2.2.1函数概念课时2导学案(一)高中数学新北师大版必修第一册

2.2.1 函数概念
课时2（一）
(1分钟)
1.理解函数值的概念，会求一些简单函数的函数值.
2.掌握求函数定义域的原则、方法，会求简单函数的定义域，并初步理解抽象函数定义域的解法原理.
3.理解函数值域的概念，会求简单函数的值域.
(1分钟)
设2021年的月份构成集合A，每月的天数构成集合B，f是月份与天数的对应关系，其对应如下：
月份123456789101112天数312931303130313130313031请回答下列问题：
【问题1】上述从A到B的对应关系f是函数吗?
【答案】因为对于集合A中的任意一个值，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的值与之对应，所以从A到B的对应关系f是函数.
【问题2】如果上述关系是从A到B的函数，那么该函数的定义域和值域分别是什么?
【答案】定义域为{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，值域为{29，30，31}.
本节课我们来学习函数的定义域、值域及其求法.
(24分钟)
精讲1：求函数的值
【问题1】有同学认为“y=f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗?
【答案】这种看法不对.“y=f(x)”是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值.y=f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”.在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数.
【问题2】f(x)与f(a)有何区别与联系?
【答案】f (a )表示当x =a 时函数f (x )的值，它是一个常量，而f (x )是自变量x 的函数，一般情况下，它是一个变量，f (a )是f (x )的一个特殊值.如一次函数f (x )=3x +4，当x =8时，f (8)=3×8+4=28是一个常数.
【抽象概括】 函数求值的方法
1.已知f (x )的表达式时，只需用a 替换表达式中的x ，即可求得f (a )的值.
2.求f (g (a ))的值应遵循由里往外的原则. 【学以致用】
【例1】设f (x )=2x 2+2，g (x )=
1x+2
.
(1)求f (2)，f (a +3)，g (a )+g (0)(a ≠-2)，g (f (2))； (2)求g (f (x )).
【方法指导】(1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f (x )直接代入g (x )中便可得到g (f (x )).
【解析】(1)因为f (x )=2x 2+2，所以f (2)=2×22+2=10，f (a +3)=2(a +3)2+2=2a 2+12a +20. 因为g (x )=
1x+2
，
所以g (a )+g (0)=1
a+2+1
0+2=1
a+2+1
2(a ≠-2)，g (f (2))=g (10)=1
10+2=1
12. (2)g (f (x ))=1f (x )+2=12x 2+2+2=1
2x 2+4.
【方法小结】f (x )中的x 可以是一个具体的数，也可以是一个字母或者是一个表达式，不管是什么，要求对应的函数值，只需把相应的x 换成对应的数、字母或式子即可.
【针对训练】已知f (x )=1-x
1+x (x ≠-1). (1)求f (0)及f (f (1
2))的值；
(2)求f (1-x )及f (f (x ))； (3)若f (x )=2，求x 的值. 【解析】(1)f (0)=1-0
1+0
=1.
∵f (1
2)=
1-
121+12
=1
3，
∴f (f (12))=f (1
3)=
1-
131+13
=1
2.
(2)f (1-x )=1-(1-x )1+(1-x )=x
2-x (x ≠2). f (f (x ))=f (1-x
1+x )=
1-
1-x 1+x 1+1-x 1+x
=x (x ≠-1).
(3)由f (x )=1-x 1+x =2，得1-x =2(1+x )，∴3x =-1，解得x =-1
3. 精讲2：求函数的定义域
【问题1】已知函数的解析式，求其定义域时，是否可以对其先化简再求定义域? 【答案】不可以.如f (x )=x+1
x 2-1，倘若先化简，则f (x )=1
x -1，从而所求出的定义域与原函数定义域不等价.
【问题2】当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，如何求函数的定义域?
【答案】当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合.
【抽象概括】
给出函数y =f (x )，x ∈A ，x 叫作自变量，x 的取值范围A 叫作函数的定义域.
特别提醒：(1)定义域必须是非空的数集；(2)考虑问题要全面，要找出所有制约自变量取值的条件.
【学以致用】
【例2】求下列函数的定义域： (1)f (x )=2+3
x -2； (2)f (x )=(x -1)0+√2
x+1； (3)f (x )=√3-x ·√x -1； (4)f (x )=
(x+1)2x+1
−√1-x .
