4.2 一次函数与正比例函数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
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则符合表中数据的函数关系式是（ C ）
A. y ＝ x2
C. y ＝ x
B. y ＝2 x
D. y ＝ x ＋25
典例导思
4. 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，
超过部分每千克收取1.5元行李费，则旅客需交的行李
费 y （元）和携带行李重量 x （千克）之间的函数关系
式为 y ＝1.5（ x －20） ，其中自变量 x 的取值范围
x 的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定
是一次函数，一次函数却不一定是正比例函数.
典例导思
题型一 一次函数与正比例函数的概念
（1）对于函数 y ＝（ m ＋1） x ＋（1－3 m ），当 m
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数；
解：①当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，该函数是一次函数.
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
知识导航
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成 y ＝ kx ＋
b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次
函数.
特别地，当 b ＝0时，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）即为 y ＝ kx （ k 为常数， k ≠0），则称 y 是
y 是 x 的一次函数.
典例导思
（2）当油箱内剩余油量少于3 L时，汽车将自动报警.如
果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请
说明理由.
解：（2）当 x ＝400时， y ＝45－ ×400＝5＞3，
∴他们能在汽车报警前回到家.
典例导思
[方法总结] ①根据具体问题求关系式时，要先审清题
②当1－3 m ＝0，即 m ＝ 时，此时 m ＋1＝ ≠0.
∴当 m ＝ 时，该函数是正比例函数.
典例导思
−
（2）对于函数 y ＝（ m －3）
＋ n －2，当 m ， n
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数.
解：①当 －2＝1且 m －3≠0，即 m ＝－3， n 为任意
意，再写出关系式；②由关系式求自变量（或因变量）
的值时，要把已知变量值代入关系式转化为方程解决.
典例导思
3. 一个皮球从高处落下后，会从地面弹起.下表记录了
小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中 x 表示落下高
度， y 表示弹跳高度.
80
100
160
200
落下高度x/ cm
40
50
80
100
弹跳高度y/ cm
1.
＋1；
④ y ＝－8 x2＋2；⑤ y ＝0.5 x －3.其中是一次函数的有
（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
典例导思
2. 已知函数 y ＝（ k ＋1） x ＋ k2－1，当 k ≠－1 时，
它是一次函数；当 k ＝1 时，它是正比例函数.
典例导思
题型二 确定实际问题中的一次函数关系式
数关系式；
解：（1）当0≤ x ≤20时， y ＝2 x ；
当 x ＞20时， y ＝2.8（ x －20）＋20×2＝2.8 x －16.
典例导思
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38
元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
解：（2）∵四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，
实数时，该函数是一次函数.
②当 m ＝－3且 n －2＝0，即 m ＝－3且 n ＝2时，该函数
是正比例函数.
典例导思
[方法总结]若 y ＝ kx ＋ b 为一次函数，则 k ≠0， b 为常
数；若 y ＝ kx ＋ b 为正比例函数，则 k ≠0， b ＝0.
典例导思
下列各式：① y ＝－8 x ；② y ＝－ ；③ y ＝
∴小颖家四月份用水超过20吨，五月份用水没有超过
20吨.
设四月份用水 x 1吨，五月份用水 x 2吨，则
45.6＝2.8 x 1 －16，38＝2 x 2 ，
解得 x 1 ＝22， x 2 ＝19，∴ x 1 － x 2 ＝22－19＝3，
∴小颖家五月份比四月份节约用水3吨.
小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出
发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶了150 km时，发现
油箱剩余油量为30 L.
（1）求油箱内剩余油量 y （L）与行驶路程 x （km）之
间的函数关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
−
Hale Waihona Puke 解：（1） y ＝45－x ＝45－ x （0≤ x ≤450）.
是 x ＞20 ，这是 一次 函数.
典例导思
5. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方
法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨
时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的
20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每
户家庭月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元.
（1）分别求出当0≤ x ≤20和 x ＞20时， y 与 x 之间的函
A. y ＝ x2
C. y ＝ x
B. y ＝2 x
D. y ＝ x ＋25
典例导思
4. 某车站规定旅客可以免费携带不超过20千克的行李，
超过部分每千克收取1.5元行李费，则旅客需交的行李
费 y （元）和携带行李重量 x （千克）之间的函数关系
式为 y ＝1.5（ x －20） ，其中自变量 x 的取值范围
x 的正比例函数.
