金融工程中具有半方差的几何投资组合优化问题

金融工程中具有半方差的几何投资组合优化问题
作者：许新宇
来源：《科学与财富》2018年第09期
摘要：在本文中，我们考虑了一个投资组合优化问题，即在金融工程中将几何平均收益最小化作为风险测量的对象，而这个最小回报受较低半变异影响。

给出了它的最优条件和蒙特卡罗模拟的求解方法，并给出了数值实验以证明该方法的有效性。

关键词：金融工程；组合优化；蒙特卡罗；模拟；数值实验
一、介绍
几何平均投资策略[1]，引入最近在学术界金融和经济学文献中收到的一些注意事项。

以收益率方差[2]作为风险度量来考虑投资组合的几何平均收益。

然而，方差是一个值得怀疑的风险度量，至少有两个原因：第一，只有当回报的基本分布是对称的时，它才是适当的风险度量。

其次，它可以应用于直接地作为一种风险测量，只有返回底层的分布是正常的。

然而，股票回报的对称性和常态性都受到有关这个问题的经验证据的严重质疑，从而得到收益较低的半方差函数，另一方面，是有几个原因的风险，一个更合理的措施：首先，投资者显然不喜欢波动性；他们只厌恶自己的侧面波动。

第二，下半方差比方差，当返回底层的分布是不对称的，就像有用当底层的分布是对称的更有用的；换句话说，下半方差函数至少是有用的衡量风险的方差。

第三，下半方差测度统计提供的信息—方差偏度，从而可以使用单因素模型来估计所需的回报。

因此，我们将考虑下半方差作为风险度量最大化投资组合的几何平均收益。

论文的组织如下。

第2节开发了我们的投资组合优化模型及其最优条件。

在第3节中，提出了一种求解该模型的蒙特卡洛方法，并用数值例子说明了该模型的有效性。

第4节给出结论。

二、模型
考虑一个时期的金融投资问题。

假设投资者（个人或公司）在资本市场上投资有限资产的单位资本。

如果xi表示投资者投资与资产i的财富比例，并且。

ηi>0表示资产i提供的定期支付，包括本金回报，i=1，2，3，……，n。

另x=（xi，……，xn）为投资组合向量，且η=（ηi，……，ηn）T为定义在概率上的随机向量，空间（Ω，F，P）具有连续分布函数F[*]，很容易得出公式：
三、蒙特卡罗方法与数值实验
根据概率密度函数p（η），我们使用蒙特卡罗方法[3]生成一个样本，N是数字样本，k是模拟的时间。

因此问题近似于下面的确定的优化问题：
四、结论
我们研究了一个金融优化问题，最大限度地提高了几何平均收益受制于较低的半方差约束，事实上这是一个特定的凸随机优化。

给出了最佳条件。

为了解决这一问题，提出了一种基于蒙特卡罗模拟的框架求解方法，使该问题等价于近似优化问题。

在给定的参数下，用matlab 软件进行了数值实验。

参考文献：
[1]李光举. 几何平均价格投资组合保险策略研究及实证分析[D]. 河南大学， 2013.
[2]刘燕武，张忠桢. 基于实际收益率分布的均值-方差-条件风险价值多目标投资优化模型[J]. 系统管理学报， 2010， 19（4）：444-450.
[3]马俊海，张维. 金融衍生工具定价中蒙特卡罗方法的近期应用分析[J]. 管理工程学报，2000， 14（2）：47-50.
[4]邵言剑，陶卿，姜纪远，等. 一种求解强凸优化问题的最优随机算法[J]. 软件学报，2014（9）：2160-2171.。