北京市崇文区2019-2020学年中考四诊数学试题含解析

北京市崇文区2019-2020学年中考四诊数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知反比例函数y
＝﹣6 x
，当﹣3＜x＜﹣2时，y的取值范围是（）
A．0＜y＜1 B．1＜y＜2 C．2＜y＜3 D．﹣3＜y＜﹣2
2．下列运算正确的是（）
A．（﹣2a）3=﹣6a3B．﹣3a2•4a3=﹣12a5
C．﹣3a（2﹣a）=6a﹣3a2D．2a3﹣a2=2a
3．如图，在正方形ABCD中，AB＝1
2
x
x，P为对角线AC上的动点，PQ⊥AC交折线A﹣D﹣C于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y，则y与x的函数图象正确的是（）
A．B．
C．D．
4．下列命题中真命题是（）
A．若a2=b2,则a=b B．4的平方根是±2
C．两个锐角之和一定是钝角D．相等的两个角是对顶角
5．一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．如图，在△ABC中，EF∥BC，
AE1
EB2
，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（）
A．9 B．10 C．12 D．13
7．二次函数y＝a(x﹣m)2﹣n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象经过()
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
8．如图，A、B两点在双曲线y=4
x
上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）
A．3 B．4 C．5 D．6 9．3的倒数是（）
A．3B．3-C．1
3
D．
1
3
-
10．一、单选题
小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（）
A．120180
6
x x
=
+
B．
120180
6
x x
=
-
C．
120180
6
x x
=
+
D．
120180
6
x x
=
-
11．若关于x的分式方程的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）
A．1，2，3 B．1，2 C．1，3 D．2，3
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、
N，再分别以点M、N为圆心，大于1
2
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，
若CD=4，AB=18，则△ABD的面积是（）
A．18 B．36 C．54 D．72 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，⊙O的直径CD垂直于AB，∠AOC=48°，则∠BDC=度．
14．若一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，则是k的值可以是_____．（写出一个即可）．
15．钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为______．
16．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．
17．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.
18．分解因式：4a3b﹣ab＝_____．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为______°.
(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为_______人.
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A、B、C和2个男生M、N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率.
20．（6分）如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．
求证：△AED≌△EBC；当AB=6时，求CD的长．
21．（627÷32﹣12015+1）0+2•sin60°．
22．（8分）（1）观察猜想
如图①点B 、A 、C 在同一条直线上，DB ⊥BC ，EC ⊥BC 且∠DAE=90°，AD=AE ，则BC 、BD 、CE 之间的数量关系为______；
（2）问题解决
如图②，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC 为直角边向外作等腰Rt △DAC ，连结BD ，求BD 的长；
（3）拓展延伸
如图③，在四边形ABCD 中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA ，请直接写出BD 的长．
23．（8分）如图，已知平行四边形ABCD ，点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，设AB u u u r =a r ，AD u u u r =b r ，
求向量MN u u u u r 关于a r 、b r 的分解式．
24．（10分）如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB ，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD ，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.1°，∠PBA=26.1．请帮助小张求出小桥PD 的长并确定小桥在小道上的位置．（以A ，B 为参照点，结果精确到0.1米）
（参考数据：sin38.1°
=0.62，cos38.1°=0.78，tan38.1°=0.80，sin26.1°=0.41，cos26.1°=0.89，tan26.1°=0.10）
25．（10分）如图，在ABC △中，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ⊥于点E ，且BDE A ∠=∠．
（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（2）若16AC =，3tan 4
A =，求⊙O 的半径．
26．（12分）解分式方程：
- =
27．（12分）如图，已知AB AD =，AC AE =，BAD CAE ∠=∠．求证：BC DE =．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．C
【解析】
分析：
由题意易得当﹣3＜x ＜﹣2时，函数6y x
=-的图象位于第二象限，且y 随x 的增大而增大，再计算出当x=-3和x=-2时对应的函数值，即可作出判断了.
