基于实验,以数据研究不确定性——“监狱的椅子”教学实践与启示

人类在观察或者预测某一现象时，会产生
两种情形：一是在某些相同条件下，事件发生的
结果隐含因果关系，是确定的；二是尽管某些条
件相同，但是事件发生的结果并不能事先确定，
有不确定性，概率便是用来测量这种不确定性
事件可能发生的程度的一个指标[1]。

在PISA1999研究框架中，把“不确定性”“变化与增长”“空间与形状”“定量思维”并列为四大数
学内容，所以概率内容进入小学数学课程是国
际化趋势，一些重要文献给出了这样的解释：它
为学生参与有趣的、有目的的学习活动提供了
机会，无论在什么地方进行讲授，结果都是积极
的，而且促进了学生数学思维的发展[1]。

2022年版课标提出在第三学段开设概率内容，其中一个主题是“随机现象发生的可能性”。

相应的内容要求为：“（1）通过实例感受简单的随机现象及其结果发生的可能性；（2）在实际情境中，对一些简单随机现象发生可能性的大小作出定性描述。

”学业要求为：“能列举生活中的随机现象，列出简单随机现象中所有可能发生的结果，判断简单随机现象发生可能性的大小。

对于现实生活中的一些简单问题，能根据数据提供的信息，判断随机现象发生的可能性。

”然而如史宁中教授所言：“当今中小学数学增加了统计学和概率论的内容，这些内容是一种‘不确定性数学’内容，与传统的‘确定性数学’内容有较大区别。

这使得数学教育工作者普遍感到不适应。

”[2]的确，实际学习时，小学生很难描述可能性及不确定性。

学生在理解上会有以下困惑：既然是可能的，就是不可以计算的；既然可能性是可以计算的，那就是确定的。

同时学生在学习过程中会产生这样的认知冲突：概率结论与学生经验形成的直觉之间的矛盾，随机思想与已经养成的确定性思维习惯之间的矛盾。

学习内容如此重要，学习起来又如此艰难。

我们以“监狱的椅子”为素材，通过掷两颗骰子，并根据骰子上两数之差释放对应椅子上犯人的情境，设计了结构明确、探究空间大的板块式教学，试图寻找一种可供教师们借鉴的范式。

课堂上，学生一共经历了三轮掷骰子的实验，我们关注他们对随机不同层次的理解，并注意每次实验的学习方式的选择，以帮助学生理解数据与可能性。

一、课堂教学实录与思考
【片段1】第一轮实验：教师掷并记录。

1.课前准备。

课前，教师在黑板上画表格（如表1），并在教室的一侧一字摆开6把椅子，每把椅子上分别标上数0、1、2、3、4、5。

表1
012
34
5
基于实验，
以数据研究不确定性
◇
麻永侃章勤琼陈六一
——“监狱的椅子”教学实践与启示24
教师板书课题“监狱的椅子”，提问：“表格里有哪些数？老师这里有两颗骰子，你觉得这两颗骰子跟这些数有什么关系？”学生通过交流明确：（1）两颗骰子掷出的数之差只有6种可能，分别是0、1、2、3、4、5；（2）6把椅子代表监狱，上面分别标上0、1、2、3、4、5；（3）根据掷出的两个数之差，释放相应椅子上的犯人。

