北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷含答案

怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测
数
学（答案在最后）
2024.7
注意事项：
1．考生要认真填写姓名和考号．
2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟．3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．
4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回．
第一部分
选择题
（共40分）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.集合{}
20A x x =+≥，
{}
31B x x =-<<，则A B = （
）
A.
{}
21x x -≤< B.
{}
3x x >- C.
{}2,1,0-- D.
{}
2,1,0,1--【答案】A 【解析】
【分析】根据题意求集合A ，再结合交集运算求解.【详解】由题意可知：{}
{}20|2A x x x x =+≥=≥-，所以A B = {}
21x x -≤<.故选：A.2.等比数列1
2
，1-，2，4-，……，则数列的第七项为（）
A.32
B.32
- C.64
D.64
-【答案】A 【解析】
【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项.【详解】设该等比数列为{}n a ，数列{}n a 的公比为q ，由已知，11
2
a =
，21a =-，
所以2q =-，
所以数列{}n a 的通项公式为()1122
-=⨯-n n a ，所以()6
712322
a =⨯-=.故选：A.
3.在二项式6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为（）A.20 B.40
- C.80
D.160
-【答案】D 【解析】
【分析】利用二项式6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项6216(2)C k k k
k T x -+=-解决问题.
【详解】二项式6
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的通项为666216662C ()C (2)(2)C k k k k k k k k k k
k T x x x x x
----+=⋅-=⋅-⋅=-，
要使其为常数，则620k -=，即3k =，故常数项为3
346(2)C 160T =-=-.故选：D
4.已知函数()sin 1f x x =+，则π()3
f '的值为（）
A.12
-
B.
12 C.
32
D.
2
【答案】B 【解析】
【分析】对函数求导后，将π
3
x =
代入导函数中计算即可.【详解】由()sin 1f x x =+，得()cos f x x '=，所以ππ1cos 332f ⎛⎫== ⎪
'⎝⎭
.故选：B
5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为1
4
，则四道题中恰好做对2道的概率是（）
A.
9256 B.
27256
C.
27128
D.
81256
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.【详解】依题意，四道题中恰好做对2道的概率2
2
2
41
127C ()(1)4
4
128
p =⨯-=.故选：C
6.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（）
A.
18
B.
14
C.
13
D.
12
【答案】D 【解析】
【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.
【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为1
2
P =.故选：D
7.已知函数()y f x =的图象如图所示，则下列各式中正确的是（
）
A.(1)(3)(2)(3)f f f f >-'>'
B.(3)(1)(3)(2)f f f f ''>>-
C.(3)(3)(2)(1)f f f f >-'>'
D.(1)(3)(3)(2)
f f f f ''>>-【答案】C 【解析】
【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.
【详解】设()()
1,1A f ，()()3,3B f ，()()
2,2C f ，
则()1f '表示函数在点()()
1,1A f 处的切线3l 的斜率，则()3f '表示函数在点()()
3,3B f 处的切线1l 的斜率，
()()()()323232
f f f f --=
-表示()()
3,3B f ，()()
2,2C f 两点连线2l 的斜率，
又()f x 在[]1,3上单调递增，且增长趋势越来越快，
则函数在点()()
1,1A f 、()()
3,3B f 的切线与过B 、C 的直线的草图如下所示：
由图可知123l l l k k k >>，所以(3)(3)(2)(1)f f f f >-'>'.故选：C
8.若{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“01q <<”是“n S 单调递增”的（）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
【分析】结合等比数列性质判断“01q <<”和“n S 单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】由题意可知{}n a 是公比为q 的等比数列，
当10a >，01q <<时，则1(1)1-=-n n a q S q
，
由于10q ->，01n q <<，且n q 随n 的增大而减小，故n S 单调递增，当10a >，1q =时，1n S na =也单调递增，推不出01q <<，故“01q <<”是“n S 单调递增”的充分而不必要条件，故选：A
9.设函数2()e a x f x x x
b
-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2e y =，则,a b 值分别为（）
A.e,1a b ==
B.2,e
a b == C.1,1
a b == D.1,e
a b ==【答案】B 【解析】
【分析】对函数求导后，由题意可得()01f '=，得到关于,a b 的方程，再由(1)2e f =得到关于,a b 的方程，解方程组可得结果.【详解】由2()e a x f x x x b -=
