河北省冀州中学高三数学上学期期末考试(理)a卷

试卷类型：A 卷 河北冀州中学
2008—2009学年度上学期期末考试
高三年级 数学试题（理）
考试时间 120分钟 试题满分 150分
一、选择题 共12个小题，每个小题5分，满分60分。

在每个小题的四个选项中只有一个是正确的,请将正确答案的代号涂在答题卡上。

1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,5}A =，U {4,5,6}B =ð，则集合
A
B =
A ．}2,1{
B ． {}5
C ．}3,2,1{
D ．{3,4,6}
2．已知直线m ，n 和平面α，则m ∥n 的一个必要非充分条件是 A ．m ∥α、n ∥α B ．m ⊥α、n ⊥α C ．m ∥α、n ⊂α D ．m , n 与α成角相等
3. 椭圆的焦点为(-2，0)和(2，0)，且椭圆过点53
(,)22
-，则椭圆方程是
A. 221610x y +=
B. 221106x y +=
C. 22148x y +=
D. 22
184x y +=
4. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 A ．4 B ．3 C. 2 D ．12
5．若m 、n 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题 正确的是
A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥n
B ．若m ∥α，m ⊂β，α∩β=n ，则m ∥n
C ．若m ∥α，n∥α，则m ∥n
D ．若α∩β =m ，m ⊥n ，则n ⊥α
6．若x ∈[0,
2
π
],当y=2cos(cos )6x x x π++取最大值时,x 所取得值是
.
.
.
.
6
4
8
12
A B C D π
π
π
π
7．将一根铁丝切割成三段做一个面积为24.5m 、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是
A ．9.5m
B ．10 m
C ．10.5m
D ．11m
8．数列{n a }满足:11
3
a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则
12lim()n n a a a →∞+++= A.12 B.23 C.3
2 D.2 9. 已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影
为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于
A ．1
3
B ．
3
C D ．
23
10.设双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，且它的一条准线与抛物线
24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为
A ．
2211224x y -= B ．2214896x y -= C ．221312x y -= D ．22136
x y -= 11．已知P 是椭圆x 24＋y 2
3＝1上一点，F 1、F 2是该椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的内
切圆半径为12，则PF 1→·PF 2→的值为 A 、32
B 、94
C 、－9
4
D 、0
12.已知函数21
()()log 3
x f x x =-，0a b c <<<，()()()0f a f b f c <，实数d 是
函数()f x 的一个零点（即使()0f x =的x 值）．给出下列四个判断：①a d <； ②b d >；③c d <；④c d >．其中可能成立的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二、填空题 每小题5分，满分20分。

请将答案填在答题纸上！
13. 以双曲线2
2:13
x C y -=的右焦点F 为圆心且与C 的渐近线相切的圆的方程为
14、已知060的二面角l a b -- ,,AB a ÌA l Î且AB 与l 夹角为045，则直线
AB 与b 所成角的正弦值为__________.
15．已知点(4,0),(0,4)A B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线AB 反射后再射到直线
OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是________
16．在△ABC 中，若1AC BC =，2AB BC =-，则BC 的值为__________. 三、解答题 共6个小题，满分70分
17．（本题满分10分）函数()sin()(0,0,||)2
f x A x B A π
ωϕωϕ=++>><的图像
上一个最高点的坐标为(
,3)12
π
，与之相邻的一个最低点的坐标为7(
,1)12
π
-.
（Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）求()f x 在6
x π
=
处的切线方程.
18、（本题满分12分）如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆外的地方种草，
ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池,其余地方种花.
若BC=a, ABC=θ∠,设ABC ∆的面积为1S ，正方形
PQRS 的面积为2S ，将比值
2
1
S S 称为“规划合理度”.（1）试用a ,θ表示1S 和2S . （2）当a 为定值，θ变化时, 求“规划合理度”取得最小值时的角θ的大小.
19．（本题满分12分）
如图，五面体11A BCC B -中，41=AB ．底面ABC 是正三角形，
2=AB .四边形11BCC B 是矩形，二面角1A BC C --为直二面角.
（Ⅰ）D 在AC 上运动，当D 在何处时，有//1AB 平面1BDC ,并且说明理由；
（Ⅱ）当//1AB 平面1BDC 时，求二面角D BC C --1的余弦值.
C 1
B 1
D C
B
A B
C
P
Q R
S
已知动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线1x =（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P 的轨迹为曲线C ，过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 交曲线
C 于A 、B 两点，2l 交曲线C 于M 、N 两点,求证：
11FA FB
FM FN
+
⋅⋅为定值．
21．（本小题满分12分）
已知函数34
()13
f x x ax =+-(a R ∈)，其中()f x ¢是()f x 的导函数.