详解： ∵在6y x
=-中，﹣6＜0， ∴当﹣3＜x ＜﹣2时函数6y x =-
的图象位于第二象限内，且y 随x 的增大而增大， ∵当x=﹣3时，y=2，当x=﹣2时，y=3，
∴当﹣3＜x ＜﹣2时，2＜y ＜3，
故选C ．
点睛：熟悉“反比例函数的图象和性质”是正确解答本题的关键.
2．B
【解析】
【分析】
先根据同底数幂的乘法法则进行运算即可。

【详解】
A.33-28a a =-（）;故本选项错误;
B. ﹣3a 2•4a 3=﹣12a 5; 故本选项正确;
C.23(2)63a a a a --=-+;故本选项错误;
D. 不是同类项不能合并; 故本选项错误;
故选B.
【点睛】
先根据同底数幂的乘法法则, 幂的乘方, 积的乘方, 合并同类项分别求出每个式子的值, 再判断即可. 3．B
【解析】
∵在正方形ABCD 中, AB=
∴AC ＝4，AD ＝DC ＝DAP ＝∠DCA ＝45o ，
当点Q 在AD 上时，PA ＝PQ ，
∴DP=AP=x,
∴S ＝211·22
PQ AP x = ； 当点Q 在DC 上时，PC ＝PQ
CP ＝4－x,
∴S ＝221111·(4)(4)(168)482222
PC PQ x x x x x x =--=-+=-+； 所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,
故选B.
【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在AP 、DC 上这两种情况． 4．B
【解析】
【分析】
利用对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
A 、若a 2=b 2,则a=±b ，错误，是假命题；
B、4的平方根是±2，正确，是真命题；
C、两个锐角的和不一定是钝角，故错误，是假命题；
D、相等的两个角不一定是对顶角，故错误，是假命题.
故选B．
【点睛】
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的性质、平方根的性质、锐角和钝角的定义，难度不大．
5．C
【解析】
由题意得，180°(n-2)=120°n⨯,
解得n=6.故选C.
6．A
【解析】
【分析】
由在△ABC中，EF∥BC，即可判定△AEF∽△ABC，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】
∵AE1 EB2
=，
∴AE AE11
==
AB AE+EB1+23
=．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC．
∴
2
AEF
ABC
S11
=
S39
∆
∆
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
．
∴1S△AEF=S△ABC．
又∵S四边形BCFE=8，
∴1（S△ABC﹣8）=S△ABC，
解得：S△ABC=1．
故选A．
7．A
【解析】
【分析】
由抛物线的顶点坐标在第四象限可得出m＞0，n＞0，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．
【详解】
解：观察函数图象，可知：m＞0，n＞0，
∴一次函数y＝mx+n的图象经过第一、二、三象限．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＞0⇔y＝kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
8．D
【解析】
【分析】
欲求S1+S1，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积即可，而矩形面积
为双曲线y=4
x
的系数k，由此即可求出S1+S1．
【详解】
∵点A、B是双曲线y=4
x
上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S1+S1=4+4-1×1=2．
故选D．
9．C
【解析】
根据倒数的定义可知．
解：3的倒数是．
主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
10．C
【解析】
【详解】
解：因为设小明打字速度为x个/分钟，所以小张打字速度为（x+6）个/分钟，根据关系：小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，
可列方程得120180
6
x x
=
+
，
故选C．【点睛】
本题考查列分式方程解应用题，找准题目中的等量关系，难度不大．
11．C
【解析】
试题分析：解分式方程得：等式的两边都乘以（x﹣2），得x=2（x﹣2）+m，解得x=4﹣m，且x=4﹣m≠2，已知关于x的分式方的解为正数，得m=1，m=3，故选C．
考点：分式方程的解．
12．B
【解析】
【分析】
根据题意可知AP为∠CAB的平分线，由角平分线的性质得出CD=DH，再由三角形的面积公式可得出结论．
【详解】
由题意可知AP为∠CAB的平分线，过点D作DH⊥AB于点H，
∵∠C=90°，CD=1，
∴CD=DH=1．
∵AB=18，
∴S△ABD=1
2
AB•DH=
1
2
×18×1=36
故选B．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．20
【解析】
解：连接OB，
∵⊙O的直径CD垂直于AB，
∴=，
∴∠BOC=∠AOC=40°，
∴∠BDC=∠AOC=×40°=20°
14．1
【解析】
【分析】
由一次函数图象经过第一、三、四象限，可知k＞0，﹣1＜0，在范围内确定k的值即可．
【详解】
解：因为一次函数y=kx﹣1（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三、四象限，所以k＞0，﹣1＜0，所以k可以取1．
故答案为1．
【点睛】
根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数项的值的符号，从而确定字母k的取值范围．15．6
4.410
⨯
【解析】
试题分析：将4400000用科学记数法表示为：4.4×1．
故答案为4.4×1．
考点：科学记数法—表示较大的数．
16．60%
【解析】
【分析】
设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．
【详解】
设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，
依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，
解得：x＝0.4y，
∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低y x
y
-
×100%＝60%．
故答案为60%．【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
17．1；
【解析】
【分析】
根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】
∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°=1
即该正多边形的边数是1．
【点睛】
本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．18．ab(2a+1)(2a-1)
【解析】
【分析】
先提取公因式再用公式法进行因式分解即可.