2.选择号码并说明理由。

师：你感觉几号椅子上的犯人最先被放出来？为什么？
生1：3号，我感觉小的数、大的数都很难掷出来。

师：你会选几号？
生2：4号。

生3：2号～4号。

师：只选1个呢？
生3：2号。

师：为什么不选4号？
生3：4不吉利。

……
生4：我选1号，因为别的号都被选完了。

3.投掷游戏。

每掷1次，教师就在表格上相应的差下面用画“正”字的方法记录出现的次数。

师：第1次掷出了6和5，差是1。

生4，请你发表一下获奖感言，因为你是最后一个选的，也是没得选的。

生4：很惊喜，没得选，却选中了掷出的第一个释放数字。

师：所以人生充满惊喜，对吗？
师：第2次掷出了6和4，差是2。

你们觉得下一次掷出的差会是几？
生：3、0、5、4……
师：第3次掷出了2和1。

差是几？
生：还是1。

师：第4次掷出了2和1。

嗯，这是为什么？
生：骰子坏了吧？有猫腻？
师：（又掷了7次，点数都是2和1）我继续掷。

这次掷出了5和1。

生2，我记得你是很早
选的哦，请发表一下获奖感言。

生2苦笑，其他学生窃笑。

师：这次掷出了6和3。

生1喊了一声“耶”。

师：这次掷出了3和3。

生：0号也出来了。

又掷了14次，一直没有出现5。

师：5号好可怜哦，要崩溃了。

生：只有掷出6和1才行。

师：（又掷了2次）终于掷出了6和1。

全班学生鼓掌。

师：说一下什么感受。

生：别人都有这么多可能，而我只有1种可能。

师：谁记得释放的顺序？
生：1、2、4、3、0、5。

思考：投掷前，学生挑数时的理由是五花八门的，可见教学之初，学生对随机的理解水平处于“随机就是随便”的层次。

而随着一次次掷骰子，学生内心从一开始的看热闹“到底谁最幸运，谁能第一个出来”，到连续掷了几次骰子差都为1时，他们怀疑“骰子坏了”，再到由5号始终不能“出狱”，想到只有掷出6和1，5号才能“出狱”。

7分钟掷40次，“逼”着学生思考“哪个差出现的可能性更大”。

【片段2】第二轮实验：教师掷，学生记录。

1.小组讨论。

师：刚才我们是完全凭感觉，现在不能这样了，你们要开始想一想了。

小组之间先讨论。

如果还是每个人选择1把椅子，你们会先选哪把？刚才谁选的椅子上的犯人是最晚被释放的谁就先选。

小组讨论，各组依次选择的是1、2、4、3、0、5，与第一轮掷后的结果相同。

2.实验要求。

认真看老师掷骰子，在学习单上做好记录。

3.实验。

师：一下子就掷出了6和1。

生：哇！（学生都张大了嘴巴）
一共掷了15次，释放出全部犯人，顺序依次为：5、0、1、2、4、
3。

25
4.交流。

师：我们刚才在玩的时候，这位同学就说发现了规律。

来，你跟大家说说发现了什么规律。

生：我觉得前面抽到的是5，后面其他数掷出来的概率就大，掷的总次数会少。

思考：通过第一轮实验，学生发现随机这件事情是可以分析的，这时他们对随机的理解水平层次提高了，即认为随机不是随便的，但尚停留在孤立而不是整体地看待事件层次。

所以大部分学生认为第一轮实验时差按怎样的顺序出现，第二轮实验时还会像第一轮那样出现，这是一个确定的事情。

但有意思的是，在第二轮掷骰子等待结果的过程中，有学生说发现了规律，不过由于语言表达能力弱，难以说明白。

可见，学生逐渐感受到随机不是随便的，是有规律可循的，他们开始用自己认为的规律来考虑随机这种事情。

【片段3】第三轮掷骰子：学生掷并记录。

1.实验要求。

（1）小组内讨论，记录下你们觉得可能的释放顺序和投掷总次数。

（2）小组内掷骰子，做好记录。

每掷1次，都在对应的空格里记录下来。

2.整理记录。

整理各组的记录，如表2所示。

表2
组别第1组第2组第3组第4组第5组第6组预测释放顺序
1、2、0、4、3、5
1、2、0、4、3、5
1、2、0、4、3、5
3、1、2、
4、0、5
0、2、1、3、5、4
2、1、0、4、
3、5
实际释放顺序
1、0、5、3、
2、4
0、2、3、1、5、4
2、0、
3、1、
4、5
3、2、1、0、
4、5
4、1、2、
5、0、3
0、1、3、2、5、4
3.观察表格。

师：现在给大家一点时间观察表格，看看你有什么发现。

生：预测的时候，大家都把5、4放在后面，把1往前面放。

生：大家的预测都比较准确，把5、4往后排，实际上4、5确实在后面，只有第5组有点儿不同。

4.在Excel软件上统计各组的记录，生成以下表和图（如图1）。

21.1%
6.8%
3.4%
15.0%
32.0%
21.8%
图1
师：在图表里你看到了什么？
师：这么多差里面，哪个是你们最容易接受的？
生：1。

生：5。

师：如果让你重新选，你会怎么选？
生：我会先选1，不会先选5。

师：有人说第二轮实验时偏偏是5最早出现，你怎么解释？
生：可能性有大有小，但这个大小不能确定实际情况。

生：在大量实验的情况下，可以发现5出现的可能性较小，但就某轮实验来说，哪个差先出现都有可能。

思考：第二轮实验时，学生发现自己的说理不充分，可是应该怎么分析才更合适呢？此时，教师给他们提供了再次实验的机会，试着找出实际发生的情况与理论概率之间的关系。

学生第一次的判断不准，而第一轮实验的数据成了第二轮实验的参考，第三轮实验时全班六组的结果让学生开始真正审视数据，从数据中发现实验背后的信息：
0到5
这六个差出现的可能性是有大有
小的，
但犯人实际被释放的顺序，
即椅子序号不
一定完全按照这个大小来决定。

