第三节 能得到直角三角形吗
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
12．(2020·台州)如图，等边三角形纸片 ABC 的边长为 6，E，F 是边 BC 上的三等分点．分别过点 E，F 沿着平行于 BA，CA 方向各剪一刀，则剪 下的△DEF 的周长是__6__.
13．★(2021·齐齐哈尔)直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则这个直 角三角形斜边上的高为 或152或3 4 7 .
30°，则∠D 的度数为
( B)
A．85° B．75° C．65° D．30°
3．(2021·福建)如图，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，△ABF 为等边三
角形，则∠AFC 等于
( C)
A．108° B．120° C．126° D．132°
4．(2020·南充)如图，在等腰△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，∠A＝36°，
AB＝AC＝a，BC＝b，则 CD＝
( C)
A.a＋2 b
B.a－2 b
C．a－b
D．b－a
5．(2020·荆州)如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的斜边 OA 在第一
象限，并与 x 轴的正半轴夹角为 30°，C 为 OA 的中点，BC＝1，则点 A
的坐标为
( B)
A．( 3， 3) B．( 3，1) C．(2，1) D．(2， 3)
10．(2021·娄底)如图，△ABC 中，AB＝AC＝2，P 是 BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点 E，PF⊥AC 于点 F，若 S△ABC＝1，则 PE＋PF＝ 1 1.
11．如图，已知在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，点 P 是 Rt △ABC 的重心，则点 P 到 AB 所在直线的距离等于 1 1.
14．(2020·衡阳)如图，在△ABC 中，∠B＝∠C，过 BC 的中点 D 作 DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为点 E，F. (1)求证：DE＝DF； (2)若∠BDE＝40°，求∠BAC 的度数．
直角三角形全等的判定+-+说课演示课件
）
B、斜边和一锐角对应相等
C、斜边和一条直角边对应相等 D、两个锐角对应相等
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
直 角 三 角 形 全 等 的 判 定
教学过程分析
当堂检测 C E A B F D
2、如图,CE⊥AE,DF⊥BF,垂足分别为E、F.
小结归纳
环节
本节课 设计意图： 的收获 （1）反馈本节课重难点的突破情况 练习1、2 P21 习 与疑惑 题1）； （2）分层作业，各显身手，消除被迫感和压抑感。 ？ 选做题（教材P21
练习5、6）
布置作业： 必做题（教材P20
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
SAS ASS ASA SSS
直角三角形的性质
“HL”定理
轴对称、等腰三角形、四边形等… …
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
直 角 三 角 形 全 等 的 判 定
教材分析
本班学情
思维 活跃
知识遗 忘率高
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
1 2 3
教材分析 教学目标分析
课堂结构设计
教学过程分析 教学评价分析
4
5
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
直 角 三 角 形 全 等 的 判 定
课堂结构设计
观察
猜想
推理
论证
应用
Zhi jiao san jiao xing quan deng de pan ding
1、2能得到直角三角形吗—13中—张传江
答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
利用例子的分析过程，引导学生学会分析问题，解决问题的能力。
巩固
练习
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可能是( )
A.3:4:7;B.5:12:13;C.1:2:4;D.1:3:5.
2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是( )
枣庄市第十三中学有效课堂教学导学稿
课题
能得到直角三角形吗？
主备教师
张雷
导学教师
张雷
导学时间
9.5
课时
1
累计课时
3
学习
目标
知识
目标
（1）、掌握直角三角形的判别条件，并会判定一个三角形是否为直角三角形。
（2）、熟悉几组常见的勾股数
技能
目标
培养敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神。增强学好数学、用好数学的信心和勇气。
如果三角形的三边长a、b、c满足 ，那么这个三角形是直角三角形。
满足 的三个正整数，称为勾股数。
学生理解教学目标并记忆。
甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结。
乙：握住第四个结。
丙：握住第八个结。
（直角。）
( 3、4、5 )
( ）
同学们在运算、交流形成共识后，
同学们在在形成共识后板书：
大家可以想这样的勾股数是很多的。
教学分析
学生已经学习了勾股定理，并在以前其他内容的学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：已知两直线平行，有什么样的结论？反之，满足什么条件的两直线是平行？因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。
证明直角三角形的方法
证明直角三角形的方法直角三角形是指一个三角形的一个角度为90度的三角形。
证明直角三角形的方法有多种，以下列举几种常见的方法。
在证明前，我们先假设有一个三角形ABC，边长分别为a，b，c，且角A为直角。
方法一：勾股定理证明勾股定理是其中一个最常用的证明直角三角形的方法。
勾股定理的表达式为a^2 + b^2 = c^2，其中c为斜边边长。
在证明时，我们可以通过验证这个等式是否成立来证明三角形ABC为直角三角形。
证明步骤如下：1. 将三角形ABC的三边长度分别记为a，b，c。
2. 根据直角三角形的定义，假设角A为直角角度。
3. 根据三角形的定义，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2。
4. 证明c^2 = a^2 + b^2的方法有多种，其中一种常用的方法是通过代入角度的正弦、余弦或正切关系来证明。
- 使用正弦关系证明：由正弦定理，我们可以得到a/sin(A) = c/sin(C)和b/sin(B) = c/sin(C)，其中C为角C的角度。
如果角A为90度，那么sin(A) = 1，由此可得a = c*sin(C)。
同理，由角B为90度可得出b = c*sin(C)。
将a 和b的表达式代入c^2 = a^2 + b^2，我们有c^2 = (c*sin(C))^2 +(c*sin(C))^2 = c^2*sin^2(C) + c^2*sin^2(C) = 2c^2*sin^2(C)。
可得出sin^2(C) = 1/2，即sin(C) = 1/sqrt(2)。
由此可得C的度数为45度，即角C为45度。
- 使用余弦关系证明：由余弦定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 -2ab*cos(C)。
如果角A为90度，那么cos(A) = 0，由此可得c^2 = a^2 + b^2。
同理，由角B为90度可得出c^2 = a^2 + b^2。
因此，c^2 = a^2 + b^2的等式成立。
- 使用正切关系证明：由正切定理，我们可以得到tan(A) = a/b和tan(B) = b/a。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
14．(2022·金华)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC
＝2 cm.把△ABC 沿 AB 方向平移 1 cm，得到△A′B′C′，连接 CC′，则 四边形 AB′C′C 的周长为 (8＋2 3) cm.
