2016届百校联盟全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学(第五模拟)(解析版)

百校联盟2016年全国卷II高考《考试大纲》调研卷文科数学（第五模拟）一、选择题：共12题1．已知集合A={x|y=},集合B={x|≥0},则A∪B=A.AB.BC.{-1,1}D.{-1}【答案】A【解析】本题考查集合间的包含关系等基础知识.解题时注意分式中分母不为0.集合A={x|y=}={x|1-x2≥0}={x|-1≤x≤1},集合B={x|≥0}={x|-1≤x<1},故A∪B=A.2．已知复数z=+(i是虚数单位)的实部与虚部的和为1,则实数m的值为A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算.解题时对复数进行化简,进而求出m的值.由已知z=++,则+=1,得m=1,故选C.3．在等比数列{a n}中,a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,则的值为A.2B.4C.-2或2D.-4或4【答案】A【解析】本题考查等比数列的基本运算及性质.求解时一定要注意等比数列中奇数项的符号相同的关系,否则容易出现错解.∵a3,a15是方程x2-6x+8=0的根,∴a3a15=8,a3+a15=6,因而a3,a15均为正,由等比数列的性质知,a1a17==a3a15=8,∴a9=2,=2,故选A.4．已知在平面中,A(1,0),B(1,),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=120°,若=λ-2,则λ的值为A.-1B.2C.1D.-2【答案】C【解析】本题考查向量的运算、向量的夹角公式等,利用点C所在的象限,求出参数λ的范围,再利用∠AOC 的大小求出λ.由已知得,=(1,),=(1,0),则=λ-2=(λ-2,λ),又点C在第二象限,故λ-2<0,λ>0,则0<λ<2,由于∠AOC=120°,所以cos∠AOC==-,解得λ=1,故选C.5．已知-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y=x2+1相切,则双曲线的离心率为A. B. C.2 D.【答案】A【解析】本题考查双曲线的基础知识,考查运算求解能力及灵活变通能力.解析几何是高考的重点,而双曲线在选择、填空题中是必考内容之一,双曲线的复习以基础为主,但要注意其综合性.双曲线的渐近线为y=±x,代入抛物线方程得,x2±x+1=0,∴Δ=-4=0,故e2=+1=5,∴e=,故选A.6．在长度为10的线段AB上任取一点C(异于A,B),则以AC,BC为半径的两圆面积之和小于58π的概率是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查几何概型、一元二次不等式的解法等基础知识,考查考生的运算求解能力.设AC=x,则BC=10-x,0<x<10.由题意知,πx2+π(10-x)2<58π,即x2-10x+21<0,解得3<x<7.故所求的概率为. 7．如图为一个圆柱中挖去两个完全相同的圆锥而形成的几何体的三视图,则该几何体的体积为A.πB.πC.πD.π【答案】C【解析】本题考查三视图的基础知识,考查圆锥与圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通过所给条件正确确定几何体的形状是解题的关键.三视图是必考题,且在高考中形式灵活多样,考生需要提高空间想象能力,以不变应万变,同时加强几何体体积及表面积求法的练习,提高运算能力.由已知三视图,可得这个几何体的直观图如图所示,则其体积为圆柱的体积减去两个圆锥的体积,即π×12×2-2××π×12×1=π,故选C.8．已知x,y满足不等式组,则(x+2)2+(y+1)2的最小值为A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】本题通过线性规划的知识,考查数形结合能力.求解时准确作出可行域,求出(x+2)2+(y+1)2的最小值. 由不等式组作出可行域如图中阴影部分所示,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为可行域内的点与定点C(-2,-1)之间的距离的平方,其最小值为5,故选B.9．定义[x]为不超过x的最大整数,例如[1.3]=1.执行如图所示的程序框图,当输入的x为4.7时,输出的y值为A.7B.8.6C.10.2D.11.8【答案】C【解析】本题考查程序框图的知识,考查考生分析问题、解决问题的能力.