人教A版数学选修2-3全册课件-独立性检验的基本思想及其初步应用

4.独立性检验与统计的综合应用
[典例] (12 分)某工厂有工人 1 000 名，其中 250 名工人参 加过短期培训(称为 A 类工人)，另外 750 名工人参加过长期培 训(称为 B 类工人)．现用分层抽样的方法(按 A 类、B 类分两层) 从该工厂的工人中抽取 100 名工人，调查他们的生产能力(此处 生产能力指一天加工的零件数)，结果如下表．
生产能力分组 [110,130) [130,150) 总计
工人类别
A 类工人
B 类工人
总计
附：K2＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d，
P(K2≥k0)
0.050 0.010 0.001
k0
3.841 6.635 10.828
[解題流程]
[規範解答]
(1) ∵ 从 该 工 厂 的 工 人 中 抽 取 100 名工人，且该工厂中有 250 名 A 类工人，750 名 B 类工人，
(1)根据以上数据完成下列2×2列联表： 主食蔬菜 主食肉类 总计
50岁以下 50岁以上
总计 (2)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲属 的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．
解：(1)2×2列联表如下：
主食蔬菜 主食肉类 总计
50岁以下
4
8
12
50岁以上
16
2
18
总计
20
10
30
答案：D
2．下面是一个2×2列联表：
y1
y2
总计
x1
a
21
73
x2
2
25
27
总计
b
46
则表中a、b处的值分别为
()
A．94,96
B．52,50
C．52,54
D．54,52
解析：由aa＋ ＋221＝＝b7，3， 得ab＝ ＝5524， .
答案：C
3．獨立性檢驗所採用的思路是：要研究A，B兩類型變數彼 此相關，首先假設這兩類變數彼此________，在此假設下 構造隨機變數K2，如果K2的觀測值較大，那麼在一定程度 上說明假設________． 答案：無關 不成立
(2)因为K2＝123× 0×188×－2102×8120＝10>6.635，
P(K2>6.635)＝0.01
所以可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为其亲
属的饮食习惯与年龄有关．
[随堂即时演练] 1．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强
的是
()
解析：在四幅圖中，D圖中兩個深色條的高相差最明顯， 說明兩個分類變數之間關係最強．
解：根据题意，列出 2×2 列联表如下：
晕机 不晕机 总计
男乘客 24
31
55
女乘客
8
26
34
总计
32
57
89
假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．
由公式可得 K2 的观测值
k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d ＝89552×4×342×6－323×1×5782≈3.689>2.706， 故在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下，认为“在天气恶劣的 飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．
表 1：A 类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数
8
x
3
2
表 2：B 类工人生产能力的频数分布表
生产能力分组 [110,120) [120,130) [130,140) [140,150)
人数
6
y
27
18
(1)确定 x，y 的值； (2)完成下面 2×2 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？
一部分，试分析实验效果.
70及70分以下 70分以上 总计
对照班
32
18
50
试验班
12
38
50
总计
44
56
100
附：
P(K2≥k0) k0
0.025 5.024
0.010 6.635
0.005 7.879
解：根据列联表中的数据，由公式得K2的观测值 k＝a＋bcn＋add－ab＋cc2b＋d ＝100503×2×503×8－441×8×56122≈16.234. 因为16.234＞6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前 提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学 中增加统计思想的渗透有联系．
3.2
獨立
第 三
性檢 驗的 基本
章 思想
及其
初步
應用
1 理解教 材新知
2 突破常 考題型
3 跨越高 分障礙
4 應用落 實體驗
知識點一 知識點二
題型一 題型二
隨堂即時演練 課時達標檢測
3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
獨立性檢驗的有關概念 [提出問題] 某校高三模拟考试调查中，性格内向的 426 人中有 332 人考前紧张，性格外向的 594 人中有 213 人考前紧张． 问题 1：考前紧张与性格类别有关系吗？ 提示：有．
4．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法： ①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的 前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人 中必有99人患有肺病； ②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提 下，认为吸烟与患肺病有关系时，若某人吸烟，则他有 99%的可能患有肺病； ③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提 下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得 推断错误．其中说法正确的是________．
(2)根據所給的數據可以完成列聯表，如下表所示：
生產能力分組 [110,130) [130,150) 總計
工人類別
A類工人 B類工人
總計
20
5
25
30
45
75
50
50
100
(6分)
由列联表中的数据，得K2的观测值为
k＝1002×5×207×5×455－0×5×50302＝ 12＞10.828.(10分)
年及其家长，数据如下：
父母吸烟 父母不吸烟
总计
子女吸烟
237
83
320
子女不吸烟
678
522
1 200
总计
915
605
1 520
利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？
解：等高条形图如下：
由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父 母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认 为“子女吸烟与父母吸烟有关系”.
立性检验的ห้องสมุดไป่ตู้法判断．
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05 0.025
k0
2.706 3.841 5.024
[解] 根据题目所给数据建立如下 2×2 列联表：
肯定
否定
总计
男生
22
88
110
女生
22
38
60
总计
44
126
170
根据 2×2 列联表中的数据得到：
k＝1701×10×226×0×384－4×221×26882≈5.622＞3.841.