注意：正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数一定
是一次函数，一次函数却不一定是正比例函数.
典例导思
题型一 一次函数与正比例函数的概念
（1）对于函数 y ＝（ m ＋1） x ＋（1－3 m ），当 m
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数；
解：①当 m ＋1≠0，即 m ≠－1时，该函数是一次函数.
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
知识导航
一次函数和正比例函数的概念
若两个变量 x ， y 间的对应关系可以表示成 y ＝ kx ＋
b （ k ， b 为常数， k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次
函数.
特别地，当 b ＝0时，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ， b 为常
数， k ≠0）即为 y ＝ kx （ k 为常数， k ≠0），则称 y 是
y 是 x 的一次函数.
典例导思
（2）当油箱内剩余油量少于3 L时，汽车将自动报警.如
果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家？请
说明理由.
解：（2）当 x ＝400时， y ＝45－ ×400＝5＞3，
∴他们能在汽车报警前回到家.
典例导思
[方法总结] ①根据具体问题求关系式时，要先审清题
②当1－3 m ＝0，即 m ＝ 时，此时 m ＋1＝ ≠0.
∴当 m ＝ 时，该函数是正比例函数.
典例导思
−
（2）对于函数 y ＝（ m －3）
＋ n －2，当 m ， n
为何值时：①这个函数是一次函数；②这个函数是正比
例函数.
解：①当 －2＝1且 m －3≠0，即 m ＝－3， n 为任意
意，再写出关系式；②由关系式求自变量（或因变量）
的值时，要把已知变量值代入关系式转化为方程解决.
典例导思
3. 一个皮球从高处落下后，会从地面弹起.下表记录了
小球从不同高度落下时的弹跳高度，其中 x 表示落下高
度， y 表示弹跳高度.
80
100
160
200
落下高度x/ cm
40
50
80
100
弹跳高度y/ cm
1.
＋1；
④ y ＝－8 x2＋2；⑤ y ＝0.5 x －3.其中是一次函数的有
（ B ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
典例导思
2. 已知函数 y ＝（ k ＋1） x ＋ k2－1，当 k ≠－1 时，
它是一次函数；当 k ＝1 时，它是正比例函数.
典例导思
题型二 确定实际问题中的一次函数关系式
数关系式；
解：（1）当0≤ x ≤20时， y ＝2 x ；
当 x ＞20时， y ＝2.8（ x －20）＋20×2＝2.8 x －16.
典例导思
（2）小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38
元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？
解：（2）∵四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，
实数时，该函数是一次函数.
②当 m ＝－3且 n －2＝0，即 m ＝－3且 n ＝2时，该函数
是正比例函数.
典例导思
[方法总结]若 y ＝ kx ＋ b 为一次函数，则 k ≠0， b 为常
数；若 y ＝ kx ＋ b 为正比例函数，则 k ≠0， b ＝0.
典例导思
下列各式：① y ＝－8 x ；② y ＝－ ；③ y ＝
∴小颖家四月份用水超过20吨，五月份用水没有超过
20吨.
设四月份用水 x 1吨，五月份用水 x 2吨，则
45.6＝2.8 x 1 －16，38＝2 x 2 ，
解得 x 1 ＝22， x 2 ＝19，∴ x 1 － x 2 ＝22－19＝3，
∴小颖家五月份比四月份节约用水3吨.
小明和父母一起开车到距家200 km的景点旅游，出
发前，汽车油箱内储油45 L，当行驶了150 km时，发现
油箱剩余油量为30 L.
（1）求油箱内剩余油量 y （L）与行驶路程 x （km）之
间的函数关系式，并判断 y 是否为 x 的一次函数；
−
Hale Waihona Puke 解：（1） y ＝45－x ＝45－ x （0≤ x ≤450）.
是 x ＞20 ，这是 一次 函数.
典例导思
5. 为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方
法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨
时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的
20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每
户家庭月用水量为 x 吨，应交水费为 y 元.
（1）分别求出当0≤ x ≤20和 x ＞20时， y 与 x 之间的函