数字信号处理课后习题答案

数字信号处理（姚天任江太辉）第三版
课后习题答案
第二章
2.1 判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x(n)=Acos(6
85ππ+n ) （2）x(n)=)8(π-n
e
j
（3）x(n)=Asin(3
43π
π+n )
解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，得出=ω85π。

因此5
16
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=
)5(165
16
取k k =。

（2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[ωσj +]n,得出8
1=
ω。

因此πωπ
162=是无理数，所以不是
周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(ϕω+n )，又x(n)=Asin(343ππ+n )＝Acos(-2π3
43ππ-n )
＝Acos(6143-n π)，得出=ω43π。

因此3
8
2=ωπ是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=
)3(83
8
取k k = 2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

解 利用线性卷积公式
y(n)=
∑∞
-∞
=-k k n h k x )()(
按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。

(a) y(0)=x(O)h(0)=1
y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3
y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n ≥2 (b) x(n)=2δ(n)-δ(n-1)
h(n)=-δ(n)+2δ(n-1)+ δ(n-2)
y(n)=-2δ(n)+5δ(n-1)= δ(n-3) (c) y(n)=
∑∞
-∞
=--k k
n k n u k u a
)()(=
∑∞
-∞
=-k k
n a
=a
a n --+111u(n) 2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=λ
n
u(n)*u(n)
解：(1) y(n)=
∑∞
-∞
=-k k n u k u )
()(
=
∑∞
=-0
)()(k k n u k u =(n+1),n ≥0
即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=∑∞
-∞=-k k k n u k u )()(λ
=∑∞
=-0
)()(k k
k n u k u λ
=λ
λ--+111
n ,n ≥0
即
y(n)=
λ
λ--+111
n u(n)
2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h 1(n)和h 2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h 1(n)=δ(n)-δ(n-4), h 2(n)=a n
u(n),|a|<1,求系统的输出y(n). 解 ω(n)=x(n)*h 1(n)
=
∑∞
-∞
=k k u )([δ(n-k)-δ(n-k-4)]
=u(n)-u(n-4)
y(n)=ω(n)*h 2(n)
=
∑∞
-∞=k k
k u a )([u(n-k)-u(n-k-4)]
=
∑∞
-=3
n k k
a
,n ≥3
2.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a n
-u(-n),0<a<1 用直接计算线性卷积的方法，求系统
的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明 （1）交换律
X(n) * y(n) =
∑∞
-∞
=-k k n y k x )()(
令k=n-t,所以t=n-k,又-∞<k<∞,所以-∞<t<∞,因此线性卷积公式变成 `
x(n) * y(n) =
∑∞
-∞
=---t t n n y t n x )]([)(
=
∑∞
-∞
=-t t y t n x )()(=y(n) * x(n)
交换律得证. (2)结合律 [x(n) * y(n)] * z(n)
=[
∑∞
-∞=-k k n y k x )()(] * z(n)
=
∑
∞
-∞=t [
∑∞
-∞
=-k k t y k x )()(]z(n-t)
=
∑∞
-∞=k x(k) ∑
∞
-∞
=t y(t-k)z(n-t)
=∑∞
-∞
=k x(k)
∑
m
y(m)z(n-k-m)
=∑
∞
-∞
=k x(k)[y(n-k) * z(n-k)]
=x(n) * [y(n) * z(n)]
结合律得证. (3)加法分配律 x(n) * [y(n) + z(n)]
=
∑
∞
-∞=k x(k)[y(n - k) +z(n - k)]
=
∑
∞
-∞
=k x(k)y(n-k)+
∑
∞
-∞
=k x(k)z(n - k)
=x(n) * y(n) + x(n) *z(n)
加法分配律得证.
2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明 (1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[
32πn+6
π] (3)y(n)=
∑∞
-∞
=k k x )( (4)y(n)= ∑=n
n k k x 0
)(
(5)y(n)= x(n)g(n)
解 （1）设y 1(n)=2x 1(n)+3,y 2(n)=2x 2(n)+3,由于 y(n)=2[x 1(n)+x 2(n)]+3 ≠y 1(n)+ y 2(n)
=2[x 1(n)+x 2(n)]+6 故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而
y(n-k) = T[x(n-k)]
故该系统是非移变系统。

设|x(n)|≤M ，则有
|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞
故该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（2）设 y 1(n)=ax 1(n)sin[
3
2πn+6π]
y 2(n)=bx 2(n)sin[3
2π
n +6π]
由于 y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]
=[ax 1(n)+bx 2(n)]sin[3
2πn+6π
] =ax 1(n)sin[
32πn+6π]+bx 2(n)sin[3
2πn+6π
]
=ay 1(n)+by 2(n)
故该系统是线性系统。

由于 y(n-k)=x(n-k)sin[
3
2π
(n-k)+6π]
T[x(n-k)]=x(n-k)sin[3
2πn+6π
]
因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。

设 |x(n)|≤M ，则有
|y(n)|=|x(n)sin[
3
2π
(n-k)+6π]|
=|x(n)|| sin[3
2π
(n-k)+6π]|
≤M|sin[3
2π
(n- k)+6π]|≤M
故系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（3）设 y 1(n)=
∑-∞
=n k k x )(1
，y 2(n)=∑-∞
=n
k k x )(2
，由于
y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=
∑-∞
=+n
k k k )](bx )(ax [2
1
=a
∑-∞
=n
k k x )(1
+ b ∑-∞
=n
k k x )(2
=ay 1(n)+by 2
(n)
故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=
∑--∞
=t n k k x )(= ∑-∞
=-n
m t m x )(
=T[x(n-t)]
所以该系统是非移变系统。

设 x(n)=M<∞ y(n)=
∑-∞
=n
k M =∞，所以该系统是不稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（4）设 y 1(n)=
∑=n
n k k x 0
1
)( ，y 2(n)=∑=n
n k k x 0
2
)(，由于
y(n)=T[ax 1(n)+ bx 2(n)]=
∑=+n
n k k k 0
2
1
)](bx )(ax [
= a
∑=n
n k k x 0
1
)(+b ∑=n
n k k x 0
2
)(=ay 1(n)+by 2
(n)
故该系统是线性系统。

