东北大学概率论与数理统计期末试题

2010-2011(1)概率统计试题及参考答案
一、填空题（每小题3分，共30分.）
1. 随机事件是样本点的集合.口袋中有5只外形相同的球，分别编号1,2,3,4,5，从中同时取3只球，则球的最小号码为1的事件为{ } .
2. 设随机变量X 的密度函数为f(x)
2
(1)
2()x x -
--∞<<+∞，则P {–1< X <1}= .
（Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.）
3. 设D (X )≠0,D (Y )≠0，那么由D (X + Y ) = D (X – Y )一定有X , Y ．（独立、不独立、相关、不相关）
4. 若随机变量X 1,X 2,X 3相互独立，且X 1～P (2), X 2～E (1), X 3～B (4,0.25)，则E (X 1 – 4X 2X 3)= ， D (2X 1 – 3X 2 + X 3)= .
5. 已知E (X )=12, D (X )=1，那么利用切比雪夫不等式估计P {9 < X < 15} .
6. 设X 1,X 2,…, X n 相互独立，均服从χ2(8)，则算术平均
1
1n
i i X n =∑依概率收敛于 . 7. 当样本容量一定时，显著性水平α越小，即犯第 类错误的概率就越 ，而犯第 类错误的概率就越 .
8. 设X 1,X 2,…, X n 是来自均匀总体U (1,7)的一个样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则E (X )= ，E (2S ) = .
9. 设X 1,X 2,…, X 10是来自正态总体N (0, 0.5)的一个样本，则(X 1 – X 2)2 + (X 3 – X 4)2 + … + (X 9 – X 10)2 ～
分布，222
1392
2
2
2410
X X X X X X ++
++++～ 分布. 10. 已知来自总体N (μ, 0.92)，容量为9的样本的样本均值x =5，则μ的置信度为0.95的置信区间为 . (z 0.05=1.645, z 0.025=1.96, t 0.05(8)=1.8595, t 0.025(8)=2.306.) 二、（共10 分）
1.（4分）某产品40件为一批，每批产品中没有次品的概率为0.4，有1, 2, 3件次品的概率分别为0.3, 0.2, 0.1.今从某批产品中随机地取10件，求其中恰有1件次品的概率.（注：只列出计算概率的算式，不要求计算结果.）
2.（6分）已知随机变量X 取四个值–1,0,2,3，相应的概率分别为1357
,,,24816c c c c ，（1）求常数c ；（2）计算
P { X < 3 | X > –1}.
三、（12分）已知随机变量(X , Y )的分布律为\101
1
0.30.201
00.40.1
X Y
--，（1）求D (2X – Y )；（2）判断X , Y 的独立性与相关性；（3）求Z = max{ X,Y }的分布律. 四、（共22 分）
1.（6分）设随机变量X 的密度函数为2
2,0,
()0,
0,x xe x f x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩ 求Y =X 2的密度函数.
2.（16分）设随机变量(X , Y ) 的密度函数为,0,(,)0, ,x e y x f x y -⎧<<⎪
=⎨⎪⎩
其他（1）求P { X <1}；（2）求()X f x 和()Y f y ，
并判断X , Y 的独立性；（3）求()Y X f y x ；（4）求Z = X + Y 的分布.
五、（6分）设各零件的重量是相互独立的随机变量，它们均服从相同的分布，期望、均方差分别为0.5kg 和0.1kg ，求2500只零件的总重量超过1240kg 的概率.（(1)0.8413,Φ=(2)0.9772Φ=.） 六、（8分）设X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，X 的密度函数为
),,
()0,
,x a e x a f x x a --⎧≥=⎨
<⎩（ 其中a (a > 0)未知，求a 的矩估计和最大似然估计.
七、（6分）规定企业污水中汞的最高允许排放浓度为0.05mg/L .今从某企业排放的污水中抽取了9个水样，测得汞含量的样本均值为0.051mg/L ，样本均方差为0.003mg/L .假设每升污水中汞的含量服从正态分布，那么在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量超标吗？(假设H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05. t 0.10(9)=1.3830, t 0.10(8)=1.3968, t 0.05(9)=1.8331, t 0.05(8)=1.8595.）
八、（6分）下面是A 班和B 班各10位学生的某科考试成绩（10分制）：
A 班成绩：6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
B 班成绩：8 7 7 10 5 8 10 6 8 6
平均成绩分别为A x =7,B x =7.5，成绩均方差分别为A s ≈1.83,B s ≈1.65.又定义极差=11max{}min{}i i i n
i n
x x ≤≤≤≤-(其
中12,,,n x x x 为样本数据).（1）求每班成绩的众数、中位数和极差；
（2）试根据平均成绩、成绩均方差与（1）中的结果，对两班的成绩作对比评点.