(Ⅰ)若曲线()f x 在点（1，()f x ）处的切线与直线210x y -+=平行，求a 的值；
(Ⅱ)设()()4g x f x ax ¢=--，若对一切1a £，都有0g x ()<恒成立，求x 的取值范围；
（Ⅲ）设2a p =-时，若函数()x f 的图象与直线2y =只有一个公共点，求实数
p 的取值范围.
如图，111(,)P x y 、222(,)P x y 、…、(,)n n n P x y （120n y y y <<<<）
是曲线C ：2
3y x = （0y ≥）上的n 个点，点(,0)i i A a （1,2,3,
,i n =）在x 轴的正半轴上，且
1i i i A A P -∆是正三角形（0A 是坐标原点）．
（Ⅰ）写出1a 、2a 、3a ；
（Ⅱ）求出点(,0)n n A a （n *∈N ）的横坐标n a 关于n 的表达式； （Ⅲ）设1
2
3
21111
n n n n n
b a a a a +++=
+
+
++
，若对任意的正整数n ，当[1,1]m ∈-
时，
不等式2
1
26
n t mt b -
+
>恒成立，求实数t 的取值范围．
高三数学期末考试试题答案（理）
一、【A 卷】ADBBB DCACD BC 二、13、22(2)1x y -+= 14
、4
、 16
17．（本题满分10分）
解：（Ⅰ）依题意的
2121272πππ=-=T ,所以π=T ,于是22==T
πω……………1分 由⎩⎨⎧-=+-=+13B A B A 解得⎩
⎨⎧==12B A ………………………………………………3分
把)3,12(
π代入()2sin(2)1f x x ϕ=++,可得1)6
sin(=+ϕπ,所以226π
πϕπ+=+k ,
所以3
2π
πϕ+
=k ,因为2||π
ϕ<
,所以3
π
ϕ=
综上所述，1)3
2sin(2)(++=π
x x f ………………………………5分
（Ⅱ）因为()4cos(2)3
f x x π
'=+…………………………6分
所以2()4cos(2)4cos
26633k f ππππ
'==⨯+==- ……………………7分
而2()2sin(2)12sin
116633
f ππππ
=⨯++=+=……………………………8分 从而()f x 在6x π=
处的切线方程为1)2()6
y x π
-=--
即6330x y π+--=…………………………………………10分 18、解：（1）、 如图，在Rt ∆ＡＢＣ中 A C =a
s i n ,A θθ，
211S a sin cos 2θθ=
＝221
a sin 4
θ ……………………2分 设正方形的边长为x 则 x
BQ= ,RC=xtan tan θθ
x +x+xtan =a tan θθ∴ 11a x=+tan +tan θθ∴ ＝222a sin sin θθ+
2
22222a sin S x sin θθ⎛⎫
== ⎪+⎝⎭
…………………………6分
（2）、2t sin θ= 而2S ＝2224422a sin sin sin θθθ++1412S 1t S 4t ⎛⎫
∴=++ ⎪⎝⎭
∵0 < θ <
2
π
,又0 <２θ <π,∴0<t ≤１ ∴()1144f t t t ⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
为减函数 …………………………9分
当1t =时
1
2
S S 取得最小值为23此时21sin =4πθθ=∴ ………12分
19、解：（Ⅰ）当D 为AC 中点时,有//1AB 平面1BDC ………1分 证明:连结1B C 交1BC 于O ,连结DO
∵四边形11BCC B 是矩形 ∴O 为1B C 中点
又D 为AC 中点,从而1//DO AB ……………………………3分 ∵1AB ⊄平面1BDC ,DO ⊂平面1BDC
∴//1AB 平面1BDC (4)
分 （Ⅱ）建立空间直角坐标系B xyz -如图所示, 则(0,0,0)B
,,0)A ,(0,2,0)C
,3
(,0)22
D ,1C …………5分 所以3
3
(
,0)22
BD =,1BC =.………7分 设),,(1z y x n =为平
面1B D C 的法
向量,则有3
02
220
x y y
+=⎨⎪+=⎩
,即3x z y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 令1=z ,可得
平面1BDC 的一个法向量为
1(33,1)n =,而平面1B C C 的一个法向量为
2(1,0,0)n =……………………
9分 所以121212cos ,||||13
n n n n n n ⋅<>=
== 所以二面角D BC
C --1
的余弦值为
13
13
3 …………………………12分 20.解：（Ⅰ）设P （,x y 1- .