因 y(n-k)=
∑-=t n n k k x 0
)(= ∑+=-n
t
n m t m x 0)(
≠T[x(n-t)]=
∑=-n
n k t m x 0
)(
所以该系统是移变系统。

设x(n)=M,则lim n →∞
y(n)= lim n →∞
(n-n 0)M=∞,所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若n ≥n 0。

则该系统是因果系统；若n<n 0。

则该因果系统是非因果系统。

(5)设y 1(n)=x 1(n)g(n),y 2(n)=x 2(n)g(n),由于 y(n)=T[ax 1(n)+bx 2(n)]=(ax 1(n)+bx 2(n))g(n) =ax 1(n)g(n)+b 2(n)=ay 1(n)+by 2(n)
故系统是线性系统。

因y(n-k)=x(n-k),而
T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k) 所以系统是移变系统。

设|x(n)|≤M<∞,则有
|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)| 所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。

因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8 讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性
（1）h(n)=2n
u(-n) (4) h(n)=(12
)n
u(n) (2) h(n)=-a n
u(-n-1) (5) h(n)=
1
n
u(n) (3) h(n)=δ(n+n 0), n 0≥0 (6) h(n)= 2n
R n u(n) 解 （1）因为在n<0时，h(n)= 2n
≠0,故该系统不是因果系统。

因为S=
n ∞
=-∞
∑
|h(n)|=
n ∞
=∑
|2n
|=1<∞，故该系统是稳定系统。

(2) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=
n ∞
=-∞
∑|h(n)|=
1
n -=-∞
∑| a n
|=
n ∞
=∞
∑
a
n
-，故该系统只有在|a|>1时才是稳定系统。

(3) 因为在n<O 时，h(n) ≠0，故该系统不是因果系统。

因为S=n ∞
=-∞∑|h(n)|=
n ∞
=-∞
∑
|δ(n+n 0)|=1<∞，故该系统是稳定系统。

(4) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=
n ∞=-∞
∑
|h(n)|=
n ∞
=∑
|(
12
)n
|<∞，故该系统是稳定系统。

(5) 因为在n<O 时，h(n)=
1
n
u(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=
n ∞
=-∞
∑|h(n)|=
n ∞
=-∞
∑
|1n u(n)|= 0
n ∞
=∑1n =∞，故该系统不是稳定系统。

(6) 因为在n<O 时，h(n)=0，故该系统是因果系统 。

因为S=
n ∞
=-∞
∑
|h(n)|=
1
N n -=∑
|2n |=2N
-1<∞，故该系统是稳定系统。

2.9 已知y(n)-2cos βy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=1,求证y(n)=sin()
sin n ββ
证明 题给齐次差分方程的特征方程为
α2-2cos β·α+1=0
由特征方程求得特征根
α1=cos β+jsin β=e j β,α
2
=cos β-jsin β= e
j β
-
齐次差分方程的通解为
y(n)=c 1α
1
n +c 2
α
2
n =c 1e
j n
β+c 2e
j n
β-
代入初始条件得
y(0)=c
1+c
2
=0
y(1)= c
1e j nβ+c
2
e j nβ
-=1
由上两式得到
c 1=
1
j n j n
e e
ββ
-
-
=
1
2sinβ
，c
2
=- c
1
=-
1
2sinβ
将c
1和c
2
代入通解公式，最后得到
y(n) =c
1
e j nβ+c
2
e j nβ
-=
1
2sinβ
( e j nβ+ e j nβ
-)=
sin()
sin
n
β
β
2.10 已知y(n)+2αy(n-1)+β(n-2)=0,且y(0)=0,y(1)=3,y(2)=6,y(3)=36,求y(n) 解首先由初始条件求出方程中得系数a和b
由
(2)2(1)(0)660
(3)2(2)(1)361230 y ay by a
y ay by a b ++=+=
⎧
⎨
++=++=⎩
可求出a=-1,b=-8 于是原方程为
y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0
由特征方程α2－2α－8＝0求得特征根α
1
＝4 ，α2＝-2
齐次差分方程得通解为
y(n)=c
1α
1
n+c
2
α
2
n= c
1
4n+c
2
(-2n)
代入初始条件得
y(n)= c
1α
1
+c
2
α
2
= 4α1+2α2=3
由上二式得到
c 1＝
1
2
，c
2
＝－
1
2
将c
1和c
2
代入通解公式，最后得到
y(n)=c
1
α
1
n+c
2
α
2
n＝
1
2
[4n-(-2) n]
2.11 用特征根法和递推法求解下列差分方程：
y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y(1)=1 解由特征方程α2－α－1＝0求得特征根
α
1＝
15
2
+
，α2＝
15
2
-
通解为y(n)=c 1α1
n +c 2
α
2
n ＝c 1（
152+）n ＋c 2（152
-）n
代入初始条件得 求出
c 1=
1525+，c 2=15
25
- 最后得到通解
y(n)= c 1(
1525+)n + c 2(1525
-)n
=
15[(1525+)1n +-(1525
-)1n +] 2.12 一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应
解 由图可知
＋
x -1
ß
x(n)
y(n)=x(n)+ βy(n-1)
为求单位取样响应，令x(n)=δ(n),于是有
h(n)= δ(n)+ βh(n-1)
由此得到
h(n)=
()
1n D
δβ-=βn
u(n)
阶跃响应为
y(n)=h(n)*u(n)=
n
k =∑
β
k
y(k)u(n-k)
=111n ββ
+--u(n) 2.13 设序列x(n)的傅立叶变换为X(e jw
),求下列各序列的傅立叶变换
解 （1）F[ax 1(n)+bx 2(n)]=aX 1(e jw
)+bX 2(e
jw
)
(2)F[x(n-k)]=e jwk
-X(e
jw
) (3)F[e
0jw n
x(n)]=X[e
0()
j w w -]
(4)F[x(-n)]=X(e
jw
-) (5)F[x *
(n)]=X *
(e
jw
-) (6)F[x *
(-n)]= X *
(e jw
)
(7)
(8)jIm[x(n)]=12
[X(e jw )-X *(e jw -)] (9)
12π
X(e j θ)*X(e jw
) (10)j ()jw dx e dw
2.14 设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-12y(n-1)=x(n)+ 1
2
x(n-1) (1) 求该系统的单位取样响应h(n) (2) 用（1）得到的结果求输入为x(n)＝e jwn
时系统的响应
(3) 求系统的频率响应 (4) 求系统对输入x(n)=cos(
2πn+4
π
)的响应 解 （1）令X （n ）=δ(n),得到
h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+ δ(n-1)/2
由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出 h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+ δ(n-1)/2 ,n ≥0 递推计算出
h(-1)=0
h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1 h(1)=h(0)/2+1/2=1
h(2)=h(1)/2=1/2 h(3)=2
1h(2)=(2
1)2 h(4)= 21h(2)=(21)3 ． ．
．
h(n)=δ(n)+ (2
1)n-1u(n-1) 或 h(n)= (2
1)n [u(n)-u(n-1)]
也可将差分方程用单位延迟算子表示成
(1-D)h(n)=(1+D)δ(n)
由此得到
h(n)=[(1+2
1D)/(1-2
1D)]δ(n) =[1+D+2
1D 2+ (2
1)2 D 3+…+(2
1)k-1 D 3+…] δ(n) =δ(n)+ δ(n-1)+ 2
1δ(n-2)+2
1δ(n-3)+... +(2
1)k-1δ(n-1)+… =δ(n)+ (2
1)n u(n-1)
2）将jwn e n X =)(代入)(*)()(n h n x n y =得到
（3）由（2）得出 （4）由（3）可知
故：
()()()[]
⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡++=21arctan 242
cos arg 42cos ππππn e H n e H n y jw jw
2.15 某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-ay(n-1)=x(n)-bx(n-1)
试确定能使系统成为全通系统的b 值（b ≠a ），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率ω无关的常数的系统。

