12.4椭圆的性质 PPT课件

(2) a2 b2 c2
x
B1
(3)线段A1 A2叫做椭圆的长轴； 线 段B1 B2叫 做 椭 圆 的 短 轴.
问题：长轴长和短轴长分别是多少？
(4)要求椭圆的标准方程只要待定系数a，b.
y
P
y
F2
o
F1
F2
x
o
x
F1
P
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
标准方程
不
练习
5.在直线l：x y 9 0上任取一点P，过点P作 以椭圆：x2 y2 1的焦点为焦点的椭圆，求其
12 3 中长轴最短的椭圆方程及此时P点坐标.
6.过点P（ 3，0）作l交椭圆：11x2 y2 9 于M，N两点，当l的倾斜角为何值时，以 MN为直径的圆恰好过原点？
x2 y2 1
94
的焦点为F1、F2，
（1）椭圆上的动点P的坐标为（xP，yP），且 ∠F1PF2为钝角，求xP的取值范围；
（2）若∠F1PF2=600，求△F1PF2的面积。
6． (设而不求)已知椭圆 x 2 y 2 1 （1）求椭圆中所有斜率为41的平行弦的中点
的 轨迹；
（2）过（1，2）引直线交椭圆于两点，求所 得弦的中点轨迹方程；
12.4椭圆的性质
复习
椭圆的定义：
平 面 内 到 两 个 定 点F1、F2的 距 离 之 和 等 于
常数2a（2a F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆.
这
两
个
定新疆 王新敞 奎屯
点
叫
做
椭
圆
的
焦点
，
两
焦点
间的距离 F1F2 叫做椭圆的焦距(记作2c).
M
F1
F2
结论：
|MF1|+ |MF2|＞|F1F2|即a>c>0时,所得轨迹为椭圆;
b2 = a2 –c2
点
椭圆的两种标准方程中，总是 a＞b＞0. 所以哪个
焦点位置的判定 项的分母大，焦点就在那个轴上；反过来，焦点在哪
个轴上，相应的那个项的分母就越大.
椭圆标准方程的求法： 一定焦点位置；
二设椭圆方程；
2020年4月23日
三求a、b的值.
练习
若去掉焦点在y 轴上的条件呢?
1、方程 x2 y2 1 表示焦点在y轴上的椭
情形2：
. ..
F1
O F2
x
x代 x后方程不变，说明椭圆关于 y 轴对称；
y代 y 后方程不变，说明椭圆关于 x 轴对称；
x, y代x, y后方程不变，说明椭圆关于原点对称；
代数推理（利用方程研究 椭圆的对称性）
利用方程研究椭圆的对称性：
证明：在椭圆
x2 a2
y2 b2
1上任取一点P（x，y），则点P
练习（二）
2.若直线y kx 1与焦点在x轴上的椭圆x2 y2 1 5m
总 有 公 共 点, 求m的 取 值 范 围. 3.已知椭圆 x2 y2 1，它的一条弦AB被M（1，1）
16 4 平分，求AB所在直线方程. 4.已知P（ 2，0），Q（0，1）及椭圆x2 y2 1，
4 过点P作斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点， 设线段AB中点为M，连QM，问：k为何值时， 直线QM与x轴平行？
关于x轴的对称点为P1（x，-y）
y
P（x，y）
x2 ( y)2
a2 b2 1
O
x
P1 （x，-y）在椭圆上
P1（x，-y）
椭圆关于x轴对称
同理可以利用方程证明椭圆关于 y 轴和原点对称
相关概念：在标准方程下，坐标轴是对称轴，原点是对 称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
椭圆性质2——顶点
|MF1|+ |MF2|=|F1F2|即a=c>0时,所得轨迹为线段F1 F2
F1
.M
F2
|MF1|+ |MF2|＜|F1F2|,即 0<a<c 时,轨迹不存在.
小结：
x2 y2
a2
b2
1 a b 0
(1)此 方 程 表 示 的 椭 圆 的
.
A1 F1
B2 y
b a.
O c F2 A2
焦 点 在x轴 上 ， 坐 标 为 F（1 c，0） ，F（2 c，0） ；
24 k 16 k
圆，则k的取值范围为
.