+，得22()2e e a x a x f x x x
b
x --'-=-+，因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2e y =，
所以111(1)2e 0e e a a a f b b ----=-+'-+==，1(1)e 2e a f b -==+，解得2,e a b ==.故选：B
10.若函数()e x f x x ax =-，则根据下列说法选出正确答案是（
）
①当(2
-,e a ∞-⎤∈-⎦时，()f x 在x ∈R 上单调递增；
②当2(e ,0)a -∈-时，()f x 有两个极值点；
③当(
2-,e a ∞-⎤∈-⎦时，()f x 没有最小值．
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
【答案】D 【解析】
【分析】求出导函数()f x '，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.【详解】()(1)e x f x x a '=+-，
设()(1)e x g x x a =+-，()(2)e x g x x '=+，当<2x -时，()0g x '<，()g x 单调递减，2x >-时，()0g x '>，()g x 单调递增，
所以2
min 2
1
()(2)e
e g x g a a -=-=--=-
-，当-2e a ≤-时，()0g x ≥，即()0f x '≥，
所以函数()f x 在x ∈R 上单调递增，则没有最小值，①③正确；当2e 0a --<<时，()(1)e 0x g x x a =+-=，即(1)e x x a +=，设()(1)e x h x x =+，由上面的研究可知，当<2x -时，()0h x '<，()h x 单调递减，2x >-时，()0h x '>，()h x 单调递增，
所以2
min 21()(2)e
e
h x h -=-=-=-
，且当<2x -时，()0h x <，且21(),0e h x ⎛⎫
∈-
⎪⎝⎭
，2x >-时，(1)0h -=，所以此时方程(1)e x x a +=有两个解，即()(1)e x g x x a =+-有两个零点，所以()f x 有两个极值点，②正确，所以正确答案是①②③.故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．
第二部分非选择题（共110分）
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若157,1a a ==-，则n a =________；前n 项和n S 的最大值为______．【答案】①.29
n -+②.16
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式，利用514a a d =+即可求得d ，从而求得,n n a S ，从二次函数的角度思考，可求出n S 的最大值.
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则
151147,a a a d =+==-，解得2d =-，
所以29n a n =-+，()()
1272982
2
n n n a a n n S n n +-+=
=
=-+，
当4n =时，n S 的最大值为2
448416S =-+⨯=,故答案为：29n -+，16.
12.若随机变量X 的分布列为（如表），X 123
P
1
6
a
13则=a ______；若随机变量Y =2X +1，则随机变量Y 的数学期望E (Y )=__________．（用数字作答）【答案】①.
1
2
##0.5②.
163
##15
3【解析】
【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.【详解】11163
a ++=
1
2
a ∴=
()11113
1236236
E X ∴=⨯+⨯+⨯=
Y =2X +1
()13162163E Y ∴=⨯
+=.故答案为：12；16
3
.
13.若()6
2345601234561x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则0246a a a a +++=______.
【答案】32【解析】
【分析】利用赋值法求解.
【详解】根据题意，()6
2345601234561x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，令1x =，得01234566
2a a a a a a a =++++++，令1x =-，得01234560a a a a a a a =-+-+-+，两式相加得：()6024622a a a a =+++，
所以5
0246232a a a a +++==.故答案为：32.
14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等
分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第n 个图形的周长________．
【答案】①.48
②.1
433n -⎛⎫⨯ ⎪
⎝⎭
【解析】
【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的
1
3
，边数是上一个图形4倍，因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.设第n 个图形的周长为n b ，则周长之间的关系为()11
423
n n b b n -=
⨯≥，所以数列{}n b 是首先为3，公比为43的等比数列，所以1
433n n b -⎛⎫⨯ ⎪⎝=⎭.
故答案为：48；1
433n -⎛⎫
⨯ ⎪
⎝⎭
.
15.已知数列{}n a 的通项公式2
2n a n an =-，则下列各项说法正确的是________．(填写所有正确选项的序号)
①当1a =-时，数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和1111
(12212n
T n n =+--++；②若数列{}n a 是单调递增数列，则(]
,1a ∞∈-；
③R a ∀∈，数列{}n a 的前n 项积既有最大值又有最小值；④若*
N ,4n n a ∀∈≥-恒成立，则(,2]a ∞∈-．
【答案】①④【解析】
【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由1n n a a +>求解a 的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得2
2n a n ≤
+，利用基本不等式求出22n n
+的最小值即可.