15．★如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 为△ABC 外一点，使∠DAC ＝∠BAC，E 为 BD 的中点．若∠ABC＝60°，则∠ACE＝ 30°.
第三节 等腰三角形与直 角三角形
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 A．3，4，5 B.2，3，4
C.4，6，7 D.5，11，12
(A )
2．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 AB 中点，DE⊥AC 于点 E，
∠A＝30°，AB＝12，则 DE 的长等于
( D)
A．6 B．5 C．4 D．3
16．(2022·龙东)△ABC 和△ADE 都是等边三角形．
(1)将△ADE 绕点 A 旋转到图①的位置时，连接 BD，CE 并延长相交于点 P(点 P 与点 A 重合)，有 PA＋PB＝PC(或 PA＋PC＝PB)成立(不需证明)； (2)将△ADE 绕点 A 旋转到图②的位置时，连接 BD，CE 相交于点 P，连接 PA，猜想线段 PA，PB，PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；
3．(2022·鞍山)如图，直线 a∥b，等边三角形 ABC 的顶点 C 在直线 b 上，
∠2＝40°，则∠1 的度数为
( D)
A．80° B.70° C.60° D.50°
4．(2022·绍兴)如图，把一块三角板 ABC 的直角顶点 B 放在直线 EF 上，
∠C＝30°，AC∥EF，则∠1 的度数为
第四章 第三节 等腰三角形与直角三角形
(2)性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
_____． 相等 (3) 判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的_______ _____上． 垂直平
分线
考点一等腰三角形的性质与判定 命题角度❶
(5年2考)
等腰三角形的性质与判定
例1 (2017·昌乐一模)在正方形网格中，网格线的
交点称为格点．如图是3×3的正方形网格，已知A， B是两格点，在网格中找一点C，使得△ABC为等腰直 角三角形，则这样的点C有( A．6个 B．7个 ) D．9个
第三节 等腰三角形与 直角三角形
知识点一 等腰三角形 1．等腰三角形：有_______相等的三角形叫做等腰三角形． 两条边
2．等腰三角形性质 (1)等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形的对称轴是底边 的___________． 垂直平分线 (2)等腰三角形的底边上的___、底边上的中线及顶角的_____ 高 平分 ___重合． 线 等腰三角形的两个底角_____． (3) 相等
则BC的长为____________．
17
【分析】 首先由旋转变换的性质得CD＝CB，运用勾股定理 求出AB的长度；再次运用勾股定理列出关于CB的方程，求 出CB即可．
【自主解答】 由题意得CD＝CB， 在Rt△ABD中，AB＝
2 2 BD AD 在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2＋AD2＝DC2，
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点B为 圆心，以相同的长(大于 1 AB)为半径作弧，两弧相交于点M
2 D，交BC于点E.若AC＝3，AB＝ 和点N，作直线MN交AB于点
5，则DE＝____ 15 ．
8
，AD＝
考点三 例4
直角三角形的性质
《能得到直角三角形吗》教案
能得到直角三角形吗●教学目标(一)教学知识点1.掌握直角三角形的判别条件.2.熟记一些勾股数.3.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用.(二)能力训练要求1.用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想.2.通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神.(三)情感与价值观要求1.通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望.2.通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在生活实际中的实用性.●教学重点直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
●教学难点用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.●教学方法引导启发法.教师通过介绍古埃及人作直角的方法启发引导学生通过已知数据作出三角形，并用测量的方法、探索、归纳用三角形三边关系判定直角三角形的条件.●教具准备一根有13个等距的结的绳子.投影片两张：第一张：例题(记作§1.2 A)；第二张：随堂练习(记作§1.2 B).●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课［师］下面我们来总结一下直角三角形有哪些性质.［生］直角三角形有如下性质：①有一个内角为直角；②两个锐角互余；③两条直角边的平方和等于斜边的平方.［生］在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半.［师］很好，反过来，一个三角形，满足什么条件就是直角三角形呢？［生］如果有一个内角是直角，它就是直角三角形.［生］如果有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.［师］我们可以注意到这些同学都是通过角的关系判定直角三角形的.前面，我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b，斜边c具有一定的数量关系即a2+b2=c2.我们是否也可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？Ⅱ.讲述新课1.古代埃及人作直角［师］其实，古代埃及人就曾用三角形三边的关系作出了直角.下面我们一同演示一下.我这儿有一根绳子，上面有13个等距的结，把这根绳子分成等长的12段.下面我让一个同学同时握住绳子的第(1)个和第(13)个结，再让两个同学分别握住绳子的第(4)个结和第(8)个结，(如下图所示)拉紧绳子，大家观察可以发现什么？［生］得到一个直角三角形，在第(4)个结处的角是直角.［师］我们再来看在第(1)个结到第(4)个结是3个单位长度即AC=b=3；同理BC=a=4；AB=c=5.因为32+42=52，所以a2+b2=c2.那么是不是三角形的三边满足a2+b2=c2，就可以得到一个直角三角形呢？我们不妨再找几组数试一试.2.做一做下面四组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7.(1)这四组数都满足a2+b2=c2吗？(2)分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？［师生共析］(1)52+122=169=132；72+242=625=252；82+152=289=172；52+62=61≠72.所以这四组数，前三组满足a2+b2=c2，而最后一组不满足.［师］以5，12，13这一组数为例，谁能告诉我如何作出以它们为边长的三角形呢？［生］作法：①作线段AB=5个单位长度；②分别以A、B为圆心，12个单位长度，13个单位长度为半径画弧，交于线段AB的同旁于一点C；③连结AC、BC.△ABC就是以5、12、13为边长的三角形.［师］很好.下面同学们就以小组为单位来完成第(2)小题.(让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组内交流，从而获得一个三角形是直角三角形三边的条件)［生］我们通过作三角形，测量三角形三个内角发现：前三组数满足a2+b2=c2，作出的三角形都是直角三角形；而后一组数不满足a2+b2=c2，作出的三角形不是直角三角形.