平面向量与解三角形单元检测题(含答案)

平面向量与解三角形单元检测题
一、选
择
题(本大题共10 小题,每小题 5 分,共50 分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是
符合题目要求的)
1．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c, b∥c，则|a＋b|＝( )
A. 5
B. 10 C．2 5 D．10
uuru 2．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝u u ru
2
9 AC ，则实数m 的值为( )
uuru u u u r
1
2 NC
，P 是BN 上的一点，若AP
u u u r
＝m AB ＋
A. 1 1
9 B. 3 C．1 D．3
→→
在
CD
3．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D (3，4)，则向量AB
方向上的投影为
A. 3 2
2
3 15
2
B.
C．－
3 2
2
D．－
3 15
2
→→
＝(2,1)，AC＝(3，k)，若三角形ABC 是直角三角形，则k
4．在直角坐标系xOy 中，AB
的可能值个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知向量 a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a＋b|＝13，则|b| 等于( )．
A ．5 B．4 C．3 D．1
→→
＝(1，2)，BD＝(－4，2)，则该四边形的面积为
6．在四边形ABCD 中，AC
A. 5 B．2 5 C． 5 D．10
7．如图所示,非零向量=a, =b,且BC⊥OA,C 为垂足,若=λa( λ≠则0),λ=( ) 8．在△ABC 中,sin
2A≤sin2B+sin 2C-sin Bsin C, 则A 的取值范围是( )
(A) （0, π
] (B)[
6
π
, π）(C)(0,
6
π
] (D)[
3
π
, π)
3
9．设△ABC 的内角A，B，C 所对边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝
A. π
3
2π
B.
3
3π
C.
4
5π
D.
6
10．在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A，B，C 三点在同一直线上的等价条件为
存在唯一的实数λ，使得O→C＝λO→A＋(1－λ)O→B成立，此时称实数λ为“向量O→C关于O→A和O→B的
→→
终点共线分解系数”．若已知P1(3, 1)，P2(－1,3)，且向量OP3与向量a＝(1,1)垂直，则“向量OP3→→
关于OP1和OP2
的终点共线分解系数”为( )
A．－3 B．3 C．1 D．－1
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共25 分.请把正确答案填在题中横
线上)
uur 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知OA
u u u r
＝(－1，t)，OB ＝(2,2)．若∠ABO＝90°，则实数
t 的值为________．
1
12．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，若 a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是
→
→＝________．13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE·BD
14．设e1，e2 为单位向量，且e1，e2 的夹角为π
，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量 a 在b 方向3
上的射影为________．
15．若非零向量a，b 满足|a|＝|b|，(2 a＋b) ·b＝0，则 a 与b 的夹角为________．
三、解答题(本大题共 6 小题,共75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．已知△ABC 的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin
A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC 为等腰三角形；
π
，求△ABC 的面积．(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝
3
17．在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.
(1)求证:a,b,c 成等差数列; (2) 若C= 2π
,求
3
a
b
的值.
18．在△ABC 中,a、b、c 分别是角A、B、C 所对的边,且a= 1
2
c+bcos C.
△ABC
= 3 ,求b 的最小值.
(1)求角B 的大小; (2) 若S
2C 2A
＋ccos 19．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若acos
＝
2 2 (1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若∠B＝60°，b＝4，求△ABC 的面积．3
2 b.
20．△ABC 为一个等腰三角形形状的空地,腰AC 的长为3(百米),底AB 的长为4(百米).现决定在空地内筑一条笔直的小路EF(宽度不计),将该空地分成一个四边形和一个三角形,设分成的四边形和三角形的周长相等,面积分别为S1 和S2.
(1)若小路一端 E 为AC 的中点,求此时小路的长度;
(2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,求S
1
S
2
的最小值.
