河南省沈丘县全峰完中高考数学 专题复习 构建数学模型解数列综合题和应用性问题教案 新人教A版 教案

河南省沈丘县全峰完中高考数学 专题复习 构建数学模型解数列综合题和应用性问题教案 新人教A 版
高考要求
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关
概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度
重难点归纳
1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的
能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题
典型题例示范讲解
例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，
本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少5
1
，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项
4
1
(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解
决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型
知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等
知识点
错解分析 (1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”混淆；(2)问是既解一元二次不
等式又解指数不等式，易出现偏差
技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了
换元法，是解不等式常用的技巧
解 (1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×(1－51
)万元，… 第n 年投入为800×(1－5
1)n －1
万元，
所以，n 年内的总投入为
a n =800+800×(1－51)+…+800×(1－5
1
)n －1
=
∑
=n
k 1
800×(1－
51)k －1=4000×［1－(5
4)n
］ 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+4
1
)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+
4
1)n －1
万元 所以，n 年内的旅游业总收入为
b n =400+400×(1+41)+…+400×(1+4
1
)k －1
=
∑
=n
k 1
400×(
45)k －1=1600×［(4
5)n
－1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(4
5)n
－1］－4000×［1－(
54)n
］＞0， 令x =(5
4)n ，代入上式得 5x 2
－7x +2＞0
解此不等式，得x ＜5
2
，或x ＞1(舍去)
即(54)n ＜5
2
，由此得n ≥5
∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
例2已知S n =1+
3
121++…+n 1,(n ∈N *
)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大
于1的自然数n ，不等式
f (n )＞［lo
g m (m －1)］2
－20
11［log (m －1)m ］2
恒成立
命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题
的能力
知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙
错解分析 本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理
技巧与方法 解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为
函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2
－20
11［log (m －1)m ］2
解 ∵S n =1+
3
121++…+n 1 (n ∈N *
)
0)4
21321()421221(4
22
32122121321221)()1(121
3121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++
++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又
∴f (n +1)＞f (n ) ∴f (n )是关于n 的增函数 ∴f (n ) min =f (2)=
20
9
321221=
+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式
f (n )＞［lo
g m (m －1)］2－
20
11［log (m －1)m ］2
恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－20
11［log (m －1)m ］2
成立即可
由⎩
⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2
此时设［log m (m －1)］2
=t 则t ＞0
于是⎪⎩⎪⎨⎧>->0
2011209
t t 解得0＜t ＜1
由此得0＜［log m (m －1)］2
＜1 解得m ＞
2
5
1+且m ≠2 例3 已知二次函数y =f (x )在x =2
2
+t 处取得最小值－42t (t ＞0),f (1)=0
(1)求y =f (x )的表达式；
(2)若任意实数x 都满足等式f (x )·g (x )+a n x +b n =x n +1
［g (x )］为多项式，n ∈N *
),试用t 表示a n 和b n ；
(3)设圆C n 的方程为(x －a n )2+(y －b n )2=r n 2
，圆C n 与C n +1外切(n =1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比