［师］你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一边是斜边吗？哪一个角是直角吗？［生］前三组数中，较长的边是斜边，斜边所对的角是直角.［师］从“做一做”中你能猜想到什么结论呢？［生］如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.［师］刚才，我们只是从特例中猜想出来上面的结论.可能有的同学会产生疑虑，果真如此吗？下面我用前面的知识解释一下这个结论，大家就会知道，我们的猜想是正确的.已知：在△ABC中AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2.求证：∠c=90°证明：作△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，那么A′B′2=a2+b2(为什么？).由已知条件a2+b2=c2，可得A′B′2=c2，即A′B′=c.(A′B′＞0，c＞0)在△ABC和△A′B′C′中有BC=a=B′C′，CA=b=C′A′，AB=c=A′B′，则△ABC≌△A′B′C′.所以∠C=∠C′=90°.现在大家没有疑虑了吧.同时也明白了古埃及人那样做的道理.实际上，古代中国人也曾利用相似的方法得到直角.直至科技发达的今天——人类已跨入21世纪，建筑工地上的工人师傅们仍然离不开“三四五放线法”.“三四五放线法”是一种古老的规范操作.所谓“归方”，就是“做成直角”，譬如建造房屋，房角一般总是成90°，怎样确定房角的纵横两线呢？如下图，欲过基线MN上的一点C作它的垂线，可由三名工人操作：一人手拿布尺或测绳的0和12尺处，固定在C点；另一人拿4尺处，把尺拉直，在MN上定出A点；再由一人拿9尺处，把尺拉直，定出B点.于是连结BC，就是MN的垂线.建筑工人用了3，4，5作出了一个直角，能不能用其他的整数组作出直角呢？［生］可以.例如7，24，25；8，15，17等.［师］是的.如果三角形三条边满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.那么满足条件的勾股数有多少组呢？它们是如何形成的？我们的先人数学家刘徽和希腊数学家曾相继提出了表示所有勾股整数组的方法.下面我们来了解一下这方面的情况.3.读一读［师］同学们可以打开课本P11，阅读“读一读”——勾股数组与费马大定理.(读一读介绍了寻找勾股数组的一种方法以及由此引发的一个重要数学问题——费马大定理) 现在我们就来尝试验证其中提供的求勾股数组方法的合理性.即求证：m2－n2，m2+n2，2mn(m＞n，m，n是正整数)是直角三角形的三条边长.［师生共析］要证明它们是直角三角形的三边，首先应判断这三条线段是否组成三角形，然后再用勾股定理的逆定理即直角三角形的判定条件来判断它们是否是一个直角三角形的三边长.证明：m＞n，m、n是正整数.(m2－n2)+(m2+n2)=2m2＞2mn.即(m2－n2)+(m2+n2)＞2mn.又因为(m2－n2)+2mn=m2+n(2m－n)而2m－n=m+(m－n)＞0，所以(m2－n2)+2mn＞m2+n2，由此可知，这三条线段可组成三角形.又因为(m2－n2)2+(2mn)2=m4+4m2n2－2m2n2+n4=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2.则(m2－n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2.由直角三角形的判定条件，可知：这三条线段组成的三角形是直角三角形.［师］你能用这个方法找到5组勾股数吗？［生］可以，如下表m＞n m、n是正整数勾股数组m2－n2 2mn m2+n2m=2，n=1 3 4 5m=3，n=2 5 12 13m=4，n=3 7 24 25m=5，n=4 9 40 41m=3，n=1 8 6 10 …………下面我们利用直角三角形判定的条件来看几个例题.4.例题讲解出示投影片(§1.2A)［例1］一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角.工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析：这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子.解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此这个零件符合要求.Ⅲ.随堂练习1.(课本P11)下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.(1)9，12，15； (2)15，36，39；(3)12，35，36； (4)12，18，22.解：根据直角三角形的判定条件.(1)92+122=152；(2)152+362=392，所以(1)、(2)两组数可以作为直角三角形的三边；但(3)122+352≠362，(4)122+182≠322，所以(3)(4)两组数不能作为直角三角形的三边.2.(补充练习)出示投影片(§1.2 B)(1)判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形.解：因为a2+b2=100+64=164≠c2即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形.请问：上述解法对吗？为什么？(2)已知：在△ABC中，AB=13 cm，BC=10 cm，BC边上的中线AD=12 cm.求证：AB=AC.(1)解：上述解法是不对的.因为a=10，b=8，c=6，b2+c2=64+36=100=102=a2.即b2+c2=a2.所以由a，b，c组成的三角形两边的平方和等于等三边的平方，利用勾股定理的逆定理可知a，b，c可构成直角三角形，其中a是斜边，b、c是两直角边.评注：在解题时，我们不能简单地看两边的平方和是否等于第三边的平方，而应先判断哪一条边有可能作为斜边.往往只需看最大边的平方是否等于另外两边的平方和.(2)证明：根据题意，画出图形.AB=13 cm，BC=10 cm.AD是BC边上的中线—→BD=CD=5 cm.在△ABD中，AD=12 cm，BD=5 cm，AB=13 cm，AB2=169，AD2+BD2=122+52=169.所以AB2=AD2+BD2.则∠ADB=90°.∠ADC=180°－∠ADB=180°－90°=90°.在Rt△ADC中，AC2=AD2+CD2=122+52=132.所以AC=AB=13 cm.Ⅳ.课时小结这节课我们归纳推理出直角三角形判定条件，并用它去解决生活实际中的问题，最后我们还介绍了求勾股数组的方法.Ⅴ.课后作业1.课本P12，习题6.3；2.熟记几组常用的勾股数.Ⅵ.活动与探究给出一组式子：32+42=52，82+62=102，152+82=172，242+102=262(1)你能发现上面式子的规律吗？请你用发现的规律，给出第5个式子；(2)请你证明你所发现的规律.过程：观察式子，要注意这些式子中不变的形式，如等式两边每一项的指数为2，等式左边是平方和的形式，右边是一个数的平方.很显然，我们发现的规律一定是“( )2+( )2=( )2”的形式.然后再观察每一项与序号的关系.如32，82，152，242与序号有何关系，可知32=(22－1)2，82=(32－1)2，152=(42－1)2，242=(52－1)2；所以我们可推想，第一项一定是(n2－1)2.(其n＞1，n为整数).同理可得第二项一定是(2n)2，等式右边一定是(n2+1)2(其中n＞1，n为整数).(1)解：上面的式子是有规律的，即(n2－1)2+(2n)2=(n2+1)2(n为大于1的整数).第5个式子是n=6时，即(62－1)2+(2×6)2=(62+1)2化简，得352+122=372.(2)证明：左边=(n2－1)2+(2n)2=(n4－2n2+1)+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=右边.证毕.●板书设计§1.2 能得到直角三角形吗一、古埃及人作直角的方法二、做一做下面三组数能作出直角三角形吗？1.7，24，25；2.8，15，17；3.5，6，7；三、由特例猜想：直角三角形用边的关系来判定的条件：如果三角形三边长为a，b，c且满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.四、1.勾股数.2.求勾股数的方法：m2+n2，m2－n2，2mn(其中m＞n，m、n是正整数).3.读一读.五、例题(略)六、随堂练习。