通过这样层层
逼近的方式，学生对用频率推断概率的方法有了
体悟，尽管他们还不知道何为频率、何为概率。

在第三轮掷骰子实验之后，教师和学生一起整理26
数据，并鼓励学生观察数据，发现结论，即引导学生从个别的现象出发推测整体，这是统计思维，也是归纳思维。

统计思维是由特殊到一般，或者说由一个范围内的结论推断更大范围内的结论，这样的归纳往往导致创新。

“监狱的椅子”提供了让学生通过归纳自己的实验数据得出结论的素材，体现了与传统数学不一样的思路，而这种思路可培养学生的创新意识。

二、、
对小学数学课堂教学的启示1.选择良好素材，义务教育阶段，统计与概率教学的关键是发展学生的数据分析观念，前提是使学生想到用数据，愿意用数据，能从数据中提取一些信息。

换句话说，要让学生亲近数据，就必须使他们体会到数据中蕴含的信息。

事实上，教材中也有类似的素材，如“掷一掷”，但采取两个骰子之和的方式，会出现13种不同的情况，使得课堂上的探究活动不容易展开。

本节课以“监狱的椅子”为素材，具有样本空间小、易于研究的特点，而且其中0这个特殊情况隐藏得好，学生不容易凭借直觉猜到结果，但游戏的规则又很简单、易于操作，学生对释放犯人这一行为有很强的代入感，不管是情绪，还是理智，卷入程度都很高。

从教学实录中可以看出：随着教学的推进，学生想揭秘“为什么”的念头越来越强烈，对数据统计越来越感兴趣；从三轮掷骰子的实验中，学生不断获取信息，逐步领悟通过数据判断比瞎猜好。

统计与概率教学，首先应该让学生不惧怕数据，喜欢数据，然后合理地运用和分析数据，知道通过数据能够帮助人们做事，感受数据的力量。

当然，统计与概率是科学又是艺术，为了培养学生的艺术鉴赏力，就要帮助学生积累经验。

经验与知识不一样，知识有可能教了就会，但经验是需要日积月累的，需要像本节课一样，不断诱发学生关注、参与实验并思考为什么，而不是把大部分的课堂时间用来算。

2.体会不确定性，让学生更好地理解随机。

本节课中，每一轮实验取得的数据都来源于“两颗骰子的差”，在实验之前，无法知道结果是
什么，但是掷的次数多了，又能估计出掷出各种结果的可能性有多大，由此推断总体的情况。

但是，由于是用部分推断总体，所以不能保证推断一定是准确无误的。

这样教学，正好体现了数据随机性的两层主要含义：一方面，对于同样的事情，每次收集的数据可能是不同的；另一方面，只要有足够的数据，就可能从中发现规律。

至此，我们可以反思当下的教学：有过多确定性内容的教学，学生通过学习确定性形成“努力一定会成功”的思维定式。

可是，出现意外后，学生如何更好接受呢？回顾“监狱里的椅子”一课，第一轮实验时，最后一个（也就是没有机会）选择椅子号码的学生选到的犯人却第一个被释放；第二轮实验时，大家公认最难掷到的差5，却第一次就掷到了；第三轮实验时，各组一致公认靠前释放的犯人，不见得每次都是靠前释放……这样的活动，除了能让学生更好地理解不确定性，也会让学生直观体会到用数据说话、尊重事实、实事求是的精神。

这样的活动、体验多了，应该能让人更加理性、更加豁达。

或者说，确定的知道是理性，不确定的理解也是理性。

这样的数学育人，启示学生合理的选择未必得到更好的结果，但不放弃合理的选择往往又会比得到的好处更有意思。

一如英国作家塞缪尔∙巴特勒的省思：“生活是一门艺术，可以在不充足的前提下，得出充足的结论。

”
参考文献：：
[1]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009.
[2]史宁中，孔凡哲，秦德生，等.中小学统计及其课程教学设计：数学教育热点问题系列访谈之二[J].课程·教材·教法，2005,25(6).
【本文系2020年国家社科基金一般项目“大数据支持下的中小学合作型课堂组织形式建构研究”（编号：20BGL127）的研究成果】
（作者单位：浙江永嘉县实
验小学，福建师范大学教育学院，南京师范大学苏州实验学校
）
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