2.椭圆 x2 16
y2 9
1, F1，F2是两个焦点，
AB过F1的 弦 ， 则AF2 B的 周 长 为________
3.AB是过 x2 y2 1a b 0 中心0的弦
16 9
求： F1AB的最大面积
新授椭圆性质1——对称性
情形１：联想椭圆图形直观得到； y
近地点距地面439 km ，远地点距地面23y84km ，
地球半径约为6371 km，
求椭圆的方程(精确到0.1km)
解：由题意可知
B
．．
F1 O F2 A x
a c=6371+439
a c =6371+2384
解得：a=7782.5，c=972.5b2 a2 c2 59621550
方程为
（3）求过点P（0.5，0.5）且被P平分的弦所 在直线方程。
练习（一）
1. 动圆与定圆 x2 y2 4 y 32 0 相内切
且过定圆内的一个定点A（0，-2），求动圆
圆心P的轨迹方程．
2.高 考 题 ： 设F1，F2 为 椭 圆
x2 9
y2 4
1的两个焦点，
P为 椭 圆 上 一 点,已 知P，F1，F2 为 直 角 三 角 形 三 个 顶
点，且 PF1
PF2 ,求
PF1 PF2
的值 .
3.斜率为1的直线l过椭圆 x2 y2 1的右焦点，
4
且交椭圆于A，B两点，求（1）AB；（2）SAOB
4.斜率为2的直线l交椭圆x2 2 y2 1于A，B两点， 求弦AB中点M的轨迹方程.
练习（二）
1.已知椭圆C的焦点分别为F（1 2 2，0），F（2 2 2，0）， 长轴长为6，设直线y x 2交椭圆C于A，B两点， 求线段AB的中点坐标.(2000年高考第17题，12分）
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点 顶点坐标：A1(a,0), A2(a,0), B1(0,b), B2 (0, b)
长轴和短轴：线段A1A2 , B1B2分别叫做椭圆的长
轴和短轴，它们的长分别等于2a, 2b，a 和 b
分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
B2 y
.
A1 F1
.
O F2 A2 x
x2
y2 1
60567306.25 59621550
4．已知直线kx-y+3=0与椭圆 x 2 y 2 1 16 4
当k在何范围取值时， （1）直线与椭圆有两个公共点； （2）直线与椭圆有一个公共点； （3）直线与椭圆无公共点； （4）当k=1时，求直线与椭圆相交所得
的弦长。
5．已知椭圆
（1）求它的长轴长、短轴长、焦点坐标和 顶点坐标；
（2）写出与椭圆 9 x2 4 y2 36 有相同
焦点的至少两个不同的椭圆方程。
( 2 )设：所求椭圆方程为： y2 x2 1 9 4
4
例2（1）以原点为中心的椭圆长轴长是短 轴长的 2倍，且一个焦点为（0，-1）， 求椭圆的标准方程。
B1
椭圆性质3——范围
椭圆位于直线 x a和 y b 所围成的矩形里.
a x a, -b y b
y
yb
F1
0
x a
F2
x
y b
xa
你能找出曲线C：x4 y2 1 有些什么性质？
例题
说出椭圆 y2 a2
x2 b2
1(a；
y
F2 M
O
x
F1
例题
例1已知椭圆的方程为9 x2 4 y2 36 。
同
图形
点
x2 y2 a2 + b2 = 1(a > b > 0)
y
o
x
y2 + x2 = 1(a > b > 0) a2 b2
y
ox
焦点坐标
F1(-c,0)、F2(c,0)
F1(0,-c)、F2(0,c)
共
定义
平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常 数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
同 a、b、c的关系
（2）求过点（2，0），且长轴长是短轴 长的2倍的椭圆方程。
椭圆性质4——近日点远日点
已知P是
椭
圆
：x 2
a2
y2 b2
1a b 0上的一个动点
F1是椭圆的左焦点，求PF1 的最大值和最小值
解: 设：P( x, y )，左焦点为F1 c,0
PF1 2 x c2 y2
a2 a
c
x2
B1
3．1970年4月24日我国发射了第一颗人造 地球卫星，它的运行轨道是以地球的中心为 一个焦点的椭圆，卫星在近地点A与地球表 面的距离为439千米，在远地点B与地球表 面的距离为2384千米，地球中心与A、B在 同一直线上，已知地球的半径为6371千米， 建立适当的坐标系，求卫星轨道的方程(精 确到0.1千米) 。
2cx c2
b2
b2 a2
x2
PF1 2在 a ,a上 单 调 递 增
c2 a2
x
a2 c
2 ( a
x
a
)
当x 当x
a时，PF1 a时，PF1 max
a
min
ac
c
当x a时，PF1 min a c 当x a时，PF1 max a c
B2 y
.
A1 F1
.
O F2 A2 x