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形性质与判定》教学设计
沪教版数学八年级上册19.3《直角三角形性质与判定》教学设计一. 教材分析《直角三角形性质与判定》是沪教版数学八年级上册第19章第三节的内容。
本节内容主要让学生掌握直角三角形的性质，包括勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用，以及直角三角形的判定方法。
这些内容对于学生理解数学的内在联系，培养学生的逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数、三角形的基本概念，并具有一定的几何图形的观察和分析能力。
然而，对于直角三角形的性质和判定，学生可能还存在着一定的理解困难，特别是勾股定理的应用和锐角三角函数的概念。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，逐步掌握直角三角形的性质和判定。
三. 教学目标1.理解直角三角形的性质，掌握勾股定理、锐角三角函数的概念及其应用。
2.学会运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力、交流能力和逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.勾股定理的理解和应用。
2.锐角三角函数的概念及其应用。
3.直角三角形的判定方法。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、操作、交流等活动，自主探索直角三角形的性质和判定。
2.运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，增强学生的直观感受。
3.采用分组合作学习的方式，培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.直角三角形的相关教具和学具。
3.教学课件和教学设计文档。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习实数、三角形的基本概念，引导学生回顾已学过的几何知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示直角三角形的图片，引导学生观察并思考直角三角形的特征。
然后，教师运用多媒体教学手段，展示直角三角形的性质和判定过程，让学生直观地感受和理解直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）教师学生进行分组合作学习，让学生运用直角三角形的性质和判定解决实际问题。
《能得到直角三角形吗》教案(3)
2、能得到直角三角形吗教学目标：知识目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用。
能力目标：用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想；通过对直角三角形判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神。
情感目标：通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望；通过对勾股定理逆定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣，克服困难的勇气；体验勾股定理及其逆定理在实际生活中的实用性。
教学重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可以用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形。
教学难点：用直角三角形的判别条件判断一个三角形是否为直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题。
教学准备：教师带一根有13个等距结的绳子，学生自带作图工具。
教学过程：一、故事引入（古埃及人作直角）古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结处。
（就古人的这种做法让学生实际操作一下）师：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？道理何在呢？二、做一做下面的三组数分别是一个直角三角形的三边长a,b,c：5，12，13；7，24，25；8，15，17；5，6，7。
（1）这三组数都满足a2+b2=c2吗？（2）分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？分析：（1）前三组数满足a2+b2=c2而最后一组不满足。
（2）以5，12，13这组数为例，由学生回顾已知三边如何作三角形。
（3）以小组为单位完成剩下的几组数。
（让学生亲自动手作三角形，并用量角器量出各个内角，然后小组交流，从而发现一个三角形是直角三角形三边条件）师：你能告诉我在你作出的直角三角形中，哪一条边是斜边？哪一个角是直角？（每组数中最长的那条边是斜边，斜边所对的角是直角。
人教版版中考数学大一轮培优：第4章 第3节 等腰三角形与直角三角形
A. 10
B. 4 5
C.10或 4 5
D.10或 2 17
第6题图
拓展训练 7. 如图,在直角△ABC中,∠C＝90°,AC＝6,BC＝8,P、Q分别为边BC、AB上的 两个动点,若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形,则
15 或 30 AQ＝__4____7__．
第7题图
考点特训营
___②__③__④_．(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＝∠CAD；③AB＋BD＝
AC＋CD；④AB－BD＝AC－CD
第1题图
变式改编
2. (1)如图,若AD是△ABC的边BC上的中线,由下列条件中的某一个就能推出 △ABC是等腰三角形的是____②__③__④(把所有的正确答案的序号都填在横线上) ①∠BAD＝∠ACD；②∠BAD＋∠B＝∠CAD＋∠C；③AB＋BD＝AC＋CD； ④AB－BD＝AC－CD. (2)如图,若AD是∠BAC的平分线,由下列条件中的某一个就 能推出△ABC是等腰三角形的是________②(把所有的正确答
例2题解图
(4)若Q为BA延长线上一点,△QBC为等腰三角形(Q点不与A点重合),则S△ACQ＝ __1_6__2___1_6_或 _1_6_．
(5)G为AB上一动点,则GD＋GC最小值为____4___5_；
(6)G为AB上一动点,过点G作GM∥BC,交AC于点M,分别过点G、M作 38
GP⊥BC,MN⊥BC,垂足分别为P、N.
8
①当GM＝____3____时,矩形GMNP为正方形； ②当GM＝____4____时,矩形GMNP面积最大,最大面积为_______8_．
例2题图
满分技法
特殊三角形中的分类讨论： 1.等腰三角形中的分类讨论思想主要有： (1)边：是腰还是底边； (2)角：是顶角还是底角； (3)三角形：是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； (4)若已知底边的中点,则可连接中线或作底边上的高,利用三线合一解题． 2．直角三角形中的分类讨论思想主要是题目中未指定哪个角是直角时,则需讨 论各个角是直角的情况.
直角三角形三角形的判定
直角三角形三角形的判定直角三角形是指一个三角形中，其中一个角为90度的三角形。
判定一个三角形是否为直角三角形，通常有以下几种方法。
方法一：三边关系判定法对于一个三角形ABC，若满足以下条件之一，则可以判定为直角三角形：1. 边长关系：若边长满足a^2 + b^2 = c^2，则为直角三角形，其中a、b、c分别为三角形的三条边长。
2. 角度关系：若满足角A、B、C中的任意一个角为90度，则为直角三角形。