注意求解时准确判断条件满足与否,决定程序执行的方向.当输入的x为4.7,执行程序框图可知,4.7-[4.7]=0.7,即4.7-[4.7]不等于0,因而可得y=7+([4.7-3]+1)×1.6=10.2,输出的值为10.2,故选C.10．已知函数f(x)=,如果对任意的n∈N*,定义f n(x)=x)]},那么f2 016(2)的值为A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】本题以分段函数为背景考查函数求值、函数的周期性等知识.分段函数仍是新课标高考中的热点,另外,函数的零点、函数的性质等也备受命题者的青睐,考生一定要多关注.∵f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,∴f n(2)的值具有周期性,且周期为3,∴f2 016(2)=f3×672(2)=f3(2)=2,故选C.11．已知椭圆+=1(a>b>0)及圆O:x2+y2=a2,如图过点B(0,a)与椭圆相切的直线l交圆O于点A,若∠AOB=60°,则椭圆的离心率为A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查椭圆的基础知识,考查直线与圆、椭圆的位置关系等,突出对转化能力、运算能力等的考查.求解时将直线方程与椭圆方程联立,确定相切时直线的斜率,进而求出直线与圆的交点坐标,利用向量求角的余弦值,得出离心率,也可利用直线l的斜率与离心率e的关系数形结合求解.由已知,显然直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=kx+a,则由得(b2+a2k2)x2+2a3kx+a2c2=0, ∴Δ=4a6k2-4a2c2(b2+a2k2)=0,结合图形解得k=,即直线l的方程为y=x+a.通解y=x+a与x2+y2=a2联立得x A=,y A=,由于∠AOB=60°,因而cos∠AOB=,即,∴,得e=,故选A.优解故直线l的斜率为=e,由于∠AOB=60°,设AB与x轴交于点C,则在Rt△OBC中,∠OCB=30°,因而e=tan ∠OCB=,故选A.12．已知f(x)是定义在(0,)上的函数,其导函数为f'(x),若恒有f(x)<f'(x)tan x成立,则下列结论成立的是A.f()>f()B.f(1)<2f()C.f()>f()D.f()<f()【答案】D【解析】本题将三角知识、函数与导数相结合,考查角度新颖,对考生的综合能力要求较高.由f(x)<f'(x)tan x,且x∈(0,),知f(x)cos x<f'(x)sin x,设g(x)=,则g'(x)=>0,g(x)在(0,)上为增函数,g()>g(),也就是 ,∴f()<f(),故选D.二、填空题：共4题13．某校共有3 000名学生,其中男生1 800名,为调查学生对学校伙食的满意度,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为300的样本,则样本中女生的人数为.【答案】120【解析】本题主要考查了分层抽样的有关知识,属于容易题.解题的关键是根据分层抽样所满足的比例关系列出等式,从而求出女生的人数.设样本中女生的人数为x,则,∴x=120,即样本中女生的人数为120.14．已知函数f(x)=a ln x+(x+1)2,若图象上存在两个不同的点A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1>x2),使得f(x1)-f(x2)≤4(x1-x2)成立,则实数a的取值范围为.【答案】(-∞,]【解析】本题考查运用导数知识解决函数问题,考查考生的基本运算能力与分析、解决问题的能力.求解时构造函数,求得函数g(x)的最大值,即可求得a的取值范围.由题意可得,f(x)=a ln x+x2+2x+1,f'(x)=+2(x+1),由题意知,存在x>0,使得f'(x)≤4成立,即存在x>0,使得a≤-2x2+2x成立,设g(x)=-2x2+2x=-2(x-)2+,其最大值为,因而a≤.15．已知过球面上三点A,B,C的平面与球心的距离为球半径的一半,且△ABC的三边长分别为3,4,5,则该球的表面积为.【答案】【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力,高考中对于与球相关知识的考查,往往结合球的内接柱、锥等几何体,考查球的表面积或体积的求解.设球的半径为R,由题意可知,R2=+,解得R2=,则球的表面积为4πR2=.16．