解：令
x(n)= (n),则
h(n)=ah(n-1)=(n)-b8(n-1) 或
h(n)=ah(n-1)+ (n)- (n-1),n ≥0
由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出： h(-1)=0 h(0)=1
h(1)=ah(0)-b (0)=a-b
h(2)=ah(1)=-ab
h(3)=ah(2)=- b
h(n)=ah(n-1)=-b,n ≥0
h(n)=
u(n)-bu(n-1)
或系统的频率特性为
H(
)=
=
=
= 振幅的特性平方
=
=
=
=
若选取a ＝*1b 或b ＝*1a ，则有|H(e jw )|2=|b|2
,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故
该系统为全通系统。

2.16 (1)一个线性非移变系统的单位冲激响应为h(n)=a n
u(n),其中a 为实数，且0<a<1。

设输入为x(n)=
β n u(n), β为实数，且0<β<1.试利用线性卷积计算系统的输出y(n),并将结果写成下列形式
y(n)=(k 1a n
+k 2
β
n
)u(n)
(2)分别计算x(n)、h(n)和（1）中求得的y(n)的傅立叶变换X(e
jw
)、H(e
jw
)、Y(e
jw
)，并证明
Y(e
jw
)=H(e
jw
)X(e
jw
)
解 (1)y(n)=
∑∞
-∞=-k k n x k h )()(
=
∑∞
-∞
=--k k
k n u k u a
)()(1β
=∑∞
-∞
=--k k
a )(11
ββ=1
1111]
)(1[-+----αβαββn =-1
111+---n ααββ+11
11----βαβ
β，n ≥0 y(n)=(
n αβα-1-n ββ
β
-1)u(n)
(2)X(iw
e )=ωγβi n e -∞
=∑0
=-ω
βj e --11
H(e
ω
j )=ωγαi n e -∞
=∑0=
ω
αj e
--11
Y(e
ω
j )=∑∞
=---
-0
)(
n j n n e ωββ
αβαβ
αα
=
βα-1(ω
ααj e --1-n
j e
ββαβω--) 由于
βα-1(ωααj e --1-ω
ββj e --1) =
)
1)(1(1ωωβαj j e
e ----=X(e ωj )H(e ω
j ) 故得出 Y(e jw )=H(e jw )X(e jw )
2.17 令x(n)和X(e
jw
)分别表示一个序号及其傅立叶变换，证明：
此式是帕塞瓦尔（Parseval ）定理的一种形式。

证明：证法一
2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T 表示取样周期，假设T 很小，足以防止混叠失真，把从x α(t)到y α(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。

（1）如果数字滤波器h （n ）的截止频率ω等于8
πrad ，
1
T
＝10kHz ，求整个系统的截止频率ac f ，并求出理想低通滤波器的截止频率c f
（2）对
1
T
＝20kHz ，重复（1）的计算 解 理想低通滤波器的截止频率T
π
（弧度/秒）折合成数字域频率为π（弧度），它比数字滤波器h （n ）的截
止频率8π（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率8
π
（弧度）来决定。

将其换算
成实际频率，即将s f ＝
1
T
＝10000Hz 带入
28ac s f f ππ=，便得到 ac f ＝625 Hz
理想低通滤波器的截止频率
T
π
（弧度/秒）换算成实际频率使得到c f ，即由
T
π＝2πc f ，得到
ac f ＝
12T =100002
=500 Hz 2.19 求下列序列的Z 变换和收敛域 （1）δ（n －m ） （2）1(
)()2
n
u n （3）a n
u(-n-1) （4）1(
)[()(10)]2
n
u n u n -- （5）cos(0n ω)u(n)
解：（1）X(z)＝∑∞
z m n )(-δn =z -nm
当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z ｜≤∞，无零点，极点为0(m 阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，零点为0(m 阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z ｜≤∞，既无零点，也无极点
（2）X(z)＝∑∞
∞=-n n
⎪
⎭
⎫
⎝⎛21u(n)z -n =∑∞=0
n n
z ⎪⎭⎫ ⎝⎛-121=12
111--z X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为R -x 的圆的外部区域，这里 R -x ＝lim
∞
→n )
()
1(n x n x +＝21 τ（n ）还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为
2
1
<｜z ｜≤∞。

