【优化方案】高中数学 第1章4知能优化训练 北师大版选修1-1

1．已知命题“非p 或非q ”是假命题，给出下列四个结论：
①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且q ”是假命题；③命题“p 或q ”是真命题；④命题“p 或q ”是假命题．
其中正确的结论是( )
A ．①③
B ．②④
C ．②③
D ．①④
解析：选A.“非p 或非q ”是假命题⇒“非p ”与“非q ”均为假命题⇒p 和q 均是真命题．
2．(2011年东城区检测)下列四个命题中的真命题为( )
A ．存在x ∈Z ，使1＜4x ＜3
B ．存在x ∈Z ，使5x ＋1＝0
C ．任意x ∈R ，都有x 2＋1＝0
D ．任意x ∈R ，都有x 2＋x ＋2＞0
解析：选D.对于A ，由1＜4x ＜3，得14＜x ＜34
，显然不存在x ∈Z ，使得1＜4x ＜3，因此A 是假命题；对于B ，由5x ＋1＝0，得x ＝－15
∉Z ，因此B 是假命题；对于C ，由x 2＋1＞0知C 是假命题；对于D ，注意到x 2＋x ＋2＝(x ＋12)2＋74≥74
＞0，因此D 是真命题． 3．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2－x ＋14
<0；命题q ：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝ 2.则下列命题正确的是( )
A ．p 或q 真
B ．p 且q 真
C ．¬q 真
D ．p 真
解析：选A.易知p 假，q 真，故p 或q 为真．
4．若命题“¬p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是________命题(“真”或“假”)．
解析：∵¬p 真，∴p 假，
又p 或q 真，∴q 真．
答案：真
一、选择题
1．命题p ：若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则必有α∥γ；命题q ：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( )
A ．命题“p 且q ”为真
B ．命题“¬p 或¬q ”为假
C ．命题“p 或q ”为假
D ．命题“¬p 且¬q ”为假
解析：选C.∵“若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ或α∥γ”，∴p 假．又由立体几何知识知，q 也假，故¬p ，¬q 都真，∴A 、B 、D 都不正确．故选C.
2．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有( )
A ．p 真q 真
B ．p 假q 假
C ．p 真q 假
D ．p 假q 真
解析：选B.“p 或q ”的否定为：¬p 且¬q 为真，则¬p 和¬q 均为真，从而p 、q 均为假．
3．命题p ：若U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，x ∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B .则命题“非p ”的结论是
( )
A ．x ∉A
B ．x ∈∁U B
C ．x ∉A ∪B
D ．x ∈(∁U A )∪(∁U B )
解析：