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2,若a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2n a2n+1≥t·n2对任意的n∈N*恒成立,则t的最大值为.【答案】-12【解析】本题考查数列的知识,立意新颖,突出对考生综合能力的考查.由已知S n=n2可得,n=1时,a1=1,n≥2时,a n=S n-S n-1=2n-1,a1=1适合上式,因而数列{a n}是公差为2的等差数列, a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+a2n-1a2n-a2n a2n+1=a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1)=-4(a2+a4+…+a2n)=-4×=-8n2-4n.若对任意的n∈N*不等式-8n2-4n≥t·n2恒成立,则t≤--8恒成立,因而t≤-12,t的最大值为-12.三、解答题：共8题17．已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中c为最长边.(1)若sin2A+sin2B=1,试判断△ABC的形状;(2)若a2-c2=2b,且sin B=4cos A sin C,求b的值.【答案】(1)由已知,sin2A+sin2B=1,∴sin2A=1-sin2B=cos2B,由于c为最长边,∴A,B均为锐角,则sin A=cos B.∴sin A=sin(-B),∴A=-B,即A+B=.故△ABC为直角三角形.(2)由已知sin B=4cos A sin C,结合正弦定理和余弦定理得b=×c,即b2=2(a2-c2),又a2-c2=2b,∴b2=4b,又b≠0,∴b=4.【解析】本题考查正、余弦定理,同角三角函数之间的关系等知识.第(1)问通过同角三角函数的关系式、诱导公式判断三角形的形状;第(2)问利用正、余弦定理求b的值.【备注】正、余弦定理,三角形的面积公式是解三角形的必要工具,求解三角形问题时常常需要利用正、余弦定理实现边角转换,在边角转换过程中,一定不要省略步骤,否则容易造成不必要的错误.另一方面,要注意三角公式中的变式应用,如sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C,sin2A-sin2B=sin(A+B)sin(A-B)等.18．对甲、乙两名同学的8次数学测试的成绩(满分60分)进行统计分析,记录的成绩如下:甲:52,51,49,48,54,48,49,49乙:60,53,50,45,56,48,43,45(1)画出两名同学成绩的茎叶图,并分别求两名同学成绩的平均值和方差,对两名同学的成绩进行统计分析;(2)现从甲同学的成绩中抽取一数据x(x≥50),从乙同学的成绩中抽取一数据y(y<50),求x-y≥10的概率.【答案】(1)茎叶图如图所示.甲同学的平均成绩为=50分,乙同学的平均成绩为=50分,甲同学成绩的方差为[(52-50)2+(51-50)2+(49-50)2+(48-50)2+(54-50)2+(48-50)2+(49-50)2+(49-50)2]=4, 乙同学成绩的方差为[(60-50)2+(53-50)2+(50-50)2+(45-50)2+(56-50)2+(48-50)2+(43-50)2+(45-50)2]=31,由于平均成绩反映的是两名同学的平均水平,因而可知甲、乙两名同学的平均水平相当,而甲同学成绩的方差远远小于乙同学成绩的方差,因而从考试发挥的稳定程度上看,甲同学的成绩更稳定. (2)现从甲同学的成绩中抽取一数据x(x≥50),有51,52,54三种可能,从乙同学的成绩中抽取一数据y(y<50),有45,48,43,45四种可能,因而总的可能结果有(51,45),(51,48),(51,43),(51,45),(52,45),(52,48),(52,43),(52,45),(54,45),(54,48),(54,43),(54,45),共12种情况,设“x-y≥10”为事件M,则M所包含的情况有(54,43),共1种,故P(M)=.【解析】本题考查茎叶图、古典概型概率的求法等知识,考查考生的运算能力及分析问题、解决问题的能力. 【备注】分析近几年高考试题,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点.