一、1. {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}; 2. 0.4772; 3. 不相关; 4. –2, 3
174
; 5. ≥8/9; 6. 8; 7. 一，小，二，大; 8. 4, 3; 9. χ2(5), F (5,5); 10. (4.412, 5.588).
二、1. 解 19
1919139
238337101010404040
0.30.2
0.1=⨯+⨯+⨯C C C C C C p C C C 2. 解 (1) 由1357
124816
+++=c c c c ， 得c =16/37 .
(2) P { X < 3 | X > –1} =
35
{13}22480.75862357{1}294816
+
-<<==≈>-++P X P X
三、 解 (1) D (2X – Y )=4 D (X )+D(Y ) –4cov(X ,Y )= 4D (X )+D(Y ) –4(E (X ,Y ) –E (X )E (Y )) E (X )=0, E (X 2)=1,D (X )=1; E (Y )=–0.2, E (Y 2)=0.4, D (Y )=0.36; E (X ,Y )=0.4 D (2X – Y )=4×1 + 0.36 – 4×0.4 = 2.76 (2) ∵ cov(X ,Y )=0.4
∴ X ,Y 相关 ∵ P {X =1,Y =–1}=0≠P {X =1} P { Y =–1}=0.5×0.3=0.15 ∴ X ,Y 不独立
(3) Z
-1 0 1
p 0.3 0.2 0.5
五、解设X i表示第i个零件的重量，则E(X i)=0.5, D(X i)=0.12，i=1,2,..,2500. 根据中心极限定理可知，2500只零件的总重量X = X1+X2+…+ X2500近似地服从N(2500×0.5, 2500×0.01)= N(1250, 25)，于是所求事件的概率
{}12401250
12401(2)0.9772
5
P X
-
⎛⎫
>≈-Φ=Φ=
⎪
⎝⎭
.
四、1. 解方法一
∵2
()20(0)
''
==>>
y x x x
∴
,0,
()
0,0
'
⎧
⎛⎫
⎪>
⎪
=⎨⎝
⎪
⎪≤
⎩
X
Y
f y
f y
y
,0,
0, 0.
-
⎧>
=⎨
≤
⎩
y
e y
y
方法二
2
(){}{}
=≤=≤
Y
F y P Y y P X y
当0,()0,()0;
≤==
Y Y
y F y f y
{
(
0,()
>=≤
=-
Y
X X
y F y P X
F F
()
()
--
=-
=-=
Y X X
y y
f y f f
e
因此
,0,
()
0, 0.
-
⎧>
=⎨
≤
⎩
y
Y
e y
f y
y
2. 解(1) P{ X <1}111
000
12
---
===-
⎰⎰⎰
x x x
dx e dy xe dx e
(2) 0
,0,,0,
()(,)
0, 0.
0,0
--
+∞
-∞
⎧⎧
>>
⎪
===
⎨⎨
≤
⎩
⎪≤
⎩
⎰
⎰
x x
x
X
e dy x xe x
f x f x y dy
x
x
,0,,0,
()(,)
0, 0.
0,0
+∞-
-
+∞
-∞
⎧>⎧>
⎪
===
⎨⎨
≤
⎩
⎪≤
⎩
⎰
⎰x y
y
Y
e dx y e y
f y f x y dx
y
y
(,)()()
≠
X Y
f x y f x f y，故X,Y 不独立.
(3) 当x > 0时，()0
-
=>
x
X
f x xe，这时有
1
,0,
(,)
()
()
0,
⎧
<<
⎪
==⎨
⎪⎩
Y X
X
y x
f x y
f y x x
f x
其他.
(4) ⎰+∞∞--
=dx
x
z
x
f
z
f
Z
)
,
(
)
(，
其中, 2,
(,)0, .-⎧<<-=⎨⎩
其他x e x z x f x z x
当z ≤0时，(,)0-=f x z x ，此时0)(=z f Z ； 当z > 0时，(,)--=x
f x z x e ，此时2
2
()-
--==-⎰z
z
x
z z Z f z e dx e
e ，
所以Z 的概率密度为 2
, 0,()0, 0.
--⎧⎪->=⎨⎪≤⎩z z Z e e z f z z
六、 解 E (X )=()
()()=-+∞
+∞
+∞
----∞
==
+⎰
⎰⎰
t x a
x a t a
xf x dx xe
dx t a e dt
1+∞+∞
--=+=+⎰⎰t t te dt a e dt a
令1+a =X ，得a 的矩估计ˆ1=-a
X . 当x 1,x 2,…, x n ≥a 时，似然函数为
1212()()()()
()---++
++----==n n x a x x x na
x a x a L a e e e e ， x 1,x 2,…, x n ≥0，
取对数并求导数，有
12(ln ())(())0''=-++++=>n L a x x x na n ，
故L (a )是a 的增函数，即a 越大，L (a )的值就越大. 但由x 1,x 2,…, x n ≥a 可知，a ≤min{x 1,x 2,…, x n }. 因此a 的最大似然估计量为a =min{X 1,X 2,…, X n }.
