天津武清区城关中学 2019年高一数学理月考试题含解析

天津武清区城关中学 2019年高一数学理月考试题含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知且，则角的终边所在的象限是（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
参考答案：
B
【分析】
利用三角函数的定义，可确定且，进而可知所在的象限，得到结果.
【详解】依据题设及三角函数的定义
可知角终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，
所以终边在第二象限，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目.
2. （5分）已知空间两个点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1），则|AB|=（）
A．18 B．12 C．D．
参考答案：
C
考点：空间两点间的距离公式．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据两点间的距离公式进行计算即可．
解答：∵点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1），
∴|AB|==3．
故选：C．
点评：本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是容易题目．
3. 的值是（）
A. B. C. D.
参考答案：
B
4. 函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数，函数y= f (x+2)是偶函数，则结论正确（）
A．f (1)< f (<f () B．f ()<f (<f (1)
C．f(<f(1) <f() D．f()<f(1) < f(
参考答案：
D
略
5. f(x)是定义域R上的奇函数,，若f(1)=2，则
()
A. -2018
B.0
C. 2
D. 2018
参考答案：
C
6. 已知数列{a n}满足：，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
由已知得，由此利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．
【详解】∵数列满足：，，
∴，
∴当n≥2时，a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1
＝
=，
∴．
故选C.
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的运用，是基础题.
7. 函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（）
A．（，+∞）B．（，1）∪（1，+∞）C．（，+∞）D．（，1）∪（1，+∞）
参考答案：
B
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】由对数式的底数大于0且不等于1，真数大于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得x＞且x≠1．
∴函数f（x）=log（2x﹣1）的定义域是（，1）∪（1，+∞）．
故选：B．
8. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若，，则②若，，
，则
③若，，，则④若，，，则
正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
D
略
9. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩介于350分到650分之间的10000名学生成绩，并根据这10000名
学生的总成绩画了样本的频率分布直方图（如右
图），则总成绩在［400，500）内共有（）
A. 5000 人
B. 4500人
C. 3250人
D. 2500人
参考答案：
B
10. 已知向量向量与共线且同向，则m=
A. B. C. 6 D.36
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数若存在实数a，b，c，d，满足
，其中，则
（1）ab= ；(2)abcd的取值范围为．参考答案：
(1)1；(2)(21,24)
12. 直线过点，且在两坐标轴上的截距相等（截距非零）的直线方
程：。

参考答案：
x+y=1
13. 过点（1，3）作直线l，若l经过点（a，0）和（0，b），且a，b∈N*，则可作出的l 的个数为条．
参考答案：
2
由l经过点（a，0）和（0，b ）求出
l的斜率，写出直线方程的点斜式，代入点
（a，0）可得=1，
求出满足该式的整数对a，b，则答案可求．
解：由题意可得直线L的表达式为y=（x﹣1）+3
因为直线l经过（a，0），可得+3=b 变形得=1，
因为a，b都属于正整数，所以只有a=2，b=6和a=4，b=4符合要求
所以直线l只有两条，即y=﹣3（x﹣1）+3和y=﹣（x﹣1）+3．
故答案为2．
14. 函数的值域为．
参考答案：
15. 已知实数m，n，x，y满足m2+n2=1，x2+y2=4，则my+nx的最小值为．参考答案：
﹣2
【考点】基本不等式．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】利用柯西不等式的性质即可得出．
【解答】解：∵（my+nx）2≤（m2+n2）（x2+y2）=4，
∴﹣2≤my+nx≤2，
∴my+nx的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了柯西不等式的性质，属于基础题．
16. 已知集合，，则=（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
略
17. 根据下列程序，当输入a的值为3，b的值为-5时，输出值：a=_____,b=_____,
参考答案：
0.5; -1.25
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用V p﹣DQC=V Q﹣PCD，即可得出结论．
【解答】（1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=，
在Rt△POA中，因为AP=，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=，所以cos∠PBO=，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为．
（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为．
设QD=x，则S△DQC=x，由（2）得CD=OB=，
在Rt△POC中，PC=，
所以PC=CD=DP，S△PCD==，
由V p﹣DQC=V Q﹣PCD，得x=，所以存在点Q满足题意，此时=．
19. （12分）已知在平面直角坐标系xoy中，直线AB的方程为3x﹣2y+6=0，直线AC的方程为2x+3y﹣22=0，直线BC的方程为3x+4y﹣m=0．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）当△ABC的BC边上的高为1时，求m的值．
参考答案：
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：（1）由两直线方程得到两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得到直线AB与AC互相垂直，从而说明△ABC为直角三角形；
（2）联立方程组求得A的坐标，然后由A到BC边的距离为1求得m的值．
解答：（1）直线AB的斜率为，
直线AC的斜率为，
∵k AB?k AC=﹣1，
∴直线AB与AC互相垂直，
因此，△ABC为直角三角形；
（2）解方程组，得，即A（2，6），
设点A到直线BC的距离为d，则，
依题意有d=1，即，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．
点评：本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，考查了点到直线距离公式的应用，是基础题．
20. （本小题满分14分）
已知，，是否存在非零实数，使得的值域为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 参考答案：
略
21. （本小题满分16分）已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：＋＝(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．
（1）求圆C的方程；
（2）设Q为圆C上的一个动点，求的最小值；
（3）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．
参考答案：
解：（1）设圆心C(a，b)，则解得………3分
则圆C的方程为＋＝，将点P的坐标代入，得＝2，故圆C的方程为＋＝2．……5分
（2）设Q(x，y)，则＋＝2，且＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝
＋＋x＋y－4＝x＋y－2，所以的最小值为－4(可由线性规划或三角代换求得)．……9分
（3）由题意，知直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设
PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)．
由得＋2k(1－k)x＋－2＝0．………10分
因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得＝，……12分同理＝．………14分
所以＝＝＝＝1＝．………14分所以直线OP和AB一定平行．………16分
略
22. 设函数的图象经过点 .
(1)求的解析式,并求函数的最小正周期.
（2）若，求函数的最小值及此时的值的集合.
参考答案：
解：（1）
由已知，得．
（2）由（1）得，
当时，的最小值为0，
由，得值的集合为. 略。