2020版人教A版高中数学必修三导练课件：2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征

解析:(1)由题意,得 x1 =61, x2 =62,s1= 316 ,s2= 342 , x1 < x2 ,s2>s1,故选 D.
7
7
答案:(1)D
第十四页，编辑于星期日：一点 十一分。
(2)在某电视台举办的挑战主持人大赛上,七位评委为某选手打出的分数的茎
叶统计图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的方差
第二页，编辑于星期日：一点 十一分。
新知导学·素养养成
1.众数、中位数、平均数
名称
定义
众数
一组数据中出现次数 为这组数据的众数
最多的数称
在频率分布直方 图中的估计方法
最高的矩形的 底边中.点
一组数据中的中位数是唯一
中 一组数据按从小到大的顺序排成一列 的,反集映中了趋该势组数据的
位 ,处于中间位置的数称为这组数据的 .在频率分布直方图中,中位
60 有 63 名学生可以进入复赛.
第二十页，编辑于星期日：一点 十一分。
题型三 频率分布直方图中的样本数字特征 [例3] 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标 值,由测量结果得如下频数分布表:
质量指标 值分组
[75, 85)
[85, 95)
频数
6
26
(1)作出这些数据的频率分布直方图;
第八页，编辑于星期日：一点 十一分。
课堂探究·素养提升
题型一 求众数、中位数、平均数 [例1] 据报道,某公司的33名职工的月工资(单位:元)如下表:
职务 董事长 副董事长 董事 总经理 经理 管理员
人数
1
1
2
1
5
3
工资 5 500
5 000 3 500 3 000 2 500 2 000
(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数(精确到元);
所以 s≈1.22,
故样本的平均成绩为 6 分,标准差约为 1.22 分.
第十九页，编辑于星期日：一点 十一分。
(2)若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少名学生可以进 入复赛.
解:(2)在 60 名学生中,有 12+3+3=18(名)学生预赛成绩在 7 分或 7 分以上, 所以 210 人中有 18 ×210=63(名)学生的预赛成绩在 7 分或 7 分以上,故大约
≈1 500+1 788 =3 288(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元. (3)在这个问题中,中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平.因为公司中少数 人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以 平均数不能反映这个公司职工的工资水平.
第十一页，编辑于星期日：一点 十一分。
标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,数据的离散 程度较小. (2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等 的情况下,比较方差或标准差以确定稳定性.
第十六页，编辑于星期日：一点 十一分。
即时训练2-1:已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右,下面是在甲、乙两地六个时 刻测得的温度,你认为甲、乙两地哪个地方更适合母鸡产蛋?
时刻(时)
4
8
12
16
20
24
甲地
-5
7
15
14
-4
-3
温度
(℃) 乙地
1
4
10
7
2
0
第十七页，编辑于星期日：一点 十一分。
解:① x甲 = 1 ×(-5+7+15+14-4-3)=4, 6
x乙 = 1 ×(1+4+10+7+2+0)=4. 6
②极差:甲地温度极差为15-(-5)=20;
乙地温度极差为10-0=10.
(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.
第二十三页，编辑于星期日：一点 十一分。
方法技巧
(1)频率分布直方图中的众数是最高小长方形底边中点的横坐标,中位数是平 分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标,即累 积频率为0.5的样本数据值. (2)根据频率分布直方图求平均数的方法:频率分布直方图中每个小长方形的 面积乘小长方形底边中点的横坐标之和.
②计算公式: s=
(2)方差
1
n
2
x1 x
2
x2 x
xn
x
2
①定义:标准差的平方.
②计算公式:
平均距,离一般用s表示. .
s2= 1 [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2] .
n
第五页，编辑于星期日：一点 十一分。
思考2:当样本数据的标准差为0时,该组数据有何特点? 答案:当样本数据的标准差为0时,该组数据都相等. 思考3:标准差、方差的意义是什么? 答案:标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的 离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
成绩如表:
成绩 1分 2分 3分 4分 5分 6分 7分 8分 9分 10分
人数 分布
0
0
0
6 15 21 12 3
3
0
(1)求样本的平均成绩和标准差(精确到0.01分);
解:(1) x = 1 ×(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6,s2= 1 ×[6×
60
60
(4-6)2+15×(5-6)2+21×(6-6)2+12×(7-6)2+3×(8-6)2+3×(9-6)2]=1.5,
(3)根据频率分布直方图求一组数据的方差的方法:先利用组中值乘以频率 (即每组矩形的面积)求和得 x ,再将平均数减去每组的组中值平方后乘以该 组的频率求和.
③标准差:s 甲=
1 6
5
42
≈8.4;
4
42
3
42
s 乙=
1 6
1
42
2
42
0
42
≈3.5.
显然两地的平均温度相等,乙地温度的极差、标准差较小,说明了乙地温度波动较小.
因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
第十八页，编辑于星期日：一点 十一分。
[备用例2] 某市有210名初中生参加数学竞赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,
数 中位数
数左边和右边的直方图的面
积 相等 .