在解题中需注意:①认真审题,理清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频数分布表、样本数据等,将其转化成解题必备的数学信息;②分清所求概率类型,是古典概型,还是几何概型等;③将随机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不缜密造成不必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并提高知识整合能力,特别是提高知识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.19．如图,将菱形AECF沿对角线EF折叠,分别过E,F作AC所在平面的垂线ED,FB,垂足分别为D,B,四边形ABCD为菱形,且∠BAD=60°.(1)求证:FC∥平面ADE;(2)若AB=2BF=2,求该几何体的体积.【答案】(1)由题意知FB∥DE,FB⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,∴FB∥平面ADE,又BC∥AD,BC⊄平面ADE,AD⊂平面ADE,∴BC∥平面AD E.∵FB∩BC=B,BC,FB⊂平面BFC,∴平面BFC∥平面ADE,又FC⊂平面BFC,∴FC∥平面AD E.(2)连接BD,AC,且BD∩AC=O,∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,又DE⊥平面ABCD,∴AC⊥ED,又BD∩ED=D,∴AC⊥平面BDEF,又OC=OA,∴V C-BDEF=V A-BDEF,∵AB=2BF=2,∠BAD=60°,∴S 四边形BDEF=1×2=2,OC=,∴V C-BDEF=×2×,∴该几何体的体积为.【解析】本题以通过折叠形成的不规则几何体为载体,考查空间线面垂直、线线垂直、线面平行等位置关系的证明及空间几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性.【备注】高考立体几何解答题主要考查线线、线面、面面平行与垂直的证明,且多为中低档题,因此在复习时,要做到以下三点:(1)抓住重点, 立体几何的重点是线线、线面、面面平行与垂直的证明及简单几何体表(侧)面积、体积的计算,考生要强化训练,熟悉证明及求解的方法;(2)注重规范,即注重立体几何证明中书写的规范性,包括语言的规范性、过程的规范性等,对于这一点,考生要加强针对性训练,做到没有遗漏;(3)提升能力,在复习过程中,考生要不断培养自己的空间想象能力、逻辑思维能力和推理能力.20．已知点P是抛物线C:y2=x在第四象限内的点,抛物线在点P处的切线l分别交x轴,y轴于不同的两点A,B.(1)若圆心在x轴上的圆M与切线l也相切于点P,且满足|PB|=|PM|,求圆M的标准方程;(2)在(1)的条件下,记过点A且与直线l垂直的直线为m,Q是抛物线C上的点,若点Q到直线m的距离最小,求点Q的坐标.【答案】(1)设P(t2,t),t<0,切线l的方程为y-t=k(x-t2),其中k≠0,联立,得y2-y+-t2=0,由Δ=-4(-t2)=0得k=,因此直线l的方程为y-t=(x-t2),即x-2ty+t2=0. 令y=0,得x=-t2,所以A(-t2,0),令x=0,得y=,所以B(0,).设M(a,0),因为圆M与l相切于点P,|PB|=|PM|,且PB⊥PM,所以|MB|2=2|PB|2,即a2+=2(t4+),所以a2=+2t4①,又·=0,所以-t2(a-t2)+=0,即t2=a-②.联立①②解得a=或a=(舍去),|PM|2=,所以圆M的标准方程为(x-)2+y2= .(2)由(1)知A(-1,0),直线l的斜率为-,所以直线m的斜率为2,故直线m的方程为2x-y+2=0.设与直线m平行且与抛物线C相切的直线为2x-y+b=0(b≠2),代入抛物线方程,得y2=,即2y2-y+b=0,由Δ1=1-8b=0得b=,此时y=,x=,所以点Q的坐标为(,).【解析】本题主要考查抛物线、圆等基础知识,考查圆的标准方程的求法,考查考生的化归与转化思想. 【备注】分析近几年新课标全国卷Ⅱ,不难发现解析几何的考查基本稳定在椭圆、圆、抛物线上,已知条件以向量形式给出也很普遍.本题以圆与抛物线相结合的方式进行考查,突破传统思维定势的影响,提高了复习的全面性与灵活性.21．已知函数f(x)=,g(x)=ax-a.(1)判断函数f(x)的单调性并求其极值;(2)若函数g(x)的图象与函数f(x)的图象相切,求a的值及切点的坐标.【答案】(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞),由f'(x)==0,得x=e,当x∈(0,e)时,f'(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)为减函数,所以f(x)有极大值f(e)=,无极小值.