21．已知△ABC 的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且满足
s in B sin C 2 cos B cosC
sin A cos A。

（1）证明： b c 2a ；
（2）如图，点O 是△ABC 外一点，设AOB (0 ) ，OA=2OB =2，当b c 时，求平面四边形OACB 面积的最最大值。

2
参考答案：
1． B 由题意可知2x－4＝0，
－4－2y＝0，
解得
x＝2，
y＝－2.
故a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.
uuru u u ru uuru uuru u u u r
1 1
2.选B如图，因为A N 2 NC ，所以AN 3 AC ，AP
＝＝
uuru
2 1 AN ，因为B，P，N 三点共线，所以m＋
＝1，所以m＝
.
3 3 u u u r
＝m AB ＋
u u ru u u u r
2
9 AC
＝m AB
＋
2
3
→→→→
＝(2，1)，CD＝(5，5)，所以AB在
CD
3. A 解析AB
方向上的投
.
→4. B 解析：.若∠A＝90°，则AB
→＝6＋k＝0，k＝－6；·A C
→→→→→
若∠B＝90°，则AB ＝AB －AB
·B C ·(AC
)＝0，6＋k－5＝0，k＝－1；
→→→→→
若∠C＝90°，则AC ＝AC －AC
·C B ·(AB )＝0，k
2－k＋3＝0 无解．
∴综上，k 可能取－6，－1 两个数．故选B.
5. B 解析向量 a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a＋b|＝13，
则a·b＝|a||b| c·os 120 °＝－3
2
2＝|a |2＋2a·b＋|b|2. |b |，|a＋b|
所以13＝9－3|b |＋|b|
2，则|b |＝－1(舍去)或|b |＝4.
→6. C 解析因为A C
→
·B D
→→
＝0，所以AC⊥BD .
故四边形A BCD 的面积S＝1
→→
2|AC
||BD
|＝
1
2
×5×2 5＝5.
7. A【解析】. ⊥,即⊥,所以( - ) ·=0,所以| |
2- ·=0, 2|a|2-λa·b又=0,λ≠解0,得λ=. 即λ
8 C.解析:根据正弦定理,由sin
2A≤sin2B+sin 2C-sin Bsin C 得a2≤b2+c2-bc,
根据余弦定理cos A=
2 2 2
b c a
2bc
≥
bc
2bc
=
1
2
,
又∵0<A< π,∴0<A≤π
,故选C.
3
9. B 【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，
5 7
所以a＝
b，c＝b，
3 3
2＋b2－c2
a
所以cos C＝
＝
2ab 5
b
3
2＋b2－7
b
3
5
2×3b×b
2
＝－
1 2π
.因为C∈(0，π，)所以C＝.
2 3
→→→
＝(x，y)，则由OP3⊥a 知x＋y＝0，于是OP3＝(x，－x)，
10. D.解析：设O P3
→→→
设
O P3＝λOP1＋(1－λ)OP2，(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)．
3
4λ－1＝x，
∴
于是4λ－1＋3－2λ＝0，λ＝－1.
3－2λ＝－x，
u u u r u u u r u u r u u u r u
u u r
8. 5 解析：AB OB OA＝(3,2－t)，由题意知OB AB
11.
＝0，所以2×3＋2(2－t)＝0，t＝
12．－∞，－1
2 . 因为 a 与b 的夹角为钝角，所以cosθ<0 且cosθ≠－1，
所以a·b<0 且a 与b 不反向．由a·b<0 得1＋2λ<0，故λ<－由a 与b 共线得λ＝2，故 a 与b 不可能反向．1
2 ，
所以λ的取值范围为－∞，－1 2 .
→→13.2 解析由题意知：AE·BD ＝(A→D＋D→E)·(A→D－A→B)＝(A→D＋1
－A→B)＝
→→
AB) ·(AD
2
1
→ 2 →→AD ·AB
－AD
－
2 1
2
→ 2
＝4－0－2＝2. AB
5
2
解析 a 在b 方向上的射影为|a |cos〈a，b〉＝14. a·b |b| .