零点为0，极点
为
2
1。

X(n)还是因果序列，可以有｜z ｜＝∞，故收敛域为21<｜z ｜≤∞。

零点为0，极点为2
1。

（3）x(z)=
n
n n
z
u u a
-∞
∞
=--∑)1(=
n n az
)(1
1
∑-∞
-=-
=
n
n z a
)(1
1
∑-∞
-=-=n
n az
)(1
1∑∞
=-=z a z a 111---=1
11---az X(n)是左边序列，它的Z 变换的收敛域是半径围x R +的圆的内部区域，这里
x
R +=|))1(()(|lim +--∞
→n x n x n =
||)
1(lim +--∞
→n n
n a
a =||a
)(n x 还是逆因果序列，可以有0||=z ，故收敛域为||||0a z ≤≤零点为0，极点为a 。

(4)X(z)＝
∑
∞
∞=-n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21[]10)-u(n -u(n)z -n
=∑
=9
n n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛21 z -n =1
10
)2(1)2(1----z z X(n)是有限长序列，且它的Z 变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z ｜≤∞.零点为0和
2
1
（10阶），极点为2
1。

（5）z z e e z n u n w z X n n
jw n jw n
n ∑∑∞
∞
=--∞
-∞
=+==
00)()cos()(0
＝n jw n z e )(21100-∞
=∑＋)(2
11
00--∞=∑z e
jw n
＝
)1111(211100----+-z
e z e jw jw ＝2010
1cos 21cos 1---+--z
w z w z
)(n x 是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为-x R 的圆的外部区域，这里
-x
R ＝|)()
1(|lim n x n x n +→∞
＝|)cos()]1(cos[|00lim n w n w n +→∞＝1 )(n x 还是因果序列，可以有
∞=||z ，故收敛域为∞≤≤||1z ，零点为
0和
0cos w ，极点为0
jw e
和
jw e
-。

2.20求下列序列的Z 变换和收敛域和零极点分布图
(1) x(n)=a ||
n ,0<a<1
(2) x(n)=e
0()a jw n
+u(n)
(3) x(n)=Ar n
cos(0ωϕ+)u(n),0<r<1 (4) x(n)=
1
!
n u(n) (5) x(n)=sin(0ωϕ+)u(n)
（1）X(z)=
n
n
n a z
∞
-=-∞
∑
=
1
n n n n n n a z a z -∞
---=-∞
=+∑
∑
=
1
1
111n n
n n
n n ax a z a z
ax ax ∞
∞
--=-=+=+
--∑∑
=
2(1)
(1)()z a az z a ---
X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域
a z <≤∞）和一个因果序列（收敛域10z a
≤<
）相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域1
a z a
<<。

零点为0和∞，极点为a 和
1a。

(2) 0()
()()()j j n n
n n X z e
u n z e z ϕθωϕωϕ
∞
∞
++=-∞
==
=∑
∑
=
11
1j e
z ϕ
θω+--
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为x
R -的圆的外部区域，这里
X(n)还是右边序列，可以有
z =∞，故收敛域为e z θ<≤∞。

零点为
0,极点为
0j e θω+。

（3）
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为3R －的圆的 外部区域，这里
()x n 还是因果序列，可以有 z =∞ ，故收敛域为 r z <≤∞ 。

零点为0和 0cos()cos r ωϕϕ
- ，极点为 0j re ω 和 0
j re ω-
（4） 1()()!!
0n Z n X z u n Z n n n n -∞∞-∑==∑
=-∞=
X(n)是右边序列，它的Z 变换的收敛域是半径为R x
-
的圆的外部区域，这里
X(n)还是因果序列，可以有 Z =∞ ，故收敛域为0Z <≤∞
，无零点，极点为0。

(5)
X(z)= 0
sin()()n n w n u n z ϕ∞
-=-∞
+∑
()x n 是右边序列,它的Z 变换收敛域是半径为0R 的圆的外部象区域,这里 ()x n 还是因果序列,大故收敛域为1z <<∞.零点为0和
()
0sin sin w φφ
-.极点为
00cos jsin w w +和00cos jsin w w -.
2.21 用三种方法求下列Z 变化的逆变换
（1）X(Z)=
11
112z -+,|Z|<12 （2）X(Z)=1
1211231148
z z z ----++, |Z|>12
（3）X(Z)=111az z a
----,|Z|>|a 1
-|
解（1）采用幂级数法。

由收敛域课确定x 1（n ）是左边序列。

又因为1lim ()x X z →∞
＝1为有限值，所以x 1（n ）
是逆因果序列。

用长除法将X 1（z ）展开成正幂级数，即 最后得到
x 1（n ）＝-2（-2）
n
-，n ＝-1，-2，-3……
或
x 1（n ）＝1()(1)2
n
u n --
-- （2）采用部分分式展开法。

将X 2(z)展开陈部分分式 其中
由收敛域可确定X 2(n)式右边序列。

又因2lim ()x X z →∞
＝1，所以X 2(n)还是因果序列。

用长除法分别将
1143
111124
z z ---+
++展开成负幂级数，即 14
112
z -+＝4[12311111...()...2482n n z z z z -----+-+++] =
1()2n n n a z ∞
-=-∑ 13
114
z --+=-3[12311111...()...48164n n z z z z -----+-+++] =0
13()4n
n
n z ∞
-=--∑
由上两式得到
（3）采用留数定理法。