(2)设函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切于点M(t,),由f'(x)=,则f'(t)==a,且=at-a,消去a得(2t-1)ln t-t+1=0.设h(t)=(2t-1)ln t-t+1,则h'(t)=2ln t+-1=2ln t-+1.设φ(t)=2ln t-+1,则φ'(t)=+>0,所以φ(t)=2ln t-+1在其定义域上单调递增,即h'(t)=2ln t-+1单调递增.又h'(1)=0,所以当t∈(0,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减,当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增,所以h(t)的最小值为h(1)=0,所以(2t-1)ln t-t+1=0仅有一解t=1,此时a==1,切点为M(1,0).【解析】本题主要考查利用导数研究曲线的切线,函数的单调性、极值等,考查考生的运算求解能力.【备注】函数的单调性、极值、最值的应用是高考命题的重点与热点,导数与不等式等结合的题目成为整套试卷的压轴题,并且其难度不会再加大,会保持相对平稳,因此猜想2016年高考对函数单调性、极值、最值等仍会重点考查,而且已知条件中函数表达式的结构不会太复杂.22．如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于D,交△ABC的外接圆于E,延长AC交△DCE的外接圆于F.(1)求证:BD=DF;(2)若AD=3,AE=5,求EF的长.【答案】(1)在△ABC的外接圆中,∠ABC=∠AEC,在△DEC的外接圆中,∠DEC=∠DFC,因而∠ABC=∠DFC. 又AD是∠BAC的平分线,∴∠BAD=∠CAD,又AD=AD,∴△ADB≌△ADF,∴DB=DF.(2)由(1),同理得∠BAD=∠BCE,∠DCE=∠DFE,∠BAD=∠CAD,∴∠CAD=∠DFE,∴△FDE∽△AFE,因而,即EF2=AE·DE=10,即EF=.【解析】高考对本部分内容的考查主要围绕圆的切线问题进行,主要考查考生的推理能力、逻辑思维能力.灵活运用与圆有关的定理、几何性质是解题的关键.23．已知曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos(θ+)-2=0.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy.(1)若直线l过原点,且被曲线C截得的弦长最小,求直线l的直角坐标方程;(2)若M是曲线C上的动点,且点M的直角坐标为(x,y),求x+y的最大值.【答案】(1)ρ2-2ρcos(θ+)-2=0,即ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0,将代入得曲线C的直角坐标方程为(x-1)2+(y+1)2=4,圆心C(1,-1),若直线l被曲线C截得的弦长最小,则直线l与OC垂直,即k l·k OC=-1,因而k l=1,故直线l的直角坐标方程为y=x.(2)因为M是曲线C上的动点,因而利用圆的参数方程可设(φ为参数),则x+y=2sinφ+2cosφ=2sin(φ+),当sin(φ+)=1时,x+y取得最大值2.【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的位置关系等知识,考查考生的运算求解能力.24．已知函数f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a.(1)当a=-1时,解不等式f(x)≤g(x);(2)若存在x0∈R,使得f(x0)≥g(x0),求实数a的取值范围.【答案】(1)当a=-1时,不等式f(x)≤g(x),即|x+1|≤2|x|-1,从而,即x≤-1,或,即-1<x≤-,或,即x≥2.从而不等式f(x)≤g(x)的解集为{x|x≤-或x≥2}.(2)存在x0∈R,使得f(x0)≥g(x0),即存在x0∈R,使得|x0+1|≥|x0|+,即存在x0∈R,使得≤|x0+1|-|x0|.设h(x)=|x+1|-|x|=,则h(x)的最大值为1,因而≤1,即a≤2.【解析】本题考查绝对值不等式的求解,分类讨论很关键,第(2)问是本题的难点,是存在性问题,需要考生将该问题与恒成立问题加以区分,虽然都是转化为求最值问题,但有根本的区别.。