解析：K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系， 而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正 确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错 误；说法③正确． 答案：③
5．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年
级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，
下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的
[类题通法] 进行独立性检验的前提是根据题中数据获得 2×2 列联 表，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征，即将a＋a b 与c＋c d(或a＋b b与c＋d d)的值相比，由此能直观地反映出两个 分类变量间是否相互影响，但是此方法较粗劣．
[活学活用]
为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少
問題2：通過怎樣比較看出有？
提示：通過考前緊張的人數占性格類型的比例．
[導入新知]
1．分类变量 变量的不同“值”表示 個體所屬 的不同类别，像这样的 变量称为分类变量． 2．2×2 列联表 假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1，x2} 和 {y1，y2} ，其样本频数列联表(也称为 2×2 列联表)为：
此處易犯錯誤有兩點： ①計算失誤；②將公 式中的數據搞錯.
因此，在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为工
人的生产能力与工人的类别有关系．(12分)
[活学活用] (东北三校联考)某学生对其亲属30人的饮食进行了一次调 查，并用下图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图 中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70 的人，饮食以肉类为主)
所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下，认为“性别与态
度有关系”．
[类题通法] 根据题意列出 2×2 列联表，计算 K2 的观测值，如果 K2 的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大； 如果 K2 的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个 分类变量有关系．这需要给出正确的计算，避免计算失误．
[导入新知] 独立性检验的思想：要确定“两个分类变量有关系”这一 结论成立的可信程度，首先 假設結論不成立 ，即假设结论“两 个分类变量没有关系”成立．在该假设下我们构造的随机变量 K2 应该很小，如果由观测数据计算得到的 K2 观测值 k 很大， 那么在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量 K2 的含义， 可以通过可信度表评价该假设不合理的程度，即“两个分类变 量有关系”的可信程度．
列聯表和等高條形圖的應用
[例 1] 某学校对高三学生作了一项调查，发现：在平时 的模拟考试中，性格内向的学生 426 人中有 332 人在考前心 情紧张，性格外向的学生 594 人中有 213 人在考前心情紧 张．作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类 别是否有关系．
[解] 作列联表如下：
[活学活用] 在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机
的情况：男乘客晕机的有 24 人，不晕机的有 31 人；女乘客晕
机的有 8 人，不晕机的有 26 人．请你根据所给数据判定：在
天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
附：
P(K2≥k0)
0.10
0.05
k0
2.706
3.848
[化解疑難] 1．2×2 列联表的特征
2．在列联表中，如果两个分类变量没有关系，则应满足 ad－bc≈0.因此|ad－bc|越小，说明两个分类变量之间的关系越 弱；|ad－bc|越大，说明两个分类变量之间的关系越强.
獨立性檢驗的思想
吸煙與患肺癌“列聯表”中，事件A表示不吸煙，B表示不患肺 癌． 問題1：事件A，B發生的頻率可求嗎？ 提示：可以． 問題2：通常情況下，為研究問題方便，常用什麼近似於概率？ 提示：頻率． 問題3：事件A，B無關有怎樣的概率公式？ 提示：P(AB)＝P(A)P(B)．
∴要从 A 类工人中抽取 25 名， 从 B 类工人中抽取 75 名，(2 分)
∴x＝25－8－3－2＝12，y＝75 －6－27－18＝24.(4 分)
[名师批注] 要确定 x，y 的值，应先 确定 A 类工人及 B 类工 人中应各抽取多少人， 此处易误认为 x＝25， y＝75，从而导致解题 错误.
x1 x2 总计
y1 a c a＋c
y2 b d b＋d
总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
3．K2 统计量
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造 nad－bc2
一个随机变量 K2＝ a＋bc＋da＋cb＋d ，其中 n＝ a＋b＋c＋d 为样本容量．
4．独立性检验 利用随机变量 K2 来确定是否能以给定把握认为“兩個分 類變數有關系 ”的方法，称为两个分类变量独立性检验．
性格内向 性格外向 总计
考前心情紧张
332
考前心情不紧张
94
总计
426
213
545
381
475
594
1 020
相应的等高条形图如图所示：
图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中 性格内向的比例．从图中可以看出考前心情紧张的样本中性 格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比 例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．
考查獨立性檢驗的原理
[例 2] 研究人员选取 170 名青年男女大学生为样本，
对他们进行一种心理测验．发现有 60 名女生对该心理测验
中的最后一个题目的反应是：作肯定的有 22 名，否定的有
38 名；男生 110 名在相同的项目上作肯定的有 22 名，否定
的有 88 名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？用独
[化解疑难]
1．P(K2≥6.635)≈0.01 表明 H0 成立的概率很小，是小概率事 件，可以判断 H0 不成立，也就是“两个分类变量之间没有关系” 错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率不超过 0.01，也 可以理解为“有 99%的把握认为两个分类变量之间有关系”．
2．利用独立性检验解决问题的基本步骤： (1)根据相关数据作列联表； (2)求 K2 的观测值； (3)与临界值作比较，得出结论.