【方法指导】要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于或等于0，幂运算有意义即可.
【解析】(1)当且仅当x -2≠0，即x ≠2时，函数f (x )=2+3
x -2有意义， 所以这个函数的定义域为{x |x ≠2}.
(2)当且仅当{
x -1≠0，2
x+1≥0，x +1≠0，即x >-1且x ≠1时，函数f (x )有意义，
所以这个函数的定义域为{x |x >-1且x ≠1}. (3)当且仅当{
3-x ≥0，
x -1≥0，
即1≤x ≤3时，函数f (x )有意义，
所以这个函数的定义域为{x |1≤x ≤3}.
(4)要使函数f (x )有意义，自变量x 的取值必须满足{x +1≠0，
1-x ≥0，解得x ≤1且x ≠-1，
即函数的定义域为{x |x ≤1且x ≠-1}. 【方法小结】求函数定义域的常用方法 (1)若f (x )是分式，则分母不为零.
(2)若f (x )是偶次根式，则被开方数大于或等于零.
(3)若f (x )是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合. (4)若f (x )是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集. (5)若f (x )是实际问题的解析式，则函数的定义域应使实际问题有意义. 【针对训练】求下列函数的定义域： (1)f (x )=√3x -1+√1-2x +4； (2)f (x )=
0√|x |-x
.
【解析】(1)要使函数有意义，必须满足{3x -1≥0，1-2x ≥0，即{x ≥1
3，x ≤12
，
所以13≤x ≤1
2
，即函数的定义域为[13，1
2].
(2)要使函数有意义，必须满足{x +3≠0，|x |-x >0，即{x ≠-3，|x |>x ，解得{x ≠-3，x <0，
所以函数的定义
域为(-∞，-3)∪(-3，0).
精讲3：求简单函数的值域
【问题1】在初中已学函数的值域是怎样的?
【答案】一次函数f (x )=ax +b (a ≠0)的值域为R.反比例函数f (x )=k
x (k ≠0)的值域为{y |y ≠0}.二次函数
f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的值域：当
a >0时，{y |y ≥
4ac -b 24a
}；当a <0时，
{y |y ≤
4ac -b 24a
}.
【问题2】在函数的定义f ：A →B 中，值域与集合B 有怎样的关系? 【答案】值域是集合B 的子集. 【抽象概括】
给出函数y =f (x )，x ∈A ，函数值的集合{f (x )|x ∈A}叫作函数的值域. 特别提醒：求函数值域时，要注意函数的定义域. 【学以致用】
【例3】求下列函数的值域： (1)y =x +1，x ∈{1，2，3，4，5}； (2)y =x 2-2x +3，x ∈[0，3)； (3)y =
2x+1x -3
；
(4)y =2x -√x -1.
【方法指导】(1)给出的函数比较简单，可采用观察法进行求解；(2)先画出二次函数的图象，结合图象进行求解；(3)对于分子和分母都有变量的可以采用分离常数法进行求解；(4)对于带有根式的，采用换元法求解比较简单.
【解析】(1)(观察法)因为x ∈{1，2，3，4，5}，所以分别代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}.
(2)(配方法)y =x 2-2x +3=(x -1)2+2，由x ∈[0，3)， 再结合函数的图象，可得函数的值域为[2，6). (3)(分离常数法)y =2x+1x -3
=
2(x -3)+7x -3
=2+7x -3，显然7
x -3≠0，所以y ≠2.故函数的值域为(-∞，2)
∪(2，+∞).
(4)(换元法)设t =√x -1，则t ≥0且x =t 2+1，所以y =2(t 2+1)-t =2(t -14)2
+
158
，由t ≥0，再结
合函数的图象(图略)，可得函数的值域为[15
8，+∞).
【方法小结】求函数值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法 (1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到.
(2)配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的形式.
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”
的形式，便于求值域.
(4)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±√cx±d)，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域.
【针对训练】已知f(x)=1
1+x
(x∈R，且x≠-1)，g(x)=x2+2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域.
【解析】(1)∵f(x)=1
1+x ，∴f(2)=1
1+2
=1
3
.
∵g(x)=x2+2，∴g(2)=22+2=6.
(2)f(g(2))=f(6)=1
1+6=1
7
.
