数形结合思想是体会数学美学关键

数形结合对数学解题的指导作用
周村区实验中学韩增强 2011年7月23日11:08
数学解题历来是数学教育界关心的问题，数形结合又对数学解题具有一定的指导作用，因此，高中数学教学中运用数形结合提高解题能力是一个极有价值的研究课题，尤其是从数形结合的教育意义及教育价值的角度出发研究解题能力的提高。

它有利于丰富和完善数学解题理论，有利于促进学生对数学知识的理解，有利于高中数学新课标要求的落实。

文章基于此分析了数学利用数形结合提高解题能力的相关策略。

一、数形结合的内涵
数形结合要求我们考虑问题时数、形兼顾，以便将直观性与抽象性有机地结合起来，从而使我们的认识更加全面、更加深刻。

于是，当所讨论的问题以代数的形式出现时，应注意借助直观意义解题，而当所讨论的问题以几何的形式出现时，则应注意借助抽象意义解题。

数形结合是一种极富数学特点的信息转换，数学上总是用数的抽象性质来说明形象的事实，同时又用图形的性质来说明数的事实。

数形结合是一种重要的数学思想和一柄双刃的解题利剑。

这是数形结合在解题方法基础上的一种提升，是目前数学教学中正在被接受的一种认识。

它不再被看成是一种解题工具，而被看成是，站在更高角度上用于指导解题教学，甚至是数学教学的一种思想策略。

数形结合是一种数学思想，是一个值得认可的观点。

但数形结合可以从数学思想上升为一种数学意识，时刻活动在数学教与学中，所发挥的数学教育意义会更大，教育价值也就更大。

数形结合是数学解题的一种重要的思想方法。

它既可以借助于数的精确性来阐明形的某
些属性，也可以借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系。

借助于图形的性质，可以使许多抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化、简单化，而一些几何图形的性质借助于数量的计算和分析可得以严谨化。

二、利用数形结合提高解题能力的教学策略
在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，使数与形的信息相互渗透，可以开拓我们的解题思路，使许多数学问题简单化。

在数学教学中，教师可选一些探索性的题目，让学生去研究发现，让学生从问题的本身进行具体的分析，进行一系列探索性思维活动，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。

(一)更新教学观念
依据新课标的目标要求，数形结合解题教学不能只重结果、轻过程，也不能只重方法的直接给出、轻思路的分析探索过程：数形结合也不能只作为解题工具。

只有充分揭示出数形结合的教育意义，数形结合在后续学习中才会有更旺盛的生命力，高中数学教学中数形结合提高解题能力的研究也才会有更宽、更好的奠基。

而这一切都需要教学观念的更新。

(二)培养学生的数形结合解题意识
在课堂解题教学中，注意精选一些非常典型的、能很好地突出数形结合思想方法优势的例题来进行讲解，在精讲过程中，注意用问题引导学生运用数形结合思想方法解题，讲解完毕还可以对题中所用数形结合思想方法进行总结与提升。

对解题进行回顾和概括是提高数学
解题能力不可缺少的一个步骤，数形结合解题也不例外。

因此，数形结合解题的回顾与概括阶段正是提升数形结合思想方法的好时机。

(三)注意加强数与形之间的相互表征
数与形的相互表征是数形结合解题的重点。

数形结合解题过程中，数与形经常需要相互转化。

这就有一个相互表征的问题。

教师在平时的数学教学中，应该引导学生对数学内容从数与形两方面进行对应表征，注意数与形的“互译”，即当数学问题以代数形式给出时，应借助直观挖掘它的几何意义；当数学问题以几何形式出现时，则应注意其代数的抽象意义。

(四)注重对数形结合解题错误的分析
对数形结合解题错误的分析也是数形结合解题的重点所在。

对数形结合解题错误进行分析，发现数形结合解题错误并不是最后的目的，我们要在发现数形结合解题错误的基础上。

纠正错误，在以后的解题中学会主动防御解题可能出现的漏洞与错误，来提高数形结合解题能力。

(五)训练学生寻找数形结合的突破口
寻找运用数形结合解题的突破口也就是寻找数与形的转化途径。

课堂解题教学，通过对学生进行“由数想形，由形想数”的训练，使得学生对一些常用的数形结合解题途径有了一定的了解，这除了可以使学生积累有关数形结合解题转化途径的相关经验外，还可以为以后巧妙地进行数形结合转换创造条件。

数学处理问题时，总是将难处理的问题转化为较易处理的问题，将较易处理的问题转化
为更易处理的问题。

数形结合思想可以培养学生的发散思维、直觉思维和想像力，在激发学生的创造性潜力的基础上，来提高运用数形结合解题的能力。

数形结合思想是体会数学美学的关键
淄川区般阳中学司书振2011年7月23日08:56
“哪里有数学，哪里就有美”。

数学大师阿达玛认为，美感和美的意识是数学直觉的本质。

这种美感就是对数学事物间存在着的某种和谐性关系及秩序的直觉意识。

纵观古今，无数哲人、智者对数学这一学科在研究自然揭示事物发展规律的作用上情有独钟，但为什么我们今天的数学学科教学却令学生感到枯燥乏味呢？我认为我们很多时候偏重理论的推导，成绩的提升，而忽视了学生的认知规律，很多时候即使教师陶醉在数学的世界中，学生接受的仍是一头雾水。