七、解 提出假设 H 0: μ ≤ 0.05, H 1: μ > 0.05， 检验统计量
(8)=
X T t ，
拒绝域为 0.1(8) 1.3968≥=T t
0.001
1 1.39680.001===<x ，故接受假设H 0，
即认为在显著水平0.10下该企业排放的污水中汞含量不超标. 八、解 (1) A 班众数6,7,8 B 班众数8 A 班中位数7 B 班中位数7.5 A 班极差6 B 班极差5
(2) B 班学生的成绩好于A 班的.
一、因为B 班学生的平均成绩B x =7.5高于A 班的平均成绩A x =7，说明B 班学生的成绩整体上好于A 班学生的成绩；
二、B 班的成绩均方差B s ≈1.65小于A 班的成绩均方差A s ≈1.83，以及B 班的极差小于A 班的极差，都说明A 班学生的成绩分布相对比较分散；
三、A 班的众数多小于B 班的众数，又说明A 班学生的成绩在低分段的相对比较多.
2011-2012(1)概率统计试题及参考答案
一、 选择题（每小题3分，共15分） 1. 随机事件AB
AB AB 发生，意味着[ ].
(A),A B 都发生； (B),A B 至多有一个发生； (C),A B 恰好有一个发生； (D),A B 至少有一个发生.
2. 设随机变量230.40.6X
-⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则X 的分布函数为[ ]. (A)0,2,()0.4,23,0.6, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ (B)0.4,2,()0.6,23,1, 3.x F x x x ≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪>⎩
(C)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩ (D)0,2,()0.4,23,1, 3.x F x x x <-⎧⎪
=-≤<⎨⎪≥⎩
3. 已知22
1122(,),(,)X
N Y N μσμσ，且12{1}{1}P X P Y μμ-<≥-<，正确的是[ ].
(A)12σσ≤； (B)12σσ<； (C)12σσ≥； (D)12σσ>. 4. 设12,,,n X X X 是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，2,X S 分别为样本均值和样本方差，不正确
的是[ ].
(0,1)X N ; (B)
2
22
(1)(1)n S n χσ
--;
()X t n ; (D)X 与2S 相互独立.
5. 对原假设H 0和备择假设H 1，[ ]为犯第一类错误.
(A) H 1真，拒绝H 1； (B) H 1不真，拒绝H 1； (C) H 1真，接受H 1； (D) H 1不真，接受H 1. 二、填空题（每小题4分，共20分）
1. 设事件A 1, A 2, A 3相互独立，且P (A i )=1/3( i =1,2,3)，则A 1, A 2, A 3至少发生一个的概率为 .
2. 设随机变量X ,Y ,Z 相互独立，概率密度函数分别为
2
1
(1)22
1
1,13,
,0,
()()(),2
2
0,,
0,
0,y z X Y Z x e y f x f y f z z y ---
⎧⎧<<≥⎪⎪===
-∞<<+∞⎨⎨⎪⎪<⎩⎩其他，
则E (3X – YZ 2)= . 3. 二维正态变量(,)
(2,1,8,15,0)X Y N -，则Y ，X 与Y （独立，不独立，相关）.
4. 设X ,2S 是二项总体B (10, 0.4)的简单随机样本的样本均值和样本方差，则E (X –2S )= .
5. 设某次考试的成绩服从正态分布2(,)N μσ，其中2,μσ均未知. 随机调出其中36位考生的成绩，算得平均分是6
6.5，标准差为15. 为检验这次考试的平均成绩是否为70分，应提出原假设、备择假设以及检验用的检验统计量分别为 .
三、（12分）设随机变量(X ,Y )的分布律为\102
0.20.301
00.40.1
X Y
，（1）求Z = 2X – Y 的分布律；（2）求Cov (X , Y )；（3）判断X , Y 的独立性与相关性. 四、（共11分） 1.（6分）设随机变量,02,
()0,ax x X
f x <<⎧=⎨
⎩其他.（1）求常数a ；（2）求分布函数F (x ). 2.（5分）设随机变量22,0,(1)()0, 0,x x X
f x x π⎧
>⎪
+=⎨⎪≤⎩
求ln Y X =的概率密度函数.