【详解】对于①，当1a =-时，2
2n a n n =+，所以21111112(2)22n a n n n n n n ⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭
，所以1111111111111112322423521122n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
111112212n n ⎛⎫=
+-- ⎪++⎝⎭
，所以①正确，对于②，若数列{}n a 是单调递增数列，则1n n a a +>，即22(1)2(1)2n a n n an +-+>-，
所以212n a +>，所以12a n <+
，因为*N n ∈，所以13
122
a <+=，所以②错误，
对于③，当0a =时，2
n a n =，则数列{}n a 的前n 项积没有最大值，所以③错误，
对于④，由4n a ≥-，得2
24n an -≥-，得242
22n n a n n
+≤=+，
因为
222n n +≥=，当且仅当2n =时取等号，所以
2
2n n
+的最小值为2，所以2a ≤，所以④正确.故答案为：①④
三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16.某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：
满意度
性别满意
不满意
弃权
男生803010女生
50
20
10
（1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；
（2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）
13
20
.
（2）分布列见解析；期望为45
.【解析】
【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【小问1详解】
设“对食堂饭菜质量满意”为事件A ．在200人中对饭菜质量满意的有130人，
13
()20
P A ∴=
.【小问2详解】分层抽取比例515010
λ==男生抽取人130310⨯
=，女生抽取1
20210
⨯=人抽取的2人中女生人数X 的所有可能为0，1，2
-20322
5C C 3
(0)C 10P X ===-
1132
25C C 63(1)C 105P X ====
-
023225C C 1
(2)C 10
P X ===
X 012
P
3
1035
1
10
随机变量X 的数学期望3314()012105105
E X =⨯
+⨯+⨯=.17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4310,18a S ==.（1）求等差数列{}n a 的通项公式；
（2）若各项均为正数的数列{}n b 其前n 项和为n T ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设n n n c a b =+，求数列{}n b 的通项公式和数列{}n c 的前n 项和n M .条件①：31=-n n T ；
条件②：1
12,
3 n n
b b b +==；条件③：2n ∀≥且Z n ∈都有2
11n n n b b b -+=⋅成立，133 2,b b S ==.
【答案】（1）22n a n =+（2）1
23n n b -=⋅，(3)3 1
n
n M n n =++-【解析】
【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.（2）条件①利用数列前n 项和和通项公式的关系求出1
23n n b -=⋅，再利用分组求和法求和即可，条件②利
用等比数列的定义求出1
23n n b -=⋅，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出1
23
n n b -=⋅，
再利用分组求和法求和即可.【小问1详解】
已知等差数列{}n a 中，满足4310,18a S ==.设首项为1a ，公差为d ，得到413
1310 3318a a d S a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得14
2a d =⎧⎨=⎩，
22
n a n ∴=+【小问2详解】选条件①
31n n T =- .∴当1n =时，1312b =-=，
当2n ≥时，1
1n 1(31)(3
1)23n n n n n b T T ---=-=---=⋅，
当1n =时，0
1232b =⋅=，1
23
n n b -∴=⋅11
23323n n n n b b +-⋅==⋅ ，{}n b ∴是以2为首项，3为公比的等比数列，
设1
(22)23
n n n n c a b n -=+=++⋅的前n 项和为n M ，
021
423623823(22)23n n M n -=+⋅++⋅++⋅++++⋅
0231(46822)2(33333)
n n -=+++++++++++ []
4(22)132(3)312
13
n
n n n n n ++-=
+⨯=++--.
选条件②
1
12,
3n n
b b b +== ，{}n b ∴是以2为首项，3为公比的等比数列，123n n b -∴=⋅，设1(22)23n n n n
c a b n -=+=++⋅的前n 项和为n M ，021
423623823(22)23n n M n -=+⋅++⋅++⋅++++⋅ 0231(46822)2(33333)
n n -=+++++++++++ []
4(22)132(3)312
13
n
n n n n n ++-=
+⨯=++--.