方法二：勾股定理判定法勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
根据勾股定理，对于一个三角形ABC，若满足以下条件，则可以判定为直角三角形：1. 若满足a^2 = b^2 + c^2，则为直角三角形，其中a、b、c分别为三角形的三条边长。
2. 若满足b^2 = a^2 + c^2，则为直角三角形。
3. 若满足c^2 = a^2 + b^2，则为直角三角形。
方法三：角度关系判定法对于一个三角形ABC，若满足以下条件，则可以判定为直角三角形：1. 若满足角A为90度，则为直角三角形。
2. 若满足角B为90度，则为直角三角形。
3. 若满足角C为90度，则为直角三角形。
需要注意的是，以上方法只是判定直角三角形的一种方式，判定前需要确定三个角度是否为三角形的内角，并且三条边的长度满足三角形不等式定理。
此外，还应注意数字计算的精确性，以避免由于计算误差导致的判定错误。
总结起来，判定一个三角形是否为直角三角形可以通过三边关系、勾股定理和角度关系三种方法进行判定。
在实际应用中，可以根据提供的条件选择合适的方法进行判定。
同时，在使用计算机进行判定时，可以利用编程语言中的数学函数和判断语句来实现直角三角形的判定。
第三节等腰三角形与直角三角形
第三节等腰三角形与直角三角形,河北8年中考命题规律)等边三角形的相关计算(2次)1．(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝∠50°，则∠1＋∠2＝( ) A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°(第1题图)(第2题图)2．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为________cm .直角三角形的相关计算(3次)3．(2011河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D 、E 分别在AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )A .12B ．2C ．3D ．4 (第3题图)(第4题图)4．(2012河北14题3分)如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，∠A 等于______． 5．(2008河北18题3分)如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图(2)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是________．(第5题图)(第6题图)6．(2015唐山丰润区二模)如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 等于( )A .32B . 3C ．2 3D .127．(2015秦皇岛模拟)已知：一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为________．8．(2015唐山滦县一模)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为______． 9．(2015唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角________(即∠B ＝________)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；三边相等的三角形是等边三角形(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于________(即∠A ＝∠B ＝∠C ＝________)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝12BC ·AD(1)三边都相等的三角形是等边三角形；直角三角形的性质与判定(高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．3 有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形(1)直角三角形的两个锐角之和等于______；(2)直角三角形斜边上的____等于斜边的一半(即BD ＝12AC)；(3)直角三角形中________角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB ＝12AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2； (5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°4.等腰三角形的相关计算【例1】如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且∠DBC ＝15°，则∠A ＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】1．(2014扬州中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝()A．3B．4C．5D．6,(第1题图)),(第2题图)) 2．(2015舟山中考)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，已知∠ADE＝40°，则∠DBC ＝________．直角三角形的相关计算【例2】(2015宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD＝4，CD＝2，则AB的长是________．,(例2题图)),(例2题解图)) 【解析】如解图，过D作DE⊥AB，∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝2，在Rt△BDE中，DE＝2，BD＝4，∴∠B＝30°，在Rt△ABC中，BC＝CD＋BD＝6，∴AC＝63＝23，∴AB＝23·2＝4 3.【学生解答】3．(2015吉林中考)如图，△ABC中，∠C＝45°，点D在AB上，点E在BC上．若AD＝DB＝DE，AE＝1，则AC的长为()A. 5 B．2 C. 3 D. 24．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BC ＝2，则AC 的长为( )A . 3B ．1C . 2D ．2,中考备考方略)1．(2015秦皇岛二模)若实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A ．12 B ．16 C ．16或20 D ．202．(2014滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A ．4，5，6 B ．1.5，2，2.5 C ．2，3，4 D ．1，2，3 3．(2015秦皇岛11中模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A .3B ．2C ．3D .3＋2(第3题图)(第4题图)4．(2015沧州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，AD 、CE 分别是边BC 、AB 上的高，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 相交于点O ，若∠B ＝60°，则∠AOE 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．70°D ．80°5．(2015保定中考)在△ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，则△ABC 的周长为( ) A ．32 B ．42C ．40或42D ．32或426．(2015枣庄中考)如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A .12B ．