所以点P 的轨迹方程为2
22x y -=． ……………………………………
3分 （Ⅱ）当直线1l ，2l 之一与x
轴垂直，不妨设1l 与x
轴垂直，此时A
，
(2,B
，(M ，N ，
(0,2FA FB ⋅=⋅=-， (2,0)2,0)2FM FN ⋅=⋅=， 所以
11
0FA FB FM FN
+=⋅⋅．………………………………5分
当直线1l ，2l 都不与x 轴垂直时，
由题意设直线1l 为(2)y k x =- 0k ≠，
则2l 的方程为1
(2)y x k
=--，
由22
(2)
2y k x x y =-⎧⎨-=⎩
得2222(1)4420k x k x k -+--=，因为1l 交双曲线C 于A 、B 两点， 所以2422
10,164(1)(42)0,k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+>⎩解得1k ≠±. ……………………7分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
则212241k x x k +=-，212242
1
k x x k +=-，11(2)y k x =-，22(2)y k x =-，
因为FA =(x 1-2，y 1)，FB =(x 2-2，y 2)，
所以1212(2)(2)FA FB x x y y ⋅=--+21212(1)[2()4]k x x x x =+-++
222
22428(1)(4)11k k k k k +=+-+--222(1)
1
k k -+=-． ………………9分
同理222(1)
1k FM FN k -+⋅=-， …………………………10分
所以11FA FB FM FN
+⋅⋅22
22
111()0211k k k k --=-+=++， 即
11
FA FB FM FN
+⋅⋅为定值0． …………………………12分
21.解：(Ⅰ)2()4f x x a ¢=+，(1)42f a ¢=+=，所以2a =-. …………2分 (Ⅱ) ()()4g x f x ax ¢=--=244x ax a -+-，
令2()(1)44a x a x j =-+-，因为对一切1a £，都有()0g x <恒成立等价于对一切1a £，都有()0a j <恒成立.
所以(1)0,(1)0.j j ì-<ïïíï<ïî即22430,450.x x x x ìï--<ïíï+-<ïî 解得314x -<<.
则当3
(
,1)4
x ?时，对一切1a £，都有()0g x <恒成立. ……………6分
（Ⅲ）当2a p =-时，22()4f x x p ¢=-. ①当0p =时，3
4()13
f x x =
-在(,)-??单调递增，所以函数()x f 的图象与直线2y =有一个公共点. ……………………………………7分 ②当0p ¹时，()(2)(2)f x x p x p ¢=+-.令()0f x ¢
=，得2
p
x =?. 所以当(,
)2p x ??，(,)2
p
x ??时，()0f x ¢>，()x f 单调递增，当(
,)22
p p
x ?时，()0f x ¢<，()x f 单调递减. 因此()x f 的极小值32
4()()()12322
p p p f p =+--=21113p p --<- (10)
分
又()f x 的值域为R ，当(
,)2
p
x ??时，()x f 单调递增，则一定与直2y = 有交点，因此只要()22
p
f -<即可. 而3
3241()()()11223223
p p p f p p -=----=-<
解得p -<，且0p ¹.
综上①②可得实数p 的取值范围是p -<. ……………12分
22解：（Ⅰ）12a =，26a =，312a =；……………3分
（Ⅱ）依题意，得12n n n a a x -+=
，12
n n n a a y --，由此及2
3n
n y x =得 2
113()22n n n n a a a a ---⎫=+⎪⎭
，即2
11()2()n n n n a a a a ---=+． 由（Ⅰ）可猜想：(1)n a n n =+（n *∈N ）． 下面用数学归纳法予以证明： （1）当1n =时，命题显然成立；
（2）假定当n k =时命题成立，即有(1)n a k k =+，则当1n k =+时，由归纳假设及
211()2()k k k k a a a a ++-=+得211[(1)]2[(1)]k k a k k k k a ++-+=++，即 2211()2(1)[(1)][(1)(2)]0k k a k k a k k k k ++-+++-⋅++=，
解之得1(1)(2)k a k k +=++（1(1)k k a k k a +=-<不合题意，舍去）， 即当1n k =+时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．……………7分 （Ⅲ）123
21111n n n n n
b a a a a +++=
++++ 11
1
(1)(2)(2)(3)
2(21)
n n n n n n =
++
+
+++++
2111
112123123
n n n n n n n =
-==
++++⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭． 令1()2f x x x =+（1x ≥），则21
()2210f x x
'=-≥->，所以()f x 在[1,)+∞上是增函
数，故当1x =时，()f x 取得最小值3，即当1n =时，max 1
()6
n b =．
21
26n t mt b -+>（n *∀∈N ，[1,1]m ∀∈-）
2
max 112()66n t mt b ⇔-+>=，即2
20t mt ->（[1,1]m ∀∈-）22
2020
t t t t ⎧->⎪⇔⎨+>⎪⎩． 解之得，实数t 的取值范围为(,2)(2,)-∞-+∞．……………12分。