人教版2019-2020学年九年级(上)期中数学模拟试卷1解析版

2019-2020学年九年级（上）期中数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．（4分）抛物线y＝﹣2x2+1的对称轴是（）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2
2．（4分）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝2（x+3）2B．y＝2（x﹣3）2C．y＝2x2+3D．y＝2x2﹣3
3．（4分）若a＝5cm，b＝10mm，则的值是（）
A．B．C．2D．5
4．（4分）函数y＝﹣的图象位于（）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限D．第二、四象限
5．（4分）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（）
A．B．
C．D．
6．（4分）下列关于二次函数y＝x2﹣2x﹣1的说法中，正确的是（）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线的点点坐标是（1，﹣1）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值是﹣2
7．（4分）如图所示，点P是▱ABCD的对角线AC上的一点，过点P分别作PE∥BC，PF∥CD，交AB，AD于点E，F，则下列式子中不成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
8．（4分）反比例函数y＝（k≠0）与二次函数y＝x2+kx﹣k的大致图象是（）
A．B．
C．D．
9．（4分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝2，那么线段EF的长为（）
A．2B．C．D．
10．（4分）如图所示，菱形ABCD的边长为5cm，高为4cm，直线l⊥边AB，并从点A出发以1cm/s 的速度向右运动，若直线l在菱形ABCD内部截得的线段MN的长为y（cm），则下列最能反映y（cm）与运动时间x（s）之间的函数关系的图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：，使△ABC ∽△AED．
12．（5分）若抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．
13．（5分）如图，正方形OAPB，矩形ADFE的顶点O，A，D，B在坐标轴上，点E是AP的中点，点P，F在函数y＝（x＞0）图象上，则点F的坐标是．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将△ABE沿BE翻折得到△A'BE，点A'落在矩形ABCD的内部，且∠AA'G＝90°，若以点A'、G、C为顶点的三角形是直角三角形，则AE ＝．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）已知，求的值．
16．（8分）已知二次函数y＝x2+2x﹣3．
（1）用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；
（2）指出y随x的变化情况．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y＝（x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．
（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．
18．（8分）如图是一个3×8的网格图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点都在小正方形的顶
点上的三角形叫做格点三角形，图中格点△ABC的三边长分别为，2、，请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形，并求与△ABC相似的格点三角形的最大面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）已知抛物线y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．
（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）若该抛物线的对称轴为直线x＝．
①求该抛物线的函数解析式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高．求证：
（1）求证：AC2＝AD•AB；
（2）利用相似形的知识证明AB2＝AC2+BC2．
六、（本题满分12分）
21．（12分）根据对宁波市相关的市场物价调研，某批发市场内甲种水果的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）近似满足函数关系y1＝0.25x，乙种水果的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx+c的图象如图所示．
（1）求出y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种水果共8吨，设乙水果的进货量为t吨，写出这两种水果所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式，并求出这两种水果各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少？
七、（本题满分12分）
22．（12分）定义：顶点、开口大小相同，开口方向相反的两个二次函数互为“反簇二次函数”．（1）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3，则它的“反簇二次函数”是；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2﹣2mx+m+1和y2＝ax2+bx+c，其中y1的图象经过点（1，1）．若y1+y2与y1互为“反簇二次函数”．求函数y2的表达式，并直接写出当0≤x≤3时，y2的最小值．八、（本题满分14分）
23．（14分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y＝﹣x+1相交于A、B 两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB 于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N 点的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．解：∵抛物线y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x＝0（y轴），
故选：C．
2．解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位，得y＝2（x+3）2；
故所得抛物线的解析式为y＝2（x+3）2．
故选：A．
3．解：因为a＝5cm，b＝10mm，
所以的值＝，
故选：D．
4．解：y＝﹣中k＝﹣2＜0，
根据反比例函数的性质，图象位于第二、四象限．
故选：D．
5．解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故选：D．
6．解：由二次函数y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2可知a＝﹣2＜0，
∴二次函数开口向下，顶点为（1，﹣2），对称轴为：直线x＝1，
当x＝1时，函数y的最小值是﹣2，
当x＞1时，y随x的增大而增大，
故选：D．
7．解：∵PF∥CD，PE∥BC，
∴△APF∽△ACD，△AEP∽△ABC，
∴＝，＝，
∴；＝，故A、D正确；
∵PE∥BC，PF∥CD，
∴四边形AEPF是平行四边形，
∴PF＝AE，
∵＝，
∴；故B正确；
同理，故C错误；
故选：C．
8．解：A、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的
对称轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，与所示图象不符，故本选项错误；
B、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称
