2022年广东省汕头市南澳县第二中学高三数学理模拟试卷含解析

2022年广东省汕头市南澳县第二中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在等腰直角中，设为上靠近点的四等分点，过作的垂线，设为垂线上任一点，则
A. B. C. D .
参考答案：
A
由题意知，，所以，即
，所以选A.
2. 在△ABC中，若，b=4，B=2A，则sin A的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：D
3. 已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）
A．f（x）的图象关于（，1）中心对称
B．f（x）在（，）上单调递减
C．f（x）的图象关于x=对称
D．f（x）的最大值为3
参考答案：
B
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】利用辅助角公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性，最值性，对称性的性质分别进行判断即可．
【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，
A．当x=时，sin（2x﹣）=0，则f（x）的图象关于（，1）中心对称，故A正确，
B．由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，
当k=0时，函数的递减区间是[，]，故B错误，
C．当x=时，2x﹣=2×﹣=，则f（x）的图象关于x=对称，故C正确，
D．当2sin（2x﹣）=1时，函数取得最大值为2+1=3，故D正确，
故选：B
4. 设集合则
（A） {3} （B） {7,8} （C） {4,5,6,7,8} （D） {1,2,7,8}
参考答案：
Ｂ
Ｕ＝｛１，２,３,４,５,６,７,８｝，
｛７,８｝
考点：集合的交集，并集和补集
【答案】
【解析】
5. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足
，则正实数的最小值是
(A) 2 (B) (C)
(D)
参考答案：
【知识点】分段函数的应用．B9
B解析：根据的函数，我们易得出其值域为：R，
又∵时，值域为；时，其值域为R，
∴可以看出的值域为上有两个解，
要想，在上只有唯一的满足，
必有（因为），
所以：＞2，解得：x＞4，
当 x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系，
∴，，且a＞0，
所以有：（2at﹣1）（at+1）＞0，
解得：或者（舍去），
∴，∴，故选：B
【思路点拨】此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域范围或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在一一对应的关系时，即只有当＞2时，才会存在一一对应．
6. 下列命题中，真命题是
A．
B．
C．
D．
参考答案：
D
7. 已知复数,是它的共轭复数,则（）
A．4 B．－4 C．－2 D．2
参考答案：
A
本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.
因为,所以.
8. 已知函数，则下列命题正确的是（）
A．是最小正周期为1的奇函数 B．是最小正周期为1的偶函数
C．是最小正周期为2的奇函数 D．是最小正周期为2的偶函数
参考答案：
D
略
9. 某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是，构造数列，使得
，记．则的概率为A. B. C.
D.
参考答案：
C
10. 定义运算为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为
A．2 B．-2 C．-1 D．1
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=的第二步中，当n=k+1时等式左边与n=k
时的等式左边的差等于 .
参考答案：
3k+2
12. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=4a3，a9=﹣6，则a7= ．
参考答案：
﹣2
考点：等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：通过S8=4a3、a9=﹣6，计算即得结论．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
则由S8=4a3，可得：8a1+=4（a1+2d），
化简得：a1+5d=0，
又∵a9=﹣6，∴a1+8d=﹣6，
∴a1=10，d=﹣2，
∴a7=a1+6d=10﹣12=﹣2，
故答案为：﹣2．
点评：本题考查求等差数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．
13. 如图所示，在南海上有两座灯塔，这两座灯塔之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶致一半路程时刚好到达M处，恰巧M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量⊥，则＝_____________．
参考答案：
－3600 由题意可知，⊥
，
⊥
，，
所以
＝
14. 如图，已知圆O 直径AB=5，C 为圆周上一点，BC=4，过点C 作圆O 的切线，过点A 作直线的垂线AD ，垂足为D ，则
CD=。