围线积分的被积函数为
当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点1
z a
=
，因此 当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点1
z a
=
和z ＝0，因此 当n<0时，因为1
3()n x z z -在围线之外无极点，且1
3()n x z z -在z ＝∞处有1－n ≥2阶极点，所以有3()x n ＝
0，n<0 最后解得
2.22 求下列Z 变换的逆变换 (1)X （z ）=
11
1
(1)(12)
z z ----，1<|z|<2
(2)X(z)=
1
5
(10.5)(10.5)
z z z ----,0.5<|z|<2 (3)X(z)=112
(1)
T T e z e z -----,|z|>T
e - (4)X(z)=(2)
()()
z z a b z a z b ----,|a|<|z|<|b|
解 （4）
采用部分分式法 根据收敛域1||2,z <<111z --和1
2
12z
---分别对应一个因果序列和逆因果序列。

将它们分别展开成z 的负幂级数和正幂级数，即 最后得到
用留数定理法,被积函数 根据收敛域0.52z <
<可知,对应的是一个双边序列.其中
0.5z <对应于一个因果序列 , 即n<0时,()0;0x n n =≥时,被积函数有1个极点0.5在围线内,
故得
|z|<2对应于一个逆因果序列，即n ≥0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n ＋1）＝1-n ≥2，故得 最后得到
或 ()()()1
16212n
n n x n u n u n -⎛⎫=---- ⎪⎝⎭
采用留数定理法，被积函数 根据收敛域T
c
z ->||可以知道，对应的序列是一个因果序列。

即n<0时， 在()0=n x 时，在0≥n 时，被积
函数在积分围线内有1个2阶极点T
c z -= ，因此
最后得到 或()()n u nc x Tn n l -=
（7）
由收敛域可知，对应的是一个双边序列。

将
()X n 进行部分分式分解，即
=
12
11
11A A az bz
--+-- 其中 1
1
1712()(1)()11||t a t a a b z A az X z bz
---==-+=-==-
对于
11
1az --，收敛条件|Z| a >表明它对应于一个右边序列；又因1
11lim t az -→-=1有限值，所以
111az --应于一个逆因果序列1()x n 。

用长除法将1
1
1az
--展开成z 的正幂级数，即 由此得到
对于1
1
1bz --，收敛条件|Z|<b 表明它对应于一个左边序列又因
1011lim t bz -→-=0为有限值,所以
111bz --对应于一个逆因果序列2()x n 。

用长除法将11
1bz --展开成z 的正幂级数，即
由此得到
2()
x n =(1)n b u u ---
最后得到
2.23 求X （Z ）＝1z
z
e e +，0<|z|<∞,的逆变换
解 将1z
z
e
e 和展开成幂级数
2.24 试确定X(z)=z *
是否代表某个序列得Z 变换，请说明理由
解 不能，因为，如果X （z ）能代表某个序列得Z 变换，则X （z ）必须在收敛域内试解析函数。

但是，现在x （z ）＝u （x ，y ）＋jv （x ，y ）＝z *
＝x －jy ，显然有
11u v
x y
∂∂=≠=-∂∂，即X （z ）不满足柯西－黎曼！方程，因此X （z ）不是解析函数，故X （z ）不能代表某个序列得Z 变换。

2.25 如果X （z ）是x(n)得Z 变换，证明： （1）z
m
-X(z)是x(n-m)的Z 变换
（2）X(a 1
-z)是a n
x(n)的Z 变换
（3）()
dX x z
dz
-是nx(n)的Z 变换 2.26证明
(1)
*
****()[()()]()n
n n n x n z
x n z X z ∞
∞
--=-∞=-∞==∑∑
(2)11()()()
()n
n
n n x n z
x n z
X z ∞
∞----=-∞
=-∞
-=
=∑∑
(3)
****111Re[()][()()][()()][()()]222n
n n
n n n n n x n z
x n x n z x n z x n z X z X z ∞
∞
∞∞
----=-∞
=-∞=-∞=-∞
=+=+=+∑∑∑∑(
4)
****111Im[()][()()][()()][()()]
222n
n n
n n n n n x n z
x n x n z x n z x n z X z X z j j j ∞
∞
∞∞
----=-∞
=-∞=-∞=-∞
=-=-=-∑∑∑∑
2.27解1
1
(),||11X z z z
-=
>- 其中11
111
|11z A az a
=-==-- 由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。

这
样，1()W z 的收敛域应为|z|>1，而2()W z 的收敛域为|z|>a 。

这意味着1()W z 和2()W z 都对应于因果序列，因此可用长除法分别将1()W z 和2()W z 展开成z 的负幂级数，即 由上二式得到
11()()1n u n a ω=
-，2()()1n
a n a u n a
ω-=- 最后得到
2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为||||a z <≤∞；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要求
||1a <。

极点为z a =，零点为1z a -=，收敛域||||a z <≤∞。

极－零点图和收敛域示于图1.7。

(2)11()1j j j a e H e ae
ω
ω
ω
----=-
1111212
*22122
2
2211111()
|()|()()()()11111()
12cos (12cos )1cos 1cos j j j j j j j j j j j j j a e a e a e a e a a e e H e ae ae ae ae a a e e a a a a a a
a a a a ωωωωωωω
ωωωωωωωωωω
----------------------+-+===
----+-++-+-=
==+-+-因此
得到1|()|j H e
a ω
-=，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。

2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z 变换
因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为
1
||23
z <<。

