2020高考山西数学_理_大一轮复习_课件_检测__9-第九章 平面解析几何 _直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系
A组基础题组
1.直线kx+y-2=0(k∈R)与圆x2+y2+2x-2y+1=0的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.与k值有关
答案 D 圆心为(-1,1),所以圆心到直线的距离为=,所以直线与圆的位置关系和k值有关,故选D.
2.与圆C
1:x2+y2-6x+4y+12=0,C
2
:x2+y2-14x-2y+14=0都相切的直线有( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案 A 两圆分别化为标准形式,则C
1:(x-3)2+(y+2)2=1,C
2
:(x-7)2+(y-1)2=36,则两圆圆心
距|C
1C
2
|==5,等于两圆半径差,故两圆内切.所以两圆只有一条公切线.故选A.
3.已知圆的方程是x2+y2=1,则在y轴上截距为的切线方程为( )
A.y=x+
B.y=-x+
C.y=x+或y=-x+
D.x=1或y=x+
答案 C 由题意知切线斜率存在,故设切线方程为y=kx+,则=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.
4.(2018湖南十四校二联,8)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为( )
A.或-
B.或-
C. D.
答案 B 因为直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等腰直角三角形,所以O到直线AB的距离为1,由点到直线的距离公式可得=1,所以a=±,故选B.
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5.(2018山东聊城模拟)圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 C 因为圆心为(3,3),半径为3,圆心到直线的距离为=2<3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.
6.若直线y=-x-2与圆x2+y2-2x=15相交于点A,B,则弦AB的垂直平分线的方程
为.
答案y=2x-2
解析圆的方程可整理为(x-1)2+y2=16,
所以圆心坐标为(1,0),半径r=4,易知弦AB的垂直平分线l过圆心,且与直线AB垂直,而
k
AB =-,所以k
l
=2.
由点斜式方程可得直线l的方程为y-0=2(x-1),即y=2x-2.
7.过点P(-3,1),Q(a,0)的光线经x轴反射后与圆x2+y2=1相切,则a的值为.
答案-
解析因为P(-3,1)关于x轴的对称点的坐标为P'(-3,-1),
所以直线P'Q的方程为y=(x-a),即x-(3+a)y-a=0,易知圆心(0,0)到直线的距离d==1,
所以a=-.
8.(2018贵州贵阳一模,13)过点(1,)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .
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答案
解析∵(1-2)2+()2=3<4,∴点(1,)在圆(x-2)2+y2=4的内部,当劣弧所对的圆心角最小时,圆心(2,0)与点(1,)的连线垂直于直线l.
∵=-,∴所求直线l的斜率k=.
9.已知圆C:(x-1)2+(y+2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程.
(1)过切点A(4,-1);
(2)与直线l
:x-2y+4=0垂直.
2
==,所以过切点A(4,-1)的切线斜率解析由题意得圆心C(1,-2),圆的半径为.(1)因为k
AC
为-3,所以过切点A(4,-1)的切线方程为y+1=-3(x-4),即3x+y-11=0.
(2)由题意可设切线的方程为2x+y+m=0,则=,所以m=±5,所以切线方程为2x+y±5=0.
10.已知圆C经过点A(2,-1),且与直线x+y=1相切,圆心在直线y=-2x上.
(1)求圆C的方程;
(2)已知直线l经过原点,并且被圆C截得的弦长为2,求直线l的方程.
解析(1)设圆心C的坐标为(a,-2a),
则=.
化简得a2-2a+1=0,解得a=1.
∴C(1,-2),半径r=|AC|==.
∴圆C的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
(2)①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,此时直线l被圆C截得的弦长为2,满足条件.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx,由题意得=1,解得k=-,
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∴直线l的方程为y=-x.
综上所述,直线l的方程为x=0或y=-x.
B组提升题组
1.已知直线l:ax-3y+12=0与圆M:x2+y2-4y=0相交于A,B两点,且∠AMB=,则实数
a= .
答案±
解析直线l的方程可变形为y=ax+4,所以直线l过定点(0,4),且该点在圆M上.圆的方程可变形为x2+(y-2)2=4.所以圆心为M(0,2),半径为2.如图,因为∠AMB=,所以△AMB是等边三角形,且边长为2,高为,即圆心M到直线l的距离为,所以=,解得a=±.
2.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的
点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为. 答案3
解析本题考查直线与圆的位置关系.
设A(a,2a),a>0,则C,
∴圆C的方程为+(y-a)2=+a2,
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由得
∴·=(5-a,-2a)·=+2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a>0,∴a=3,∴点A的横坐标为3.
3.已知圆C:x2+(y-a)2=4,点A(1,0).
(1)当过点A的圆C的切线存在时,求实数a的取值范围;
(2)设AM,AN为圆C的两条切线,M,N为切点,当|MN|=时,求MN所在直线的方程. 解析(1)过点A的切线存在,即点A在圆外或圆上,
∴1+a2≥4,∴a≥或a≤-.
(2)设MN与AC交于点D,O为坐标原点.
易知MN⊥CD.
∵|MN|=,∴|DM|=.
又|MC|=2,∴|CD|===,
∴cos∠MCA===,∵cos∠MCA=,
∴|AC|===,∴|OC|=2,
|AM|=1,
∴MN是以点A为圆心,1为半径的圆A与圆C的公共弦,圆A的方程为(x-1)2+y2=1,圆C的方程为x2+(y-2)2=4或x2+(y+2)2=4,
∴MN所在直线的方程为(x-1)2+y2-1-x2-(y-2)2+4=0,
或(x-1)2+y2-1-x2-(y+2)2+4=0,
即x-2y=0或x+2y=0,因此MN所在直线的方程为x-2y=0或x+2y=0.
4.(2017豫北名校联考)已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
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(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求切线的方程;
(2)从圆C外一点P(x
1,y
1
)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求
|PM|取得最小值时点P的坐标.
解析(1)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2,圆心为(-1,2),半径为,易知切线斜率存在.∵圆C的切线在两坐标轴上的截距相等,
∴①当截距不为零时,直线斜率为-1,可设切线的方程为y=-x+b,即x+y-b=0,
∴=,解得b=-1或b=3,
故切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
②当截距为零时,可设切线的方程为y=kx,即kx-y=0,
∴=,解得k=2+或k=2-,
故切线的方程为y=(2+)x或y=(2-)x,
综上可知,切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+)x或y=(2-)x.
(2)∵|PM|=|PO|,∴|PO|取最小值时,|PM|也取最小值.
∵切线PM与半径CM垂直,
∴|PM|2=|PC|2-|CM|2,又|PM|=|PO|,
∴|PC|2-|CM|2=|PO|2,
∴(x
1+1)2+(y
1
-2)2-2=+,∴2x
1
-4y
1
+3=0,
即点P(x
1,y
1
)在直线2x-4y+3=0上,
∴|PO|的最小值等于点O到直线2x-4y+3=0的距离d,d== .故|PO|取得最小值时,|PO|2=+=d2==,
∴解得
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∴所求P点坐标为.
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