1C .72D ．7 (第6题图)(第7题图)7．(2015吉林中考)如图，△ABC 中，∠C ＝45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上，若AD ＝DB ＝DE ，AE ＝1，则AC 的长为( )A . 5B ．2C . 3D . 28．(2015聊城中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，若AB ＝6，则点D到AB 的距离是________．(第8题图)(第9题图)9．(2015陕西中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．(2014德阳中考)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处，如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．11．(2015资阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G.现有以下结论：①AB ＝2；②当点E与点B 重合时，MH ＝12；③AF ＋BE ＝EF ；④MG·MH ＝12.其中正确结论为( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④(第11题图)(第12题图)12．(2015苏州中考)如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE.若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为________．13．(2015北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.14．(2014承德2中模拟)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH.(1)求sin B的值；(2)如果CD＝5，求BE的长．15．(2015菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如下图，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如下图，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．。
直角三角形判定定理
直角三角形判定定理
由3条有限的直线首尾互相连接的图形，内部有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
直角三角形的判定方法：
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：若a²+b²=c²的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定3：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定4：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
判定5：证明直角三角形全等时可以利用HL ，两个三角形的斜边长对应相等，以及一个直角边对应相等，则两直角三角形全等。
[定理：斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。
简称为HL]判定6：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则这两直线垂直。
判定7：在一个三角形中若它一边上的中线等于这条中线所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形。
2019-2020年八年级数学上册 第一章 勾股定理教学分析与建议 北师大版
2019-2020年八年级数学上册第一章勾股定理教学分析与建议北师大版一、主要内容勾股定理在数学的发展历史上起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学的、文化的内涵。
它是几何学中的重要的定理之一。
教材为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的素材和空间，教学中要使学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程教材的设计过程中，希望学生能够利用方格纸探索勾股定理内容，并且能利用拼图验证勾股定理，再次就是通过测量获得勾股定理的逆定理教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理及其逆定理的应用，体现其文化价值。
当然限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理的理解和应用，不追求复杂计算。
二，评价建议1，关注对探索勾股定理等活动的评价。
一方面要关注学生是否积极参与，是否能与同伴进行有效合作交流；另一方面也要关注学生在活动中能否进行积极的思考，能否探索出解决问题的方法，是否能够进行积极的思考，在活动中学生所表现出的归纳，概括能力，学生是否能够有条理地表达活动过程和所获得的结论等。
2，关注考查对勾股定理及其逆定理的理解和应用。
注意评价时，不应以复杂运算为主，我们应更另关注学生对有关结论的正确使用。
三、教学目标l．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。
4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
四、教材特点勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。
勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 第三节 等腰三角形与直角三角形
1．(2022·湖州)如图，已知在锐角三角形ABC中，AB＝AC，AD是△ABC
的角平分线，E是AD上一点，连接EB，EC.若∠EBC＝45°，BC＝6，则△
EBC的面积是
（ B）
A．12
B．9
C.6
ห้องสมุดไป่ตู้
D．3 2
重难点2：与直角三角形有关的证明与计算 如图①，图②，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD，AE分别是BC边上
分别航行12海里和16海里，1 h后两船分别位于点A，B处，且相距20海
里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北北偏东偏5东0 °方向
航行．
50°
重难点 1：与等腰三角形有关的证明与计算 如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 为 BC 上一点，E 为 AC 上一点．
(1)如图①，若∠BAC＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B 的度数为
第三节 等腰三角形与直 角三角形
【考情分析】等腰三角形、直角三角形在选择题、填空题中主要考查： ①利用性质求角度；②求线段长度或取值范围；③在坐标系中求点的坐 标；④利用勾股定理及直角三角形的性质进行相关计算．在解答题中大 多结合二次函数或圆，探究等腰三角形的形状或利用等腰三角形的性质 解决存在性探究问题、直角三角形的探究问题．
是
（A ）
A．30，40，50
B．7，12，13
C．5，9，12
D．3，4，6
5．(2022·贺州第6题3分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56
°，则∠A的度数为
（ A）
A．34°
B.44°
C．124°
D．134°
6．(2022·梧州第16题3分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分 别是AB，AC边上的中点，连接CD，DE.如果AB＝5 m，BC＝3 m，那么CD ＋DE的长是44 m.