故x(n)是双边序列。

(2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z 变换的收敛域是一个圆环。

根据极点分布情况，收敛域有两种可能：
1
||23
z <<或2||3z <<。

采用留数定理法求对应的序列。

被积函数为 对于收敛域
1||23z <<，被积函数有1个极点1
3
z =在积分围线内，故得 被积函数有2个极点12z =和23z =在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高
32n ->(因n<0)，故
11
1
1
1223
(1)(1)()Re [(),]Re [(),]||11()(3)()(2)33
0.920.53,0
n n n n z z n n z z z z x n s X z z
z s X z z
z z z z z n ----==-++=--=-----=⨯-⨯<最后得到
或1()0.9(
)()(0.920.53)(1)3
n
n n x n u n u n =+⨯-⨯-- 对于收敛域2||3z <<，被积函数有2个极点11
3
z =和22z =在积分围线内，故
11
1
1
1212
3(1)(1)()Re [(),]Re [(),]||1(2)(3)()(3)
3
1
0.9()0.92,0
3
n n n n z z n n z z z z x n s X z z
z s X z z
z z z z z n ----==++=+=+----=⨯-⨯≥被积函数有1个极点3z =在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高32n ->(因n<0)，故
最后得10.9()0.92,0()3
0.53,0n n n n x n n ⎧-⨯≥⎪
=⎨⎪-⨯<⎩
2.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。

由于系统的极点为
12z =
，所以收敛域为1
||2
z =。

因lim ()z H z →∞
=∞，故该系统不是因果系统。

2.32(1)()(1)()n n x n ωβω=-+，()()(1)y n n n ωω=+-
所以系统函数为 频率响应为
(2)由1
1
1()()1z Y z X z z β--+=
-可写出系统的差分方程 (3)当x(n)为单位阶跃序列时，将1
1
()1X z z
-=-代入111()()1z Y z X z z β--+=-，得到 采用部分分式法：
其中 11111|11z z A z β
β
β
-=-++==--- 由11
11
()11Y z z βββ---=
--，||z β>得到
由21
21
()11Y z z
β-=
--，||1z >得到 因此系统的单位阶跃响应为
1
12121211()()()()()()()()()
111111n n n n y n y n y n u n u n u n u n u n u n βββββββββββ
+-----=+=+=+=+------2.33(1)求差分方程两边的z 变换
由上式得到系统函数 求系统函数的零点和极点 其中，零点为0；极点为1
1(15)2β=+和21
(15)2
β=-。

由此可画出极－零点图，如图 1.9所示。

已知系统为因果系统，因此收敛域为1||||z β<≤∞。

(2)采用留数定理法。

由12()()()
z
H z z z ββ=
--(收敛域为1||||z β<≤∞)计算单位取样响应
(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为21||z ββ<≤，这是一个双边序列。

采用部分分式法将系统函数分解为 其中 111212
|z z
A z βββββ==
=--
由1
1121
1
()H z z ββββ=
--计算单位取样响应1()h n 。

因收敛域为1||z β<，故1()h n 为左边序列，又
因
10
lim ()0z H z →=为有限值，故2()h n 还是逆因果序列。

采用留数定理法，被积函数
1
1
1
1121
()n n z H z z
z ββββ--=
--，当n<0时，极点11(15)2β=+在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为112n -+≥(因n<0)，因此有 由2
2212
1
()H z z ββββ=
--计算单位取样响应2()h n 。

因此收敛域为2||z β<，故2()h n 为右边序
列，又因220
21
lim ()z H z βββ→=
-为有限值，故2()h n 还是因果序列。

采用留数定理法，被积函数
1
1
2
2212
()n n z H z z
z ββββ--=
--，当0n ≥时积分围线内有唯一的极点，21(15)2β=-，因此有 最后得到满足题给差分方程的一个稳定但非因果的系统，它的单位取样响应为 2.34(1)求差分方程两边的Z 变换
由上式得到系统函数
系统函数的零点：0z =；极点：12β=，21
2
β=。

系统单位取样响应的3种可能选择方案如下(参考图1.10所示的极－零点图)。

（1） 收敛域取为2||z <≤∞，系统是因果的，但不是稳定的。

得到系统的单位取样响应为
（2） 收敛域为
1
||22
z <<，系统是稳定的，但不是因果的。

得到系统的单位取样响应为 （3） 收敛域取为1
||2
z <，系统既不是稳定的，又不是因果的。

因收敛域为1||z β<，故()h n 为左
边序列，又因lim ()0z H z →∞
=为有限值，故2()h n 还是逆因果序列。

采用留数定理法，被积函
数1
12()()()
n
n z H z z
z z ββ-=
--，当n<0时极点112β=和22β=都在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为2-n>2(因n<0)，因此有
(4)验证每一种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数1
1
()52
H z z z
-=
-+，故只要验证每一种方案的系统函数即可。

（1）
111111
11
122211()(22)()[(2)(2)]()3
331212211
()531222
n n n
n n n n H z u n z z z z z z z z z z ∞
∞--------=-∞=-∞---=-=-=---=-=---+∑∑（2） （3）
2.351
10
()()()()3z
Y z Y z zY z X z --
+= 极点为3，13。

系统稳定，单位圆在收敛域内，即1
||33
z <<，对应于双边序列。

其中139
|183
z z A z ===-，2131|38z z A z ==
=-- 由收敛域||3z <知1()h n 为左边序列，由10
lim ()0z H z →=为有限值知2()h n 是逆因果序列。

采用留数
定理法，被积函数11
19()83
n n z H z z
z --=-，当n<0时极点3在积分围线外，且被积函数的分母与分子多项式阶数之差为112n -+≥(因n<0)，因此有
由收敛域1||3z >
知2()h n 为右边序列，因21lim ()8
z H z →∞-=为有限值，故2()h n 是因果序列。

采用
留数定理法，被积函数11
21()183
n n z H z z
z ---=-，当0n ≥时积分围线内有唯一的极点1
3
，因此 最后得到
2.36(1)根据差分方程可画出系统的框图，如图1.11所示。

(2)求差分方程两边的Z 变换 由上式得到系统函数 其中，极点：
1(c o s s i n )j r e r j θβθθ==+，2(cos sin )j re r j θβθθ-==-
()()n
x n a u n =的
Z 变换为1
1
()1X z az -=-，因此可以得到
因为是因果系统，故收敛域为12||max[,,]z a ββ>，且有()0y n =，0n <。

对于0n ≥，采用留数定理法求()Y z 逆Z 变换，被积函数
2
1
12()()()()
n n z Y z z
z z z a ββ+-=
---在积分转线内有3个极点：11z β=，22z β=，3z a =。