参考答案：
15. 已知函数
，若函数恰有两个不同的零点，则实数的
取值范围为 ．
参考答案：
考点：利用导数研究函数图像
16. 已知实数x ，y 满足不等式组
，则z=
的最大值是 ．
参考答案：
2
【考点】7C ：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应平面区域，利用z 的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图 则z=
的几何意义为动点P 到定点Q （﹣1，﹣1）的斜率，
由图象可知当P 位于A （0，1）时，直线AQ 的斜率最大， 此时z=
=2，
故答案为：2．
17. 在正项等比数列中, ,则满足
的最大正整数的值为___________.
参考答案：
12
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，四边形ABCD是正方形，四边形ABEG是平行四边形，且平面ABCD⊥平面ABEG，AE⊥AB，EF⊥AG于F，设线段CD、AE的中点分别为P、M．
（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证：MP∥平面BCE；
（Ⅲ）若∠EAF=30°，求三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比．
参考答案：
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得BC⊥平面ABEG，得到EF⊥BC．再由已知证得
EF⊥BE，利用线面垂直的判定可得EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）设线段AB的中点为N，连接MN，PN．由三角形中位线定理可得MN∥BE，PN∥BC，再由面面平行的判定得平面MNP∥平面BCE，得MP∥平面BCE；（Ⅲ）设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，解三角形可得V M﹣BDP，同理可得V F﹣BCE，则三棱锥M﹣BDP和三棱锥F﹣BCE的体积之比可求．
【解答】（Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEG，平面ABCD∩平面ABEG=AB，
由ABCD为正方形，得BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEG，又EF?平面ABEG，
∴EF⊥BC．
又四边形ABEG为平行四边形，EF⊥AG，∴EF⊥BE，
又BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC∩BE=B，
∴EF⊥平面BCE；
（Ⅱ）证明：设线段AB的中点为N，连接MN，PN．
∵线段CD、AE的中点分别为P、M，
∴MN∥BE，PN∥BC，则平面MNP∥平面BCE，
故MP∥平面BCE；
（Ⅲ）解：设正方形ABCD的边长为a，连接MB，MD，BD，BP，
∵∠EAF=30°，则EF=，∠AEB=30°，
∴BE=2AB=2a，
∴=．
同理，连接FB，FC，则=．
∴V M﹣BDP：V F﹣BCE=1：4．
【点评】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
19. 已知函数
.
（1）设在平面直角坐标系中作出的图象，并写出不等式的解集M．
（2）设函数，，若，求a的取值范围．
参考答案：
（1）函数图象如下图：
不等式的解集；
（2）.
【分析】
（1）利用零点法化简函数的解析式，在直角坐标系内，画出函数图象，分类讨论解不等式；（2）根据（1）对时，进行分类讨论：当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围；
当时，,根据取值的不同范围，利用一次函数的单调性，求出的取值范围，最后确定的取值范围.
【详解】（1），画出图象，如下图所示：
当时，；
当时，
当时，，所以
不等式的解集.
（2）当时，
当时，，显然成立；
当时，要想，只需即可，也就是
；
当时，要想，只需，
所以当时，当，的取值范围；
当时，，
当时，显然不成立；
当时，要想，只需不存在这样的；当时，要想，只需，
所以当时，当，的取值范围是，
综上所述的取值范围.
【点睛】本题考查了画含绝对值的函数图象，考查含绝对值的不等式的解法，考查了恒成立问题.考查了分类讨论思想.当然本题，可以采用数形结合思想，进行思考，解题如下：
（1）通过图象可以看到，当时，；
（2）
，，可以求出
,通过图象可知：当
时，
在
恒成立.
20. 每年的4月23日为世界读书日，为调查某高校学生（学生很多）的读书情况，随机抽取了男生，女生各20人组成的一个样本，对他们的年阅读量（单位：本）进行了统计，分析得到了男生年阅读量的频数分布表和女生年阅读量的频率分布直方图． 男生年阅读量的频数分布表（年阅读量均在区间内）
（Ⅱ）若年不小于40
本为阅读丰富，否则为阅读不丰富，依据上述样本研究年阅读量与性别的关系，完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为阅读丰富与性别有关；
2人中男生人数为ξ，求ξ的分布列和期望．
附：，其中n=a+b+c+d
参考答案：
【考点】BO ：独立性检验的应用．
【分析】（Ⅰ）求出前三组频率之和，即可根据女生的频率分布直方图估计该校女生年阅读量的中位
数；
（Ⅱ）根据所给数据得出2×2列联表，求出K 2，即可判断是否有99%的把握认为月底丰富与性别有关；
（Ⅲ）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求ξ的分布列和期望．
【解答】解：（Ⅰ）前三组频率之和为：0.1+0.2+0.25=0.55，∴中位数位于第三组，设中位数为a ，
由题可知：，解得
a=38．∴该校女生年阅读量的中位数约为38．
（Ⅱ）
≈2.849＜ 6.635，∴没有99%
的把握认为阅读丰富与性别有关．
（Ⅲ）年阅读量在的学生中，男生2人，女生4人．
由题意得ξ的可能取值为0，1， 2.，，．
所以的分布列为
．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的计算，考查ξ的分布列和期望，考查独立性检验知识的运用，属于中档题．
21. （本小题满分12分）已知函数，
（1）当时，求在区间上的取值范围;
（2）当
=2时，
=
，求
的值。

参考答案：
（1）当
又由
从而——6分（2）
由得，
,所以，
得——12分
22. 已知，.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若函数f(x)的图像与函数g(x)的图像有交点，求a的取值范围.
参考答案：
（1）不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，故；
当时，不等式化为成立，故；
当时，不等式化为，解得，故，
综上得若，不等式解集为
（2）因为，
所以. 要使函数f(x)的图象与函数g(x)的图像有交点，需，故a的取值范围是.。