证明直角三角形的方法
证明直角三角形的方法
直角三角形是指一个三角形中有一个角是90度的三角形。
证明一个三角形是
直角三角形的方法有很多种，下面我们将介绍几种常用的方法。
首先，我们可以使用勾股定理来证明一个三角形是直角三角形。
勾股定理是指
在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
如果我们已知一个三角形的三条边的长度，我们可以计算出这个三角形的每条边的平方，然后判断是否满足勾股定理，如果满足，则可以证明这个三角形是直角三角形。
其次，我们可以使用角平分线定理来证明一个三角形是直角三角形。
角平分线
定理是指如果在一个直角三角形中，角的平分线与斜边相交，那么这个三角形是等腰三角形。
通过证明一个三角形是等腰三角形，我们可以进一步证明这个三角形是直角三角形。
另外，我们还可以使用正弦定理和余弦定理来证明一个三角形是直角三角形。
正弦定理和余弦定理是在任意三角形中成立的定理，通过这两个定理，我们可以计算出三角形的角度，从而判断这个三角形是否是直角三角形。
除了以上方法，我们还可以使用相似三角形的性质来证明一个三角形是直角三
角形。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形，通过相似三角形的性质，我们可以推导出一个三角形是直角三角形的结论。
总结一下，证明一个三角形是直角三角形的方法有很多种，我们可以根据具体
情况选择合适的方法来进行证明。
在实际问题中，我们可以结合多种方法来进行证明，以确保证明的准确性和可靠性。
希望以上介绍的方法能够帮助大家更好地理解和应用直角三角形的性质。
初中数学教学课例《初二上册第一章勾股定理第三课时一定是直角三角形吗》教学设计及总结反思
能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角
三角形。
2.过程与方法：通过对勾股定理的逆定理的探索，
经历知识的发生、发展与形成的过程；通过用三角形三
教学目标 边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形结合方
法的应用。
3.情感态度：通过用三角形三边的数量关系来判断
三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆
初中数学教学课例《初二上册第一章勾股定理第三课时一定 是直角三角形吗》教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《初二上册第一章勾股定理第三课时一定是直角
称
三角形吗》
教材分析
本节课重点是：勾股定理逆定理的应用； 难点是：勾股定理逆定理的证明
1.知识技能：理解勾股定理的逆定理的证明方法并
能证明勾股定理的逆定理；掌握勾股定理的逆定理，并
进而达到完善学生的数学认识结构的目的。所以教学过
程如下：
（一）、复习回顾:复习回顾与勾股定理有关的内
教学过程 容，建立新旧知识之间的联系。
（二）、创设问题情境。
（三）、学生在教师的指导下尝试解决问题，总结
规律（包括难点突破）；
（四）组织变式训练；
（五）归纳小结，纳入知识体系;
（六）作业布置。
课例研究综
易想到。。
由于经验不足，本节课主要采用的是讲授法，以教
教学策略选 师为主导讲解，但学生基础不是太好，而且又爱装牛角
择与设计 尖，所以上起来比较累，所以以后要根据学生具体情况
而定教法。
本节课的设计原则是：使学生在动手操作的基础上
和构之间筑了一个信息流通渠道，
为贯彻实施素质教育提出的面向全体学生，使学生
述
全面发展主动发展的精神和培养创新活动的要求，根据
数学人教版八年级上册《第三节 直角三角形的性质》
数学人教版八年级上册《第三节直角三角形的性质》直角三角形是初中数学中比较重要的概念之一，它具有一些独特的性质。
本文将介绍《数学人教版八年级上册》第三节《直角三角形的性质》，包括直角三角形的定义、勾股定理、特殊的直角三角形以及与直角三角形相关的一些例题和应用。
通过学习本节内容，读者将能够更好地理解和运用直角三角形的性质。
直角三角形是指一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，有一个特殊的定理，被称为勾股定理。
勾股定理表明，在直角三角形中，直角边的平方等于其他两条边平方的和。
例如，在一个直角三角形中，较短的直角边为3，较长的直角边为4，那么斜边的长度可以通过勾股定理计算得出，即斜边的长度为5。
勾股定理是直角三角形的重要性质，我们可以通过它解决一些实际问题，比如测量不可直接测量的距离或确定物体之间的距离和角度关系。
除了勾股定理，直角三角形还有一些特殊的性质。
我们先来看一下等腰直角三角形。
等腰直角三角形是指两条直角边长度相等的直角三角形。
在等腰直角三角形中，斜边的长度可以通过直角边的长度计算得出，即斜边长度为直角边长度的平方根乘以2。
比如，如果等腰直角三角形的直角边长为3，那么斜边的长度可以通过计算√3^2+3^2得出，即斜边的长度为3√2。
另一个特殊的直角三角形是45度角三角形。
45度角三角形是指一个角为45度的直角三角形。
在45度角三角形中，两条直角边长度相等，即两条直角边的长度均为斜边长度的平方根。
比如，如果45度角三角形的斜边长度为2，那么两条直角边的长度也为2的平方根。
45度角三角形经常在实际问题中出现，比如在建筑和几何图形设计中的应用。
了解了直角三角形的基本性质和特殊情况后，我们来看一些与直角三角形相关的例题和应用。
通过解答这些问题，我们可以更深入地理解直角三角形的性质。
例如，题目如下：已知一个直角三角形的直角边为3，斜边为5，求另一直角边的长度。
解答：根据勾股定理，直角边的长度可以通过计算√5^2-3^2得出，即直角边的长度为4。
鲁教版五四制上册数学第三章 勾股定理 一定是直角三角形吗
11．下列各组数为勾股数的是___①_____． ①6，8，10；②7，8，10；③35，45，1.
