋)，请写出x ，y 所满足的不等关系．
[解] 根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋5y ≤20，
5x ＋4y ≤25，
x ≥1，x ∈N ＋，
y ≥1，y ∈N ＋
.
1将不等关系表示成不等式组的思路 ①读懂题意，找准不等关系所联系的量；
②用适当的不等号连接；,③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示. 2
用不等式
组
表示不等关系时应注意的问题,在用不等式
组
表示不等关系
时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个或几个
量之间不能用不等式组来表示.
[跟进训练]
1．b 克糖水中有a 克糖(b >a >0)，若再加入m 克糖(m >0)，则糖水更甜了，试根据这个事实写出一个不等式．
解：由题意得
a ＋m
b ＋m >a b
．
比较两个数(式)的大小
【例2】 比较下列各式的大小：
(1)当x ≤1时，比较3x 3
与3x 2
－x ＋1的大小．
(2)当x ，y ，z ∈R 时，比较5x 2
＋y 2
＋z 2
与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．
[解] (1)3x 3
－(3x 2
－x ＋1)＝(3x 3
－3x 2
)＋(x －1)＝3x 2
(x －1)＋(x －1)＝(3x 2
＋1)(x －1)．
因为x ≤1，所以x －1≤0，而3x 2
＋1>0．所以(3x 2
＋1)(x －1)≤0，所以3x 3
≤3x 2
－x ＋1． (2)因为5x 2
＋y 2
＋z 2
－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2
－4x ＋1＋x 2
－2xy ＋y 2
＋z 2
－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，所以5x 2＋y 2＋z 2
≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时
取到等号．
比较大小的方法
1作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意
题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负.,作差法的一般步骤：
作差——变形——判号——定论.
2作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小.,
作商法的一般步骤：
作商——变形——与1比较大小——定论.
3单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判
断.
[跟进训练]
2．已知a >b >0，试比较a a b b
与a b b a
的大小．
[解] 因为a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a b a -b
，
因为a >b >0， 所以a －b >0，a b
>1，
所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫a b a -b
>1，
故a a b b
>a b b a
．
不等式的性质及应用
[探究问题1．“若a ＞0，b ＞0，则ab ＞0，a ＋b ＞0”成立吗？反之成立吗？ [提示] 成立，反之也成立，即“若ab ＞0，a ＋b ＞0，则a ＞0，b ＞0”． 2．“若a ＞1，b ＞1，则ab ＞1，a ＋b ＞2”成立吗？反之成立吗？
[提示] 成立，但反之不成立，即“若ab ＞1，a ＋b ＞2，则a ＞1，b ＞1”不成立，反例：
a ＝4，
b ＝12
，满足ab ＞1，a ＋b ＞2，但不满足a ＞1，b ＞1．
3．如何用a ＋b 和a －b 表示2a －3b? [提示] 设2a －3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )， 即2a －3b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ， 所以⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＋y ＝2x －y ＝－3
，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1
2
，
y ＝5
2，
故2a －3b ＝－12(a ＋b )＋5
2
(a －b )．
【例3】 设f (x )＝ax 2
＋bx,1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，求f (－2)的取值范围． 思路探究：用f (－1)，f (1)表示f (－2)，再利用f (－1)，f (1)的取值范围求f (－2)的取值范围．
[解] 由f (x )＝ax 2
＋bx 得，
f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f (－2)＝4a －2b ，
设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)， 则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，
于是有⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋n ＝4，n －m ＝－2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＝3，n ＝1.
∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10， 即5≤f (－2)≤10，
∴f (－2)的取值范围是[5,10]．
(变结论)例3的条件不变，求f (2)的取值范围． [解] 由例3的解答可知f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ， 又f (2)＝4a ＋2b ，设4a ＋2b ＝x (a －b )＋y (a ＋b )，
即4a ＋2b ＝(x ＋y )a ＋(y －x )b ，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＝4，－x ＋y ＝2，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝3，
则4a ＋2b ＝(a －b )＋3(a ＋b )， 即f (2)＝f (－1)＋3f (1)， 由1≤f (－1)≤2,6≤3f (1)≤12， 两式相加得7≤f (－1)＋3f (1)≤14． 即f (2)的取值范围是[7,14]．
利用性质求范围问题的基本要求
1利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向
不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等.
2要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性.
[提醒] 本例中如果由1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4得到a ，b 的取值范围，再求f －2的取值范围，那么得到的结果不是正确答案.这是因为求得的a ，b 的取值范围与已知条件不是等价关系.
1．比较两个实数的大小，只要研究它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；
a －
b <0⇔a <b ．
2．不等式的性质
(1)注意不等式性质的使用条件，例如，只有同向不等式才可以相加．
(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，对不等式变形时要依据不等式的性质进行．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ＞b ，则ac ＞bc ． ( ) (2)a 2
一定大于a ． ( ) (3)若a ＞b ，则1a ＜1
b
．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，当c ＝0时，ac ＝bc ；当c ＜0时，ac ＜bc ； (2)错误，当0≤a ≤1时，a 2
≤a ； (3)错误，反例2＞－1，但1
2
＞－1．
2．已知a ，b ，c ，d ∈R 且ab >0，－c a >－d b
，则( ) A ．bc <ad B ．bc >ad C ．a c ＞b d
D ．a c <b d
A [∵ab >0，∴在－c a ＞－d b
两侧乘ab 不变号，即－bc >－ad ，即bc <ad ．] 3．设M ＝x 2
，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系为 ．
M ＞N [M －N ＝x 2－(－x －1)＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122
＋3
4
＞0，故M ＞N ．]
4．已知2＜a ＜4,3＜b ＜8，求a －b ，a b
的取值范围． [解] ∵3＜b ＜8， ∴－8＜－b ＜－3．
又2＜a ＜4，∴－6＜a －b ＜1． ∵3＜b ＜8， ∴18＜1b ＜13． 又2<a <4， ∴14<a b <43
． 综上，－6<a －b <1，14<a b <4
3．。