(3)f(x)=1
x+1
的定义域为{x|x≠-1}，∴值域是(-∞，0)∪(0，+∞).
g(x)=x2+2的定义域为R，最小值为2，∴值域是[2，+∞).
(10分钟)
探究：求抽象函数的定义域
【思考1】若函数y=f(x)的定义域是[0，+∞)，则函数y=f(x+1)的定义域是什么?
【答案】因为函数y=f(x)的定义域是[0，+∞)，所以令x+1≥0，解得x≥-1，所以函数
y=f(x+1)的定义域是[-1，+∞).
【思考2】已知函数y=f(x+1)的定义域是[1，2]，这里的“[1，2]”是指谁的取值范围?函数y=f(x)的定义域是什么?
【答案】[1，2]是自变量x的取值范围.函数y=f(x)的定义域是x+1的取值范围，即[2，3].
【例4】(1)已知函数y=f(x)的定义域为[-2，3]，求函数y=f(2x-3)的定义域；
(2)已知函数y=f(2x-3)的定义域是[-2，3]，求函数y=f(x+2)的定义域.
【方法指导】(1)由函数y=f(x)的定义域为[-2，3]，解不等式-2≤2x-3≤3即可.
(2)由函数y=f(2x-3)的定义域，先求函数y=f(x)的定义域，再求函数y=f(x+2)的定义域.
【解析】(1)因为函数y=f(x)的定义域为[-2，3]，即x∈[-2，3]，函数y=f(2x-3)中2x-3
的范围与函数y=f(x)中x的范围相同，所以-2≤2x-3≤3，解得1
2
≤x≤3，所以函数y=f(2x-3)的定
义域为[1
2
，3].
(2)因为x∈[-2，3]，所以2x-3∈[-7，3]，即函数y=f(x)的定义域为[-7，3]，
令-7≤x+2≤3，解得-9≤x≤1，所以函数y=f(x+2)的定义域为[-9，1].
【探究小结】若已知函数y=f(x)的定义域为[a，b]，则函数y=f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b解得.本题考查了数学抽象和数学运算素养.
【针对训练】已知函数f(x+1)的定义域为[-2，3]，求f(2x-1)的定义域.
【解析】∵f(x+1)的定义域为[-2，3]，
∴-1≤x+1≤4，
∴f(x)的定义域为[-1，4].
要使f(2x-1)有意义，需使-1≤2x-1≤4，
∴0≤x≤5
2
，
∴函数f(2x-1)的定义域为{x|0≤x≤5
2
}.
(1分钟)
1.知识图谱：
2.思想方法、核心素养：数形结合、换元、转化；数学抽象、直观想象、数学运算
3.常见误区：求函数值域时忽略函数的定义域；抽象函数定义域的求法理解出偏差
(5分钟)
1.已知函数f(x)=3
x ，则f(1
a
)=().
A.1
a B.3
a
C.a
D.3a
【解析】f(1
a
)=3a，故选D.
【答案】D
2.已知函数f(x+1)的定义域为(-1，0)，则函数f(2x-3)的定义域为().
A.(-5，-3)
B.(3
2，2)C.(-3，-1) D.(1，3
2
)
【解析】∵函数f(x+1)的定义域为(-1，0)，即-1<x<0，∴0<x+1<1，∴f(x)的定义域为(0，1)，
∴0<2x-3<1，解得3
2
<x<2.
∴函数f(2x-3)的定义域为(3
2
，2).
【答案】B
3.已知函数f (x )=x 2-2ax +5的定义域和值域都是[1，a ]，则a =.
【解析】因为f (x )=(x -a )2+5-a 2，所以f (x )在[1，a ]上是单调递减的，又f (x )的定义域和值域均为[1，a ]，所以{f (1)=a ，f (a )=1，即{1-2a +5=a ，
a 2-2a 2
+5=1，
解得a =2.
【答案】2
4.已知一个函数的对应关系为y =x 2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个.
【解析】因为函数的对应关系为y =x 2，它的值域为{1，4}，所以函数的定义域可以为{1，2}，{-1，2}，{1，-2}，{-1，-2}，{1，-1，2}，{-1，1，-2}，{1，2，-2}，{-1，2，-2}，{1，-1，-2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个.
【答案】9
(2分钟)
(1分钟)。