第三页，编辑于星期日：一点 十一分。
一组数据的和与这组数据的
平 个数的商称为这组数据的平 平均数的估计值等于频率分布直方
均 均数.数据 x1,x2,…,xn 的平 图中每个小矩形的面积乘以小矩形
数 均数为 x = x1 x2 xn n
底边中点的横坐标 之和
解:(2)质量指标值的样本平均数为 x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为 s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104. 所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为 100,方差的估计值为 104.
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字 特征
第一页，编辑于星期日：一点 十一分。
[目标导航]
课标要求
1.能合理地选取样本,并从中提取基本的数字特征. 2.了解众数、中位数、平均数的概念,会计算方差和标准差. 3.进一步体会用样本估计总体的思想,会用样本的数字特征估 计总体的数字特征.
素养达成
通过用样本的数字特征估计总体的数字特征的学习,逐步提升 学生的数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养
(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元,董事长的工资从5 500元提升到30 000元,那么新的平均数、中位数、众数又是多少?(精确到元) (3)你认为哪个统计量更能反映这个公司职工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看 法.
解:(2)平均数是 x '=1 500+ 28500 18500 2000 2 1500 1000 5 500 3 0 20 33
职员 20 1 500
第九页，编辑于星期日：一点 十一分。
解:(1)平均数是 x =1 500+ 4000 3500 2000 2 1500 1000 5 500 3 0 20
33 ≈1 500+591 =2 091(元). 中位数是 1 500 元,众数是 1 500 元.
第十页，编辑于星期日：一点 十一分。
[95, 105)
38
[105, 115)
22
[115, 125)
8
第二十一页，编辑于星期日：一点 十一分。
解:(1)
第二十二页，编辑于星期日：一点 十一分。
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值 作代表); (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产 品至少要占全部产品80%”的规定?
思考1:平均数、中位数、众数中,哪个量与样本的每一个数据有关,它有何缺点? 答案:平均数与样本的每一个数据有关,它可以反映出更多的关于样本数据 总体的信息,但是平均数受数据中极端值的影响较大.
第四页，编辑于星期日：一点 十一分。
2.标准差与方差的概念
(1)标准差
①定义:标准差是样本数据到平均数的一种
第七页，编辑于星期日：一点 十一分。
②平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时也会使我 们作出对总体的片面判断,因为这个平均数掩盖了一些极端的情况,而这些极 端情况显然是不能忽视的.因此,还需要用标准差来反映数据的分散程 度. ③现实中的总体所包含的个体数往往是很多的,虽然总体的平均数与标准差客观 存在,但是我们无从知道.所以通常的做法是用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差.虽然样本具有随机性,不同的样本测得的数据不一 样,与总体的数字特征也可能不同,但只要样本的代表性好,这样做就是合理的, 也是可以接受的.
第六页，编辑于星期日：一点 十一分。
名师点津 (1)平均数、方差公式的推广 ①若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,那么 mx1+a,mx2+a,mx3+a,…,mxn+a 的平 均数是 m x +a. ②设数据 x1,x2,…,xn 的平均数为 x ,方差为 s2,则 a.数据 x1+a,x2+a,…,xn+a 的方差也为 s2; b.数据 ax1,ax2,…,axn 的方差为 a2s2. (2)用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征的理解 ①样本的基本数字特征包括众数、中位数、平均数、标准差.
是
.
解析:（2)去掉最高分 97 分和最低分 78 分后,剩下数据的平均数 x =80+ 1 (4+4+6+5+6)=85, 5
故所剩数据的方差为 s2= 1 [(84-85)2×2+(86-85)2×2+(85-85)2]= 4 .
答案:(2) 4
5
5
5
第十五页，编辑于星期日：一点 十一分。
方法技巧
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
解析:在这 11 个数中,数 3 出现了 6 次,故众数是 3;将这 11 个数按从小到大顺序排列得 2, 2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,中间数据是 3,故中位数是 3;而平均数 x = 2 2 3 6 6 2 10 =
11 4.故只有①正确.故选 A.
数据Hale Waihona Puke 动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
第十二页，编辑于星期日：一点 十一分。
即时训练1-1:对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有以下结论:
①这组数据的众数是3;②这组数据的众数与中位数的数值不相等;③这组数据
的中位数与平均数的数值相等;④这组数据的平均数与众数的数值相等.
其中正确的结论有( )
误区警示 (1)众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量,平均数是最重 要的量.由于平均数与每一个样本数据有关,因此,任何一个样本数据的改变都 会引起平均数的改变.这是中位数、众数都不具有的性质. (2)众数反映各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关,当 一组数据中有数据多次重复出现时,其众数往往更能反映问题. (3)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对中位数没有影响, 中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中仅有个别
第十三页，编辑于星期日：一点 十一分。
题型二 方差、标准差的应用 [例2] (1)如图是Ⅰ,Ⅱ两组各7名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设Ⅰ,Ⅱ两 组数据的平均数依次为和,标准差依次为s1和s2,那么( )
(A) x1 > x2 ,s1>s2 (C) x1 < x2 ,s1>s2
(B) x1 > x2 ,s1<s2 (D) x1 < x2 ,s1<s2