选条件③
2n ∀≥且Z n ∈都有211n n n b b b -+=⋅成立，{}n b ∴是等比数列，且设公比为q ，
1332,b b S == ，12
3312
18b b S b q =⎧∴⎨===⎩，29,3q q ∴==±(负根舍去)，
{}n b ∴是以2为首项，3为公比的等比数列，
123n n b -∴=⋅，设1(22)23n n n n c a b n -=+=++⋅的前n 项和为n M ，021
423623823(22)23n n M n -=+⋅++⋅++⋅++++⋅ 0231(46822)2(33333)
n n -=+++++++++++ []
4(22)132(3)312
13n
n n n n n ++-=
+⨯=++--.
18.设函数3
21()313
f x x x x =
+-+，（1）求曲线y =()f x 在点（0，(0)f ）处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[]4,3-上的最大值与最小值；
（3）若方程()f x b =在x ∈R 有三个不同的根，求b 的取值范围．
【答案】（1）31y x =-+（2）最大值为10；最小值为23
-（3）2
(,10)3
b ∈-【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.
（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.（3）利用导数确定函数3
21()313
f x x x x =
+-+的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.【小问1详解】
0x =代入得到(0)1f =，即切点坐标（0，1）
由3
21()313
f x x x x =
+-+，得2()23f x x x '=+-．()03
f ∴'=--
所以曲线y =()f x 在点（0，()f x ）处的切线方程为31y x =-+.【小问2详解】
由3
21()313
f x x x x =
+-+，[4,3]x ∈-得2()23f x x x '=+-．令()0f x '=，得2230x x +-=，解得3x =-或1
x =()f x 与
()f x '在区间[4,3]-上的情况如下：
x
-4
()
4,3---3
()
3,1-1（1，3）3
()
f x '+
-
+
()
f x 233
↗10↘
23
-
↗10
所以()f x 在区间[4,3]-上，当x =-3或x =3时，()f x 最大值为10；当x =1时，()f x 最小值为23
-．【小问3详解】
若方程()f x b =在x ∈R 上有三个不同的根，可得y =()f x 的图象与直线y =b 有3个交点由（2）可知：
x
()
,3∞---3（-3，1）1
()
1,∞+()
f x '+
-
+
()
f x ↗
10
↘
23
-
↗
又当()x f x →+∞→+∞时，；当-()-x f x →∞→∞时，所以2
(,10)3
b ∈-
时，方程()f x b =有三个不同根．-
19.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：男生组：5， 5.5，6，7，7，
7.5，8，8.5，9；
女生组：5.5，
6，
6，
6，
6.5，
7，
7，
8．
用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．
（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；
（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，X 表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；
（3）原女生组睡眠时间的样本方差为20s ，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为21s ，写出20s 与2
1s 的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）
4
17
（2）分布列见解析；期望为
1124
（3）2
20
1s s >【解析】
【分析】（1）直接计算该校高三学生的睡眠时间在最佳范围的频率；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；
（3）直接判断写出2
0s 与2
1s 的大小关系．
【小问1详解】
设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A ，在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，所以4()17
P A =
；【小问2详解】
由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B ，则31()93
P B =
=，“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C ，
1()8
P C =
，由条件可知，X 的所有可能取值为0，1，2，
117(0)(1)(1)3812P X ==--=，111193
(1)(1)(1)3838248P X ==-⨯+⨯-=
=，111
(2)3824
P X ==⨯=，
所以X 的分布列为：
X
01
2
P
71238
124
149111()01224242424
E X =⨯
+⨯+⨯=；【小问3详解】
2
201s s >．
20.已知函数2()ln f x a x x =+，其中R a ∈（1）求函数()f x 的单调区间；
（2）当曲线()y f x =在点()1,1f （）处的切线与直线y x =-垂直时，若函数()y f x =的图象总在函数
()g x bx =图象的上方，则b 的取值范围．
【答案】（1）答案见解析（2）(,1)-∞【解析】