易错总结：首先要注意到勾股数必须是一 组正整数，其次要满足两个较小数的平方 和等于最大数的平方．本题易误认为③也 是勾股数．实际上，正确答案只有①.
12．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，求： (1)四边形ABCD的面积；
【点拨】由题意得 S1＋S2＝S3，即12π12BC2＋ 12π12AC2＝12π12AB2，所以18BC2＋18AC2＝18 AB2.所以 BC2＋AC2＝AB2.所以∠ACB 为直 角．所以△ABC 为直角三角形．
2．阅读以下解题过程： 已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，
(2)如图②，当∠α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2 时，求∠BPC的度数．
解：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三 角形，所以∠CDP＝45°.易证△CPB≌△CDA， 所以∠BPC＝∠ADC，AD＝1.所以AD2＋DP2＝ AD2＋(CD2＋CP2)＝9.因为AP2＝9， 所以AD2＋DP2＝AP2.所以∠ADP＝90°. 所以∠ADC＝135°.所以∠BPC＝135°.
5．如图，在5×5的正方形网格中，从在格点
上的点A，B，C，D中任取三点，所构成
的三角形恰好是直角三角形的个数为( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
D
【点拨】因为从点A，B，C，D中任取 三点能组成三角形的一共有4个，其中 △ABD，△ADC，△ABC是直角三角形．故选D.
6．已知△ABC的三边长分别为5，12，13，则 △ABC的面积是( ) A
试判断△ABC的形状． 错解：因为a2c2－b2c2＝a4－b4，① 所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)，② 所以c2＝a2＋b2.③ 所以△ABC为直角三角形．④ (1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代
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学习目标：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用
学习重点：探索并掌握直角三角形的判别条件
一、自主探究：（自学课本）
1、有一个角为＿＿＿＿的三角形是直角三角形。
2、在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是＿＿＿＿三角形
3、在△ABC中，若∠A－∠B＝∠C，则△ABC是＿＿＿＿三角形
4、在△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是＿＿＿＿三角形。
5、在△ABC中，a=3,b=4,c=5则△ABC是＿＿＿＿三角形.。
为什么？
二、重点研讨：
1、设三角形的三边分别等于下列各组数：则下所组成的三角形是直角三角形吗？
①6，8，10 ②7，24，25 ③12，35，37 ④13，11，10⑤0.3，
0.4，0.5
⑦.a∶b∶c=3∶4∶5⑧a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（其中m，n为
⑥111
,,
345
正整数，且m＞n）
2、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫勾股数。
三、巩固训练
1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（）
A 5cm，12cm，13cm
B 5cm，8cm，11cm
C 5cm，13cm，11cm
D 8cm，13cm，11cm
2、⊿ABC中，如果三边满足关系2
BC=2
AC，则⊿ABC的直角是（）
AB+2
A ∠C
B ∠A
C ∠B
D 不能确定
3、.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A.b2=c2－a2
B.a∶b∶c=3∶4∶5
C.∠C=∠A－∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
4、下列所给数据中，勾股数有（）
①3、4、5②9、12、15③0.3、0.4、0.5④6、7、8⑤0.6、0.8、1
A1组B2组C3组D4组
四、延伸迁移
一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？
D
A
五、课堂小结
本节课我们学习了判断三角形是直角三角形的方法：可以从＿＿＿方面来判断，也可从＿＿＿来判断。
在书写判断过程时应注意哪些问题？
六、课堂检测：
1. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）
8，15，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（）
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
2、将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，
12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数, , .
3. 三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）
A．a:b:c=8∶16∶17B．a2-b2=c2
C．a2=(b+c)(b-c)D．a:b:c=13∶5∶12
4、如图：我想检验∠A是否为直角，但手里只有一个卷尺，我该如何检验？
A
D
C
5、如图1－12，在四边形ABCD中，∠C是直角，AB＝13，BC＝4，CD＝3，AD＝12，求证：AD⊥BD．。