人类的认知过程是由感性，感觉到理性、理论认识，只有在完全理解掌握了知识的基础上才能站在高层次去认知、体会美感所在。

如若不然，空谈数学中的美感教育就与做个美容，换身新衣一样的肤浅了，这显然不是我们理解的。

培养学生的数学兴趣，体会数学这一学科的独特气质就应当发挥这种学科的独特性，而不是照搬教条，一味被考试奴役。

数形结合思想就是学生在体会客观世界的数学美学思想，解析几何在这方面尤其独到的作用和意义，首先，解析几何是用代数研究集合的方法，使传统代数学与几何学的桥梁，代数研究集合的思想方法古来有之。

但近代解析几何学的发展更成熟了，解析几何对数形结合能力的作用，笔者认为主要表现在以下几个方面：
一、有助于学生形成和谐、完整的数学概念。

数学概念是数学逻辑的起点，是学生认知的基础，是学生数学思维的核心，但是由于数学中的概念往往是高度抽象的，给人一种单调、乏味、枯燥、难懂的错觉。

利用数形结合可以帮助学生理解数学概念。

（1）化抽象为具体，有利于数学概念的理解、记忆。

这一点主要表现在以下几个方面，第一、数形结合，容易揭示数学概念的来龙去脉，学生易于感知和接受，解析几何再次充当了很好的桥梁作用。

第二、数形结合有利于学生对知识本质的理解。

第三、数形结合，为概念赋予图形信息，帮助学生利用图形信息来理解记忆概念及对相关性质进行应用。

（2）发展和优化学生的数学认知结构。

数学认知结构是学习者头脑中的数学知识结构，即数学知识结构通过内化在学习者头脑中所形成的观念的内容和组织。

数形结合可以使学生的知识整体化、系统化，便于学生在各种知识背景下提取有用的信息，且能从“数”与“形”两个维度去考虑解决问题。

主要体现在下面几个方面:第一、数形结合加强了知识与知识之间的相互联系与转化，构建了有效的知识网络，优化了学生的数学认知结构。

第二、通过数形结合使学生原有的认知水平得到了深化发展，使学生对知识的理解更加深刻透彻。

二、有助于拓展学生寻找解决问题的途径。

（1）数形结合是解决具体问题的“向导”。

数形结合作为一种思维策略，虽然不一定能作为题目的解法，但常可以作为寻求解法的一个思路，或在思路受阻时寻求出路的突破口，所以这又是数形结合这种思维策略的另一方面的积极意义。

（2）有助于学生积累数学知识模块，简缩思维链。

不同的学生对于同一思维课题的思维过程就有长短之分，能力强的学生思维过程短，思维链少，能力弱的同学往往表现出思维过程长，思维链多且无序性。

数形结合最大的特点就是模型化，直观化，用简单直观的图形代替冗长的代数推理。

学生的知识结构中要是有了一些丰富的图形模块和数式模块，将会快速、准确地解题。

三、有助于学生数学思维能力的发展。

进入高中阶段的学生己完成了由直观形象思维到抽象逻辑思维的飞跃，但这并不是说我们在教学中就可以偏颇某一种思维方式。

形象思维的培养在高中阶段是不容忽视的，也是很重要的。

数形结合的思想可以培养以下思维：（1）有助于发展学生的形象思维。

第一、数形结合丰富了表象的储备，而表象的运动过程可促进形象思维发展。

第二、数形结合有助于培养学生对图形的想象能力，促进学生形象思维的发展。

（2）有助于培养学生的直觉思维。

运用数形结合解题能直接揭示问题的本质，直观地看到问题的结果，只需稍加计算或推导，就能得到确切的答案，因此许多数学问题的解答都是先从几何形象的直觉感知中得到某种猜想、预感，然后再进行逻辑推理和证明，进而使问题得以解决。

（3）有助于培养学生的抽象思维能力。

第一、数形结合表面上看是代数与几何之间的结合。

第二、我们知道任何的学习迁移都是通过概括这一思维过程来实现的。

数形结合在应用的过程中，常常根据数量关系与图形特征之间的联系和规律，可以把一个形的问题转化迁移到与之相应的数的问题，反之数的问题转化迁移到与之相应的形的问题。

四、利用数形结合，唤起学生对数学美的追求。

数学本身就是一门美的科学，数学上的对称美，轮换美，简洁美、和谐美、奇异美等形式在图形上的体现更为直观、更为动人。

利用数形结合能培养学生审美情趣，经受审美体验，提高审美意识和审美能力，以激励起学生学好数学的激情，动力和追求解题的艺术美，促进人的素质全面提高。