2
∵a·b＝(e1＋3e2) ·2e1＝2e1＋6e1·e2＝5.|b |＝| 2e1|＝2.∴a·b 5
＝
. |b| 2
2
＝0，15. 120 【°解析】∵(2a＋b) ·b＝0，∴2a·b＋b
∴a·b＝－
1
2
，设 a 与b 的夹角为θ，又|a|＝|b|，2b
1
－ b
2
a·b 2
∴cos θ＝
＝＝－
|a||b| |a ||b| 1
2
，∴θ＝120°.
16.解：(1)证明：∵m∥n，∴asin A＝bsin B.
a b
即a·＝b·，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，
2R 2R
故a＝b，即△ABC 为等腰三角形．
(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b( a－2)＝0.∴a＋b＝ab.
由余弦定理可知4＝ a
2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab， 2
即(ab) －3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)．
1
2
故S＝
absin C＝1
π
＝ 3. ·4·sin
2 3
17.(1)证明:由sin Asin B+sin Bsin C+1-2sin 2 B=1 得sin A+sin C-2sin B=0.
因为
a
sin A =
b
sin B
=
c
sin C
,所以a+c-2b=0,
所以2b=a+c,即a、b、c 成等差数列.
(2)解:由余弦定理c2=a2+b2-2ab c·os C 及2b=a+c,c=
2=a2+b2-2ab c·os C 及
2b=a+c,c= 2π
, 3
2 2 2
得(a-2b)
=a +b -2ab 1
2
2 2 2 2
.即a +4b -4ab=a +b +ab,
2=5ab,所以也即3b a
b
=
3
5
.
18.解:(1)由正弦定理可得sin A= 1
2
sin C+sin Bcos C,
4
又因为
A=π-(B+C), 所以sin A=sin(B+C),
可得sin Bcos C+cos Bsin C=
1
2
sin C+sin Bcos C, 又sin C ≠0,
即cos B= 1
2
,所以B=
π
.
3
1 π
△ABC
= 3 ,所以= 3 ,所以ac=4, (2)因为S
acsin
2 3 2 2
2
由余弦定理可知 b
=a +c -ac≥2a-cac=ac,当且仅当a=c 时等号成立.
2≥4即, b≥2所, 以b 的最小值为2.
所以 b
2C 2A 1＋cos C 1＋cos A
＋ccos ＝a·＋c·
9.解析：(1) acos
＝
2 2 2 2
即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b.由正弦定理得：3
2b，
sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，
即sin A＋sin C＋sin( A＋C)＝3sin B，∴sin A＋sin C＝2sin B.
由正弦定理得，a＋c＝2b，故a，b，c 成等差数列．
2＝a2＋c2－2accos 60 °，(2)由∠B＝60°，b＝4 及余弦定理得： 4
∴(a＋c)
2－3ac＝16，又由(1)知a＋c＝2b，代入上式得4b2－3ac＝16，解得ac＝16，
1 1
∴△ABC 的面积S＝
acsin B＝ac s in 60 ＝°4 3.
2 2
10.解:(1)∵E为A C 中点时,则A E=EC= 3
2
,∵
3
2
+3<
3
2
+4,∴F 不在BC 上.故F 在AB 上,
可得AF=
7
2 ,在三角形ABC 中,cos A=
2
3
.
2=AE 2+AF 2-2AE ·AFcos A=
在三角形AEF 中,EF 15
2
,∴EF=
30
2
.
即小路一端E为
A C 中点时小路的长
度
为30
2
百米.
(2)若小路的端点E、F 两点分别在两腰上,如图所示,
S 设C E=x,CF=y,则
x+y=5, 1
S
2 =
S S
ABC CEF
S
CEF
=
S
S
A BC
CEF
-1
= 1
CA CBsin C
CE CF sin C
2
1
2
-1=
9
xy
-1≥
9
x y
2
2
-1=
11
25
,当x=y=
5
2
时取等号.
11
.
答:最小值
为
25
11.
5
WORD文档
6
专业资料。