五、（12分）设二维随机变量(X ,Y )在由直线x =2, y = x /2及x 轴所围成的区域内服从均匀分布，求：（1）(),()X Y X f x f y x ；
（2）Z =X +Y 的概率分布. 六、（10分）某系统装有三个电子元件. 假设：系统启动时它们同时开始工作；三个元件工作状态相互独立，且无故障工作的时间T i (i =1,2,3)均服从参数为(0)λλ>的指数分布；只要有一个元件在工作，系统就能正常工作（正常工作的时间记为T ）.（1）求参数为λ的指数分布的分布函数；（2）给出T 与T 1、T 2、T 3的函数关系；（3）求T 的概率密度函数. 七、（共12分） 1.（6分）设随机变量1,01,
()0,
,a ax x X f x -⎧<<⎪=⎨
⎪⎩其他其中(0)a a >未知，X 1,X 2,…, X n 是来自总体X 的简单随机样本，求a 的矩估计.
2.（6分）已知总体X 的分布律为2023
1(1)
X P θθθθ--，其中(01)θθ<<未知；总体X 的一组样本值中
有3个为0、4个为2、2个为3，求θ的最大似然估计.
八、（8分）基于人一年内的死亡率为0.1%，并经过市场调研，某保险公司设计了一种年险：参加保险的人，只须在一年的第一天交付保险费10元，一旦死亡，家属可从保险公司领取2000元. 试问：（1）至少有多少人参加该保险才能保证保险公司亏本的概率为0？（提示：首先设参保人数，再设随机变量，表示出保险公司“不亏本”事件，然后利用中心极限定理计算概率）（2）若一年内有n 人投保，则保险公司一年内所获利润、平均利润各是多少？（3）结合（1）、（2）的结果，简单．．谈谈你对保险及保险公司的看法.（本．题约定．．．：0()1,4;()1,4x x x x ≤Φ<<Φ=≥）
一、B D A C D
二、1. 19/27; 2. 2; 3. N(1, 15) 或
2
(1)30y --；独立； 4. 1.6； 5. H 0 :μ=70，H 0: μ≠70
；X T =
.
三、（1）21012
00.20.400.4
Z P --
（2）Cov (X , Y )= E (XY ) – E (X )E (Y )=1*2*0.1–0.5*0.4=0
（3）P {X =1, Y =1}=0≠0.1=P {X =1}·P {Y =1}，所以X , Y 不独立.
因为Cov (X ,Y )=0
0≠≠，所以ρ(X ,Y )=0，故X , Y 不相关. 四、1.（1）∵
()1f x dx +∞
-∞
=⎰
∴
2
1
1,2
axdx a ==
⎰
（2）20,0,1()(),02,41, 2.
x
x F x f x dx x x x -∞
≤⎧⎪⎪
==<<⎨⎪≥⎪⎩⎰
2. ∵ 1
(ln )0(0)y x x x
''==
>> ∴ 22()()()(1)
y
y
y
Y X y e f y f e e e π'==+
六、（1）,0,1,0
()(){}0,0.0,0.
x x e x e x f x F x P X x x x λλλ--⎧⎧>->==≤=⎨⎨
≤≤⎩⎩ （2）T =max{T 1,T 2,T 3}
（3）123123(){}{max{,,}}{,,}T F t P T t P T T T t P T t T t T t =≤=≤=≤≤≤33
(1),0,
()0,0.t T
e t F t t λ-⎧->==⎨≤⎩
23(1),0,
()0,0.
t t T e e t f t t λλ--⎧->=⎨≤⎩
五、1,02,0/2,
(,)0,.x y x f x y <<<<⎧=⎨
⎩
其他
（1）2
()(,)1(02)2
x X x
f x f x y dy dy x +∞
-∞
=
==
<<⎰
⎰，
当02x <<时，2
,0,
(,)()2()0,.
Y X x y f x y f y x x f x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩
其他 （2）23
2231
,02,
,02,32()(,),23,2,23,30,0,.z z Z z z z dz z f z f x z x dx dz z z z +∞
-∞
⎧⎧<<<<⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
=-=<<=-<<⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎩
⎰⎰
⎰其他其他
七、1. 1
()1
a a
E X ax dx a =
=
+⎰
， 令 1
11n
i i a X a n ==+∑，得a 的矩估计ˆ1X a X =-. 2. 似然函数为
L (θ)=( θ2)3(1-θ)4θ2 (1-θ)2=θ8 (1-θ)6
令 d L (θ) /d θ=2θ7 (1-θ)5(4(1-θ) - 3θ)=0，
0得θ的最大似然估计4
ˆ7
θ
=.
八、设有n 人参加保险，其中有X 人在一年内死亡，则(,0.001)X B n . 根据中心极限定理可知，
(0.001,0.0010.999)X N n n ⨯.
（1）不亏本：10n >= 2000X ，不亏本的概率为0，即
P{10n >= 2000X }= P{X <= n /200}
≈1Φ=，
4,999n ≥≥.
所以至少得有999人参加该保险. （2）利润：10n –2000X
平均利润：10n –2000E (X )= 10n –2n =8n
（3）。