数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 、S n
解 (1)设f (x )=a (x －2
2+t )2－42
t ，由f (1)=0得a =1
∴f (x )=x 2
－(t +2)x +t +1
(2)将f (x )=(x －1)［x －(t +1)］代入已知得
(x －1)［x －(t +1)］g (x )+a n x +b n =x n +1
， 上式对任意的x ∈R 都成立， 取x =1和x =t +1分别代入上式得
⎪⎩
⎪⎨⎧+=++=++1
)1()1(1
n n n n n t b a t b a 且t ≠0， 解得a n =t
1［(t +1)n +1
－1］，b n =
t
t 1+［1－(t +1]n
) (3)由于圆的方程为(x －a n )2
+(y －b n )2
=r n 2
，
又由(2)知a n +b n =1，故圆C n 的圆心O n 在直线x +y =1上， 又圆C n 与圆C n +1相切，故有r n +r n +1=2｜a n +1－a n ｜=2(t +1)n +1
设{r n }的公比为q ，则
1
2
112(1)2(1)n n n n n n r r q t r r q t ++++⎧+=+⎪⎨+=+⎪⎩ ①
②
②÷①得q =
n
n r r 1
+=t +1，代入①得r n =2
)1(21
+++t t n
∴S n =π(r 12
+r 22
+…+r n 2
)=3
4222
1)2()1(21)1(++π=--πt t t q q r n ［(t +1)2n
－1］
学生巩固练习
1 已知二次函数y =a (a +1)x 2
－(2a +1)x +1，当a =1，2，…，n ，…时，其抛物线在x 轴上截得的线段长
依次为d 1,d 2，…,d n ,…,则lim ∞
→n (d 1+d 2+…+d n )的值是( )
A 1
B 2
C 3
D 4
2 在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2，4依
次成等差数列，而1，y 1，y 2，8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是_________
3 从盛满a 升酒精的容器里倒出b 升，然后再用水加满，再倒出b 升，再用水加满；这样倒了n 次，
则容器中有纯酒精_________升
4 据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》“2001年国内生产总值达到95933亿元，
比上年增长7 3%，”如果“十·五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那
么到“十·五”末我国国内年生产总值约为_________亿元
5 已知数列{a n }满足条件 a 1=1,a 2=r (r ＞0),且{a n a n +1}是公比为q (q ＞0)的等比数列，设b n =a 2n －
1
+a 2n (n =1,2,…)
(1)求出使不等式a n a n +1+a n +1a n +2＞a n +2a n +3(n ∈N *
)成立的q 的取值范围； (2)求b n 和n
n S 1
lim
∞→，其中S n =b 1+b 2+…+b n ；
(3)设r =219
2
－1，q =
2
1
，求数列{n n b b 212log log +}的最大项和最小项的值
6 某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下 首先将职工按
工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n 排序，第1位职工得奖金
n
b
元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金
(1)设a k (1≤k ≤n )为第k 位职工所得奖金金额，试求a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a k (不必证明)； (2)证明a k ＞a k +1(k =1,2,…,n －1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3)发展基金与n 和b 有关，记为P n (b ),对常数b ，当n 变化时，求lim ∞
→n P n (b )
7 据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到7 4×108
吨，占地562 4平方公里，若环保部门每
年回收或处理1吨旧物资，则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增20%的回收量，试问
(1)2001年回收废旧物资多少吨？
(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)？
(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？
8 已知点的序列A n (x n ，0),n ∈N ,其中x 1=0,x 2=a (a ＞0),A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…，
A n 是线段A n －2A n －1的中点，…
(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间关系式(n ≥3);
(2)设a n =x n +1－x n ，计算a 1,a 2,a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明；
(3)求lim ∞
→n x n
参考答案:
1 解析 当a =n 时y =n (n +1)x 2
－(2n +1)x +1
由｜x 1－x 2｜=
a
∆
，得d n =)1(1+n n ，
∴d 1+d 2+…+d n 111
1223
(1)
n n =
+++
⋅⋅+
111111
11223
11n n n =-+-+
+-=-
++ 121
()(1)1lim lim 1
n n n d d d n →∞
→∞∴++
+=-=+
答案 A
2 解析 由1,x 1,x 2,4依次成等差数列得 2x 1=x 2+1,x 1+x 2=5解得x 1=2,x 2=3
又由1，y 1,y 2,8依次成等比数列，得y 12