【详解】
4a3b- ab= ab(4a2-1)=ab(2a+1)(2a-1)
【点睛】
此题主要考查因式分解单项式，解题的关键是熟知因式分解的方法.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（1）60，30；；（2）300；（3）1 3
【解析】
【分析】
（1）由了解很少的有30人，占50%，可求得接受问卷调查的学生数，继而求得扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到女生A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，
∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%=60（人）；
∵了解部分的人数为60﹣（15+30+10）=5，
∴扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为：5
60
×360°=30°；
故答案为60，30；
（2）根据题意得：900×15+560
=300（人）， 则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人，
故答案为300；
（3）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中抽到女生A 的情况有2种，
所以P （抽到女生A ）=
26=13
． 【点睛】
此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（1）证明见解析；（2）CD =3
【解析】
分析: （1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC ，根据中点的定义得出AE=BE ，然后由ASA 判断出△AED ≌△EBC ；
（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=EC ，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案.
详解:
（1）证明 ：∵AD ∥EC
∴∠A=∠BEC
∵E 是AB 中点，
∴AE=BE
∵∠AED=∠B
∴△AED ≌△EBC
（2）解 ：∵△AED ≌△EBC
∴AD=EC
∵AD ∥EC
∴四边形AECD 是平行四边形
∴CD=AE
∵AB=6
∴CD= 12
AB=3 点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
21．
【解析】
【分析】
利用负整数指数幂、零指数幂的意义和特殊角的三角函数值进行计算．
【详解】
解：原式+8×12﹣1+2×
2
=3+4﹣ 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
22．（1）BC=BD+CE ，（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明△ADB ≌△EAC ，根据全等三角形的性质得到BD=AC ，EC=AB ，即可得到BC 、BD 、CE 之间的数量关系;
（2）过D 作DE ⊥AB ，交BA 的延长线于E ，证明△ABC ≌△DEA ，得到DE=AB=2，
AE=BC=4，Rt △BDE 中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD 的长；
（3）过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，证明△CED ≌△AFD ，根据全等三角形的性质得到CE=AF ，ED=DF ，设AF=x ，DF=y ，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出 ,x y 的值，根据勾股定理即可求出BD 的长.
【详解】
解：（1）观察猜想
结论： BC=BD+CE ，理由是：
如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，
∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，
∴∠D=∠EAC ，
∵∠B=∠C=90°，AD=AE ，
∴△ADB≌△EAC，
∴BD=AC，EC=AB，
∴BC=AB+AC=BD+CE；
（2）问题解决
如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，
由（1）同理得：△ABC≌△DEA，
∴DE=AB=2，AE=BC=4，
Rt△BDE中，BE=6，
由勾股定理得：22
62210
BD=+=；
（3）拓展延伸
如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，
∴CE=AF，ED=DF，
设AF=x，DF=y，
则
4
2
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：
1
3,
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
∴BF=2+1=3，DF=3，
由勾股定理得：22
3332
BD=+=．
【点睛】
考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
23．答案见解析
【解析】
试题分析：连接BD ，由已知可得MN 是△BCD 的中位线，则MN=
12
BD ，根据向量减法表示出BD 即可得.