因此有 第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考
3.1 图P3.1所示的序列()x n 是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数()X k 。

解：(1)
1
1
*00
()()()()()()N N N nk nk nk N
N
N n n n X k x n W
x n W
x n W X k X k -----=====-=
=-=∑∑∑
3.2 （1）设()x n 为实周期序列，证明()x n 的傅里叶级数()X k 是共轭对称的，即*
()()X k X k =-。

3.3 （2）证明当()x n 为实偶函数时，()X k 也是实偶函数。

证明：（1）
（2）因()x n 为实函数，故由（1）知有 *
()()X k X k =-或*
()()X k X k -= 又因()x n 为偶函数，即()()x n x n =-，所以有
3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n 。

利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数
的系数()X k ，确定以下式子是否正确。

（1）()(10)X k X k =+，对于所有的k ； （2）()()X k X k =-，对于所有的k ； （3）(0)0X =； （4）25
()jk X k e
π，对所有的k 是实函数。

解：（1）正确。

因为()x n 一个周期为N ＝10的周期序列，故()X k 也是一个周期为N ＝10的周期序列。

（2）不正确。

因为()x n 一个实数周期序列，由例 3.2中的（1）知，()X k 是共轭对称的，即应有
*()()X k X k =-，这里()X k 不一定是实数序列。

（3）正确。

因为()x n 在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有
1
(0)()0N n X x n -===∑
（4）不正确。

根据周期序列的移位性质，25
()jk
X k e
π＝210
()k
X k W -对应与周期序列(2)x n +，如图
P3.3_1所示，它不是实偶序列。

由题3.2中的（2）知道，25
()jk X k e
π不是实偶序列。

3.4 设3()()x n R n =，()(6)r x n x n r ∞
=-∞
=
+∑，求()X k ，并作图表示()x n 和()X k 。

解：
31
5
2
6660
6
33
111(1)()()()111k j k k
N nk
nk nk
N k
j k j k n n n W e X k x n W x n W W W e e πππ----===----======---∑∑∑
()x n 和()X k 的图形如图3.4_1所示：
3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列1()x n 和2()x n ，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积
3()x n ，并图表示。

解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积3()x n 的过程，可以看出，3()x n 是1()x n 延时1的结果，即31()(1)x n x n =-。

3.5 计算下列序列的N 点DFT ：
(1)()()x n n δ=
(2)00()[()]*(),0N N x n n n R n n N δ=-<< (3)(),01n
x n a n N =≤≤- (4)2()cos(
),01,x n nm n N o m N N
π
=≤≤-<< 解：（1）
10
()()(0)1,01N nk
N n X k n W k N δδ-====≤≤-∑
（2）0100
()
[()](),01N n k nk
N N N N n X k n n R n W W k N δ-==-=≤≤-∑
（3）
1
11(),0111N Nk N N n nk
N N
k k
n N N
a W a X k a W
k N aW aW -=--===≤≤---∑
（4）
3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列()x n ,画出1()x n 和2()x n 的图形。

（1）()144()2()x n x n R n =
-⎡⎤⎣⎦
（2）()244
()2()x n x n R n =-⎡⎤⎣⎦
解：1()x n 和2()x n 的图形如图P3.7_1所示： 3.8 图P3.8表示一个4点序列()x n 。

（1）绘出()x n 与()x n 的线性卷积结果的图形。

（2）绘出()x n 与()x n 的4点循环卷积结果的图形。

（3）绘出()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积
之间的关系。

解：（1）图P3.8_1（1）所示的是()x n 与()x n 的线性卷积结果的图形。

（2）图P3.8_1（2）所示的()x n 与()x n 的4点循环卷积结果的图形。

（3）图P3.8_1（3）所示的()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形。

可以看出，()x n 与()x n 的8点循环卷积结果的图形与（1）中()x n 与()x n 的线性卷积结果的
图形相同。

3.9 ()x n 是一个长度为N 的序列，试证明[()][()]N N x n x N n -=-。

证明：因为[()]N x n -是由()x n 周期性重复得到的周期序列，故可表示为[()][()]N N x n x n rN -=-+ 取r ＝1，上式即为[()][()]N N x n x N n -=-。

3.10 已知序列()(),01n
x n a u n a =<<。

现在对其Z 变换在单位圆上进行N 等分取样，取值为
()()|k N
z W X k X z -==，求有限长序列的IDFT 。

解：在z 平面的单位圆上的N 个等角点上，对z 变换进行取样，将导致相应时间序列的周期延拓，延拓
周期为N ，即所求有限长序列的IDFT 为
3.11 若长为N 的有限长序列()x n 是矩阵序列()()N x n R n =。

（1）求[()]x n Z ，并画出及其-零点分布图。

（2）求频谱()j X e
ω
，并画出幅度|()|j X e ω的函数曲线。

（3）求()x n 的DFT 的闭式表示，并与()j X e ω
对照。

解：（1）
极点：00(1)z N =-阶；零点：2,1,2, (1)
k N
pk z e
k N π==-
图P3.11_1(1)是极-零点分布图。

（2）12
2
2
2111222sin 1()2()()|1sin
()
2
j N N N j
j
j
N j N j j j z e j j j N e e e e
X e X z e e e e e ω
ωωωωωω
ω
ωωωωω
------=--⎛⎫
⎪--⎝⎭====
--
图P3.11_1(2)所示的是频谱幅度|()|j X e
ω
的函数曲线。

（3）{21,020,1,2,...,120
11()
()()11Nk j k N nk j N k N N N
k N k k j k n N
N N
W e X k R n W
X e W e πωππω--==-=-=--=====--∑
可见，()X k 等于()j X e
ω
在N 个等隔频率点2(0,1,2,...,1)k N N
π
ω=
=-上的取样值。