=y 2,y 1y 2=8,解得y 1=2,y 2=4, ∴P 1(2,2),P 2(3,4) ∴21),2,2(OP OP ==(3,4)
∴,5||,22,14862
121===
+=OP OP OP OP
12
1212
1214
cos sin
1010||||
5OPOP POP POP OP OP ∴=
==∴=⨯ 12121211||||sin 512210
OP P S OP OP POP ∆∴=
=⨯⨯= 答案 1
3 解析 第一次容器中有纯酒精a －b 即a (1－
a
b
)升， 第二次有纯酒精a (1－a b )－
b a a b a )1(-，即a (1－a
b )2升， 故第n 次有纯酒精a (1－a
b )n
升 答案 a (1－
a
b )n
4 解析 从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项，以7 3%为公比的等比数列，∴
a 5=95933(1+7 3%)4≈120000(亿元)
答案 120000
5 解 (1)由题意得rq
n －1
+rq n ＞rq n +1
由题设r ＞0,q ＞0,故从上式可得 q 2
－q －1＜0，解得
251-＜q ＜251+,因q ＞0,故0＜q ＜2
5
1+; (2)∵
0,212212212221212121≠=++=++=∴==---+++++++q a a q
a q a a a a a
b b q a a a a a a n
n n n n n n n n n n n n n n n
b 1=1+r ≠0，所以{b n }是首项为1+r ，公比为q 的等比数列，从而b n =(1+r )q n -1
当q =1时，S n =n (1+r ), 110;lim
lim (1)n n n
S n r →∞→∞==+
(1)(1)01,,1n
n r q q S q +-<<=
-当时111;lim lim (1)(1)1n n n n
q q
S r q r →∞→∞--==+-+ (1)(1)1,,1n n r q q S q +->=-当时 110,lim lim (1)(1)n
n n n q
S r q →∞→∞-==+- 1, (01)11lim 0, (1)n n q
q r S q →∞-⎧<<⎪
=+⎨⎪≥⎩所以
1
(3)(2),(1)n n b r q
-=+由有
.2.201
1log )1)(1(log log )1(log ])1[(log ])1[(log log log 2222122212-+=-+++=++=-+n q
n r q n r q r q r b b n n n n
n
n n b b C 21
2log log +=记,从上式可知，
当n －20 2＞0，即n ≥21(n ∈N *
)时，C n 随n 的增大而减小，
故1＜C n ≤C 21=1+
8
.01
12.20211+
=-=2 25 ①
当n －20 2＜0，即n ≤20(n ∈N *
)时，C n 也随n 的增大而减小，
故1＞C n ≥C 20=1+
2
.01
12.20201-
=-=－4 ②
综合①②两式知，对任意的自然数n 有C 20≤C n ≤C 21, 故{C n }的最大项C 21=2 25，最小项C 20=－4
6 解 (1)第1位职工的奖金a 1=
n
b ， 第2位职工的奖金a 2=
n 1(1－n 1
)b ， 第3位职工的奖金a 3=n 1(1－n 1)2
b ，…，
第k 位职工的奖金a k =n 1 (1－n
1)k －1
b ;
(2)a k －a k +1=21n
(1－n 1)k －1
b ＞0，此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则
(3)设f k (b )表示奖金发给第k 位职工后所剩余数，
则f 1(b )=(1－
n 1)b ,f 2(b )=(1－n 1)2b ,…,f k (b )=(1－n
1)k
b 得P n (b )=f n (b )=(1－n 1)n
b ,
故e
b
b P n n =∞→)(lim 7 解 设a n 表示第n 年的废旧物资回收量，S n 表示前n 年废旧物资回收总量，则数列{a n }是以10为
首项，1+20%为公比的等比数列
(1)a 6=10(1+20%)5=10×1.25
=24.8832≈25(万吨)
(2)S 6=2
.01
6.1101%)201(]1%)201[(1066-⨯=-+-+=99.2992≈99.3(万吨)
∴从1996年到2000年共节约开采矿石20×99 3≈1986(万吨)
(3）由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾4×99.3=397.2(万吨)，
∴从1996年到2001年共节约
8
4
104.7102.3974.562⨯⨯⨯≈3 平方公里
8 解 (1)当n ≥3时，x n =
2
2
1--+n n x x ;
a
a x x x x x x x a a x x x x x x x a a x x a 41
)21(21)(212,21
)(212,)2(2332334212212232121=--=--=-+=-=-=--=-+=
-==-=
由此推测a n =(－21)n -1
a (n ∈N )
证法一 因为a 1=a ＞0,且
111112
1
)(2122----+-=-=-=-+=
-=n n n n n n n n n n n a x x x x x x x x x a (n ≥2) 所以a n =(－
2
1)n -1
a 证法二 用数学归纳法证明
(ⅰ)当n =1时，a 1=x 2－x 1=a =(－
2
1)0
a ,公式成立； (ⅱ)假设当n =k 时，公式成立，即a k =(－2
1)k －1
a 成立
那么当n =k +1时，
a k +1=x k +2－x k +1=
k k k k k k a x x x x x 2
1
)(212111-=--=-++++ .)2
1
()21(21111公式仍成立a a )(k k -+--=--=
据(ⅰ)(ⅱ)可知，对任意n ∈N ，公式a n =(－2
1)n -1
a 成立
(3)当n ≥3时，有
x n =(x n －x n －1)+(x n －1－x n －2)+…+(x 2－x 1)+x 1=a n －1+a n －2+…+a 1,
由(2)知{a n }是公比为－
2
1
的等比数列，所以3
2
)
2
1
(1lim 1=
--=
∞→a x n n a。