试题解析：连接BD, ∵点M 、N 分别是边DC 、BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，
∴MN ∥BD ，MN=
12
BD ， ∵DB=AB-AD=a b -u u u v u u u v u u u v v v ， ∴1122
MN a b =-u u u u v v v . 24．49.2米
【解析】
【分析】
设PD=x 米，在Rt △PAD 中表示出AD ，在Rt △PDB 中表示出BD ，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD 的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．
【详解】
解：设PD=x 米，
∵PD ⊥AB ，∴∠ADP=∠BDP=90°．
在Rt △PAD 中，x tan PAD AD ∠=，∴x x 5AD x tan38.50.804
===︒． 在Rt △PBD 中，x tan PBD DB ∠=，∴x x DB 2x tan26.50.50
===︒． 又∵AB=80.0米，∴5x 2x 80.04+=，解得：x≈24.6，即PD≈24.6米． ∴DB=2x=49.2米．
答：小桥PD 的长度约为24.6米，位于AB 之间距B 点约49.2米．
25．（1）DE 与⊙O 相切，详见解析；（2）5
【解析】
【分析】
(1) 根据直径所对的圆心角是直角，再结合所给条件∠BDE ＝∠A ，可以推导出∠ODE ＝ 90°，说明相切的位置关系。

(2)根据直径所对的圆心角是直角，并且在△BDE 中，由DE ⊥BC,有∠BDE ＋∠DBE ＝ 90°可以推导出∠DAB ＝∠C, 可判定△ABC 是等腰三角形，再根据BD ⊥AC 可知D 是AC 的中点，从而得出AD 的长度，再在Rt △ADB 中计算出直径AB 的长，从而算出半径。

【详解】
（1）连接OD ，在⊙O 中，因为AB 是直径，所以∠ADB ＝90°，即∠ODA ＋∠ODB ＝90°，由OA ＝OD ，
故∠A ＝∠ODA ，又因为∠BDE ＝∠A ，所以∠ODA ＝∠BDE ，故∠ODA ＋∠ODB ＝∠BDE ＋∠ODB ＝∠ODE ＝90°，即OD ⊥DE ，OD 过圆心，D 是圆上一点，故DE 是⊙O 切线上的一段，因此位置关系是直线DE 与⊙O 相切；
（2）由（1）可知，∠ADB ＝90°，故∠A ＋∠ABD ＝90°，故BD ⊥AC ，由∠BDE ＝∠A ，则∠BDE ＋∠ABD
＝90°，因为DE ⊥BC ，所以∠DEB ＝90°，故在△BDE 中，有∠BDE ＋∠DBE ＝90°，则∠ABD ＝∠DBE ，
又因为BD ⊥AC ，即∠ADB ＝∠CDB ＝90°，所以∠DAB ＝∠C ，故△ABC 是等腰三角形，
BD 是等腰△ABC 底边BC 上的高，则D 是AC 的中点，故AD ＝12AC ＝12
×16＝8，在Rt △ABD 中，tanA ＝BD AD ＝8BD ＝34
，可解得BD ＝6，由勾股定理可得AB ＝22()AD BD +＝22(86+＝10，AB 为直径，所以⊙O 的半径是5.
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题和与圆有关的位置关系，解本题的要点在于求出AD 的长，从而求出AB 的长.
26．方程无解
【解析】
【分析】
找出分式方程的最简公分母，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，再代入最简公分母进行检验即可．
【详解】
解：方程的两边同乘（x ＋1）（x−1），
得:,
，
∴此方程无解
【点睛】
本题主要考查了解分式方程，解分式方程的步骤：①去分母；②解整式方程；③验根.
27．证明见解析．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质可得BAC DAE ∠=∠，然后利用SAS 即可证出ABC ADE ∆≅∆，从而证出结论．
【详解】
证明：BAD CAE ∠=∠Q ，
BAD DAC CAE DAC ∴∠+∠=∠+∠，
即BAC DAE ∠=∠，
在ABC ∆和ADE ∆中，
AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABC ADE SAS ∴∆≅∆，
BC DE ∴=．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用SAS 判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．。