【分析】（1）由题意，对函数()f x 进行求导，分别讨论当0a ≥和a<0这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；
（2）对函数()f x 进行求导，利用导数的几何性质求出1a =-，设出切点坐标，构造函数()2ln 1h x x x =+-，
得到切点坐标，进而可得b 的取值范围．【小问1详解】
因为2()ln f x a x x =+，所以函数()f x 的定义域为,()
0x ∈+∞22()2a x a f x x x x
+=+=
' 当0a ≥时，22()20a x a
f x x x x
'+=+=≥ 对任意的,()0x ∈+∞恒成立，
所以函数()f x 的增区间为0,∞+（），无减区间；
-
当0a <时，令22()20a x a f x x x x ='+=+=
，得2
x =±
舍负，
所以()f x 的减区间为20,
2
⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，增区间为2,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭
．综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的增区间为0,∞+（），无减区间；
当0a <时，()f x 的单调减区间为20,
2
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭，单调增区间为2,2∞⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
．
【小问2详解】
()2a
f x x x
=
+' ， 又曲线()y f x =在点
1,(1)f （）的切线与直线y x =-垂直，(1)211f a a ∴==⇒'+=-，
y bx =是一条过原点的直线，
假设直线y bx =与曲线()y f x =相切，设切点坐标00,x y （），
则2
00000ln 1
2x x bx x b x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩
所以2
00ln 10x x +-=，
令2()ln 1k x x x =+-则()'
1
20k
x x x
=+
>恒成立，2()ln 1k x x x ∴=+-在,()0x ∈+∞单调递增，
(1)0k = ，所以2
00ln 10x x +-=有且仅有一解01x =，即切点坐标()1,1，
当直线y bx =与曲线()y f x =相切时，切点()1,1，-
此时直线y bx =的斜率为1，即1b =，
所以当函数()y f x =的图象总在()g x bx =图象的上方时，
1(,1)
b b ∞<⇔∈-【点睛】利用导数判断函数单调性的步骤：1.对原函数求导；2.判断导函数的符号；3.根据导函数符号判断单调性.
21.已知数集{}12,,,n A a a a = （121,2n a a a n ≤<<<≥ ），若对任意的,i j （1i j n ≤≤≤），i j a a 与j i
a a 两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ．
（1）分别判断数集B ={}1,2,4与数集C ={}1,3,5,7是否具有性质P ，并说明理由；（2）若数集A 具有性质P ．
①当3n =时，证明11a =，且123,,a a a 成等比数列；②证明：1212111
(
)n n n
a a a a a a a +++=++ ．【答案】（1）数集{}1,2,4具有性质P ，{}1,3,5,7不具有性质P ，理由见解析（2）①证明见解析；②证明见解析【解析】
【分析】（1）根据性质P 的定义带入数值判断即可；（2）①根据题意分析可得
21a a =
3
22
a a a =，即可得结果；②采用构造对应的方法构造一个新的相等的集合，
对其元素进行排序后对应相等可解.【小问1详解】
数集{}1,2,4具有性质P ，{}1,3,5,7不具有性质P ，理由如下：因为11⨯，12⨯，14⨯，22⨯，42，4
4
都属于数集{}1,2,4，所以{}1,2,4具有性质P ；因为35⨯，
5
3
都不属于数集{}1,3,5,7，所以{}1,3,5,7不具有性质P ．【小问2详解】
①当3n =时，{}123,,A a a a =，1231a a a ≤<<．
因为231a a <<，所以233a a a >，333a a a >，所以23a a 与33a a 都不属于A ，
因此32a A a ∈，3
3
1a A a =∈，所以11a =．因为3321a a a <
<，且32
a
A a ∈，所以322a a a =，且2
21a a a =，所以
21
a a =322a a a =，所以123,,a a a 成等比数列．②因为{}12,,,n A a a a = 具有性质P ，所以n n a a ，
n
n
a a 至少有一个属于A ，因为121n a a a ≤<<< ，所以n n n a a a >，n n a a A ∉，因此
1n
n
a A a =∈，11a =．因为121n a a a =<<< ，所以k n n a a a >（2,3,4,k n = ），
故当2k ≥时，k n a a A ∉，n
k a A a ∈，（2,3,4,k n = ），又因为1231n n n n n
n n
a a a a a a a a a a ->>>>> ，则1n n a a a =
，12n n a a a -=，L ，21n n a a a -=，1n
n
a a a =，可得121121n n n n n n n n
a a a a
a a a a a a a a --++++=
++++ ，所以1212111(
)n n n
a a a a a a a +++=++ .
【点睛】关键点点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差.题目了解之后再考虑提炼第二问的解决方法，本题采用了构造一个新的集合与原集合相等，得到答案.。