轴为y＝﹣＜0，对称轴在y轴的左侧，﹣k＜0，与y轴交于负半轴，与所示图象相符，故本选项正确；
C、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时函数y＝x2+kx﹣k的对称
轴为y＝﹣＞0，对称轴在y轴的右侧，与所示图象不符，故本选项错误；
D、反比例函数y＝（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0，此时，﹣k＞0，函数y＝x2+kx
﹣k的与y轴交于正半轴，与所示图象不符，故本选项错误；
故选：B．
9．解：∵将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，
∴AC⊥EF，AO＝CO，
在矩形ABCD，∠D＝90°，
∴△ACD是Rt△，由勾股定理得AC＝＝2，
∴CO＝，
∵∠EOC＝∠D＝90°，∠ECO＝∠DCA，
∴△DAC∽△OFC，
∴，
∴，
∴EO＝，
∴EF＝2×＝．
故选：B．
10．解：点M从点A到点D的过程中，y＝＝x，（x≤3），故选项A、B、C错误，当点M从D点使点N到点B的过程中，y＝4，（3＜x≤5），
点M到C的过程中，y＝4﹣＝﹣x+，（x＞5），故选项D正确，
故选：D．
二、填空题（本大题共4大题，每小题5分，满分20分）
11．解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
故添加条件∠AED＝∠B即可以使得△AED∽△ABC，
故答案为：∠AED＝∠B（答案不唯一）．
12．解：二次函数y＝x2﹣2x﹣3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，求得x1＝﹣1，x2＝3，
则AB＝|x2﹣x1|＝4．
13．解：设点P的坐标为（a，），
∵a＝，得a＝1或a＝﹣1（舍去），
∴点P的坐标为（1，1），
∵点E是AP的中点，四边形ADFE是矩形，
∴AE＝DF，AE＝，
∴DF＝，
当y＝时，，得x＝2，
∴点F的坐标为（2，）．
14．解：①如图1所示，∠GA'C＝90°，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝3，
∵∠AA'G＝90°，
∴点A、A'、C在同一直线上，
∠BAE＝∠ADC＝90°，∠ABE＝∠DAC，∴△ABE∽△DAC，
∴＝，即＝，
解得：x＝1；
②如图2所示，∠A'GC＝90°，
∴∠DGC＝∠GAA'＝∠ABE，
∴△ABE∽△DGC，
∴＝，
设AE＝EA'＝EG＝x，
∴＝，
解得：x＝，或x＝3（舍去），
∴AE＝；
综上所述，x＝1或；
故答案为：1或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．解：设＝k，
则a＝3k．b＝4k，c＝6k，
∴＝＝．
16．解：（1）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴顶点坐标（﹣1，﹣4）；
（2）∵函数图象开口向上，其对称轴是直线x＝﹣1，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．解：（1）∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），
∴BC＝2，
∵点D为BC的中点，
∴CD＝1，
∴点D的坐标为（1，3），
代入双曲线y＝（x＞0）得k＝1×3＝3；
∵BA∥y轴，
∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，
∵点E在双曲线上，
∴y＝
∴点E的坐标为（2，）；
（2）∵点E的坐标为（2，），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），
∴BD＝1，BE＝，BC＝2
∵△FBC∽△DEB，
∴
即：
∴FC＝
∴点F的坐标为（0，）
设直线FB的解析式y＝kx+b（k≠0）
则
解得：k＝，b＝
∴直线FB的解析式y＝
18．解：如图所示：
如图所示，格点三角形的面积最大，S＝2×8﹣×2×3﹣×1×5﹣×1×8＝6.5
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（1）证明：y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）＝x2﹣（2m+1）x+m2+m，
∵△＝（2m+1）2﹣4（m2+m）＝1＞0，
∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
（2）解：①∵x＝﹣＝，
∴m＝2，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；
②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛
物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，
∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点，
∴△＝52﹣4（6+k）＝0，
∴k＝，
即把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
20．证明（1）∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴＝，
∴AC2＝AD•AB；
（2）∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴＝，
∴BC2＝BD•AB，
∴AC2+BC2＝AD•AB+BD•AB＝AB×（AD+BD）＝AB2．
六、（本题满分12分）
21．解：（1）∵函数y2＝ax2+bx+c的图象经过（0，0），（1，2），（4，5），
∴，
解得，
∴y2＝﹣x2+x．
（2）w＝（8﹣t）﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+6，
∴t＝4时，w的值最大，最大值为6，
∴两种水果各进4吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是6千元．
七、（本题满分12分）
22．解：（1）y＝（x﹣2）2+3；
故答案为：y＝（x﹣2）2+3；
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2﹣2m+m+2＝2，
解得：m＝2，
∴y1＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴y1+y2＝2x2﹣4x+3+ax2+bx+c＝（a+2）x2+（b﹣4）x+c+3，
∵y1+y2与y1为“反簇二次函数”，
∴y1+y2＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1，
∴，
解得：，
∴函数y2的表达式为：y2＝﹣4x2+8x﹣4，
当0≤x≤3时，y2的最小值为﹣16．
八、（本题满分14分）
23．方法一：
解：（1）由直线y＝﹣x+1可知A（0，1），B（﹣3，），又点（﹣1，4）经过二次函数，
根据题意得：，
解得：，
则二次函数的解析式是：y＝﹣﹣x+1；
（2）设N（x，﹣x2﹣x+1），
则M（x，﹣x+1），P（x，0）．
∴MN＝PN﹣PM
＝﹣x2﹣x+1﹣（﹣x+1）
＝﹣x2﹣x
＝﹣（x+）2+，
则当x＝﹣时，MN的最大值为；
（3）连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分，即四边形BCMN是菱形，
则MN＝BC，且BC＝MC，
即﹣x2﹣x＝，
且（﹣x+1）2+（x+3）2＝，
解x2+3x+2＝0，得：x＝﹣1或x＝﹣2（舍去）．故当N（﹣1，4）时，BM和NC互相垂直平分．方法二：
（1）略．
（2）设N（t，﹣），
∴M（t，﹣t+1），
∴MN＝NY﹣MY＝﹣+t﹣1，
∴MN＝﹣，
当t＝﹣时，MN有最大值，MN＝．
（3）若BM与NC相互垂直平分，则四边形BCMN为菱形．∴NC⊥BM且MN＝BC＝，
即﹣＝，
∴t1＝﹣1，t2＝﹣2，
①t1＝﹣1，N（﹣1，4），C（﹣3，0），
∴K NC＝＝2，
∵K AB＝﹣，
∴K NC×K AB＝﹣1，
∴NC⊥BM．
②t2＝﹣2，N（﹣2，），C（﹣3，0），
∴K NC＝＝，K AB＝﹣，
∴K NC×K AB≠﹣1，此时NC与BM不垂直．
∴满足题意的N点坐标只有一个，N（﹣1，4）．。