3.12 在图P3.12中画出了有限长序列()x n ，试画出序列4[()]x n -的略图。

解：
3.13 有限长序列的离散傅里叶变换相当与其Z 变换在单位圆上的取样。

例如10点序列()x n 的离散傅里叶变
换相当与()X z 在单位圆10个等分点上的取样，如图P3.13（a ）所示。

为求出图P3.13（b ）所示圆周上()X z 的等间隔取样，即()X z 在[(2/10)(/10)]0.5j k z
e ππ+=各点上的取样，试指出如何修改()x n ，才
能得到序列1()x n ，使其傅里叶变换相当于上述Z 变换的取样。

解
：
229
9
10
10
10
2110.5exp 10100
()()()()(0.5)j nk j
n j
nk n z j k n n X k x n e
X z x n e
e
πππ
ππ----⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
=====∑∑
由上式得到10
1()
(0.5)()j
n
n
x n e
x n π--=
3.14 如果一台通用计算机计算一次复数乘法需要100s μ，计算一次复数加法需要20s μ，现在用它来计算N
＝1024点的DFT ，问直接计算DFT 和用FFT 计算DFT 各需要多少时间？ 解：直接计算DFT ：
复数乘法：22
102410485761048576100105N s s μ==⨯≈次，
复数加法：(1)102410231047552,10475522021N N s s μ-=⨯=⨯≈次 总计需要时间：(10521)126s s +=
用FFT 计算DFT ： 复数乘法：
2log 5120,51201000.5122
N
N s s μ=⨯≈次 复数加法：2log 10240,10240200.2048N N s s μ=⨯≈次 总计需要时间：(0.5120.2048)0.7168s s +=
3.15 仿照本教材中的图3.15，画出通过计算两个8点DFT 的办法来完成一个16点DFT 计算的流程图。

解：图P3.15_1所示的是用两个8点DFT 来计算一个16点DFT 的流程图。

3.16 设(){0,1,0,1,1,1}x n =，现对()x n 进行频谱分析。

画出FFT 的流程图，FFT 算法任选。

并计算出每级
蝶形运算的结果。

解：图P3.16_1所示的为时间轴选8点FFT 的流程图和每级蝶形运算的结果。

3.17 根据本教材中图3.27所示的流程图，研究基2频率抽选FFT 算法。

设N 为2的任意整数幂，但不等于8。

为了给数据全部加上标号，假设数组中的数据被存在依次排列的复数寄存器中，这些寄存器的编号从0到N －1，而数组的编号为0到2log N 。

具有最初数据的数组是第0列，蝶形的第一级输出是第1列，依次类推。

下列问题均与第m 列的计算有关，这里1≤m ≤2log N ，答案应通过m 和N 表示。

（1）要计算多少个蝶形?每个蝶形有多少次复数乘法和复数加法运算？整个流程图需要多少次复数加法
和复数乘法运算？
（2）由第（m －1）列到m 列，包含的N W 的幂是什么？ （3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是多少？
（4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是什么？注意这种算法的蝶形计算的系数相乘是置于蝶形
的输出端的。

解：（1）2log N 级，每级
2N 个蝶形，共2log 2
N
N 个蝶形。

每个蝶形有1次复数乘法和2次复数加法运算，故整个流程图需要2log N N 次复数加法和2log 2
N
N 次复数乘法运算；
（2）由第m-1列到m 列，包含的N W 的幂是1
2
,0,1,...,21m m k k N --=-；
（3）蝶形的两个复数输入点的地址之间的间隔是2m
N -；
（4）利用同样系数的各蝶形的数据地址间隔是1
22
,2log m N m N -+≤≤。

3.18 使用FFT 对一模拟信号作谱分析，已知：①频率分辨率F ≤5Hz ；②信号最高频率0 1.25f kHz =。

试
确定下列参数： （1）最小记录长度p t ； （2）取样点的最大时间间隔T ； （3）一个记录长度中的最少点数。

解：（1）
11
5,0.25
p p f Hz t s s t =
≤≥=，最小记录长度0.2p t s =；
（2）
01
22 1.25 2.5s f f kHz kHz T
=
≥=⨯=，取样点的最大时间间隔为3
1
0.42.510T s ms ≤
=⨯；
（3）一个记录长度中的最少点数为3
0.2
5002.510p t N T -=
=
=⨯。

3.19 已知信号()x n 和FIR 数字滤波器的单位取样响应分别为
（1）使用基2 FFT 算法计算()x n 与()h n 的线性卷积，写出计算步骤。

（2）用C 语言编写程序，并上机计算。

解：（1）计算步骤：
①在序列尾部补零将()h n 延长成为16点的序列；
②用基－2 FFT 算法分别计算()x n 和()h n 的16点DFT ，得到()X k 和()H k ； ③计算序列的乘积()()()Y k X k H k =；
④用基－2 FFT 算法计算()Y k 的16点IDFT ，便得到()x n 和()h n 的线性卷积()y n 。

（2）
3.20 已知两个实序列1()x n 和2()x n 的离散傅里叶变换分别为1()X k 和2()X k 。

设复序列()g n 为
12()()()g n x n jx n =+其离散傅里叶变换为()G k 。

令(),(),(),()OR ER OI EI G k G k G k G k 分别表示
()G k 的实部的奇数部分，实数的偶数部分，虚数的奇数部分和虚数的偶数部分。

试用(),(),(),()OR ER OI EI G k G k G k G k 来表示1()X k 和2()X k 。

解：因[]1
()()()2
OR R R G k G k G k =--，[]1()()()2ER R R G k G k G k =+-
故()()()R OR ER G k G k G k =+
类似有
()()()I OI EI G k G k G k =+
因此可以用(),(),(),()OR ER OI EI G k G k G k G k 表示()G k
[][]()()()()()()()R I OR ER OI EI G k G k jG k G k G k j G k G k =+=+++①
另一方面，由于
12()()()g n x n jx n =+，故有12()()()G k X k jX k =+ ②
但因1()x n 和2()x n 都是实序列，故1()X k 和2()X k 的实部都是偶对称序列，虚部都是奇对称序
列，因此应将①式整理成下列形式。