3.1.3 倍角半角公式

3．2倍角公式和半角公式
3.2.1 倍角公式
预习时间： 年 月 日
以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式。

以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；
1、首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，
()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-．
由此能否得到sin 2,cos 2,tan 2ααα的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中β看成α即可），
2、公式推导： （1）()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；
（2）
()22cos 2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；
=_____________________________________=____________________________________
思考：把上述关于cos2α的式子能否变成只含有sin α或cos α形式的式子呢？
22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；
22222cos 2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．
(3)
()2
tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα
αααααα
+=+=
=--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈
例1、已知5sin 2,,1342
ππ
αα=<<求sin 4,cos 4,tan 4ααα的值．
例２、已知1
tan 2,3
α=
求tan α的值．
例3、若(0,)απ∈，且1
cos sin 3
αα+=-
，则cos2α=( )
A ．
917 B ． C ． D ．317
例4、已知x 为第三象限角，化简=-x 2cos 1（ ） A. x sin 2 B. x sin 2- C. x cos 2 D. x cos 2-
1．已知(,0)2
x π
∈-
，4
cos 5
x =
，则=x 2tan （ ）
A ．247
B ．247-
C ．7
24 D ．724-
2、已知sin cos
2
2
3
θ
θ
+=
那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。

3、【2012山东理7】若42ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，sin 2=
8θ，则sin θ=（ ）
（A ）35 （B ）45 （C （D ）3
4
4、【2012辽宁理7】已知sin cos αα-=，α∈(0，π)，则tan α=（ ）
(A) -1 (B) 2- (C) 2
(D) 1
5、【2012江西理4】若tan θ+1tan θ =4,则sin2θ=（ ） A ．15 B. 14 C. 1
3
D. 1
2
1、【2012全国卷理7】已知α为第二象限角，3
3
cos sin =
+αα，则cos2α=（ ）
(A) -
3B ）-9 (C) 9 (D)3
2、【2012全国文理14】当函
数sin (02)y x x x π=≤<取得最大值时，
x =___________.
3、(2011福建理3)若tan α=3，则
2
sin 2cos a
α
的值等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
4、(2011全国理14)已知a ∈(
2
π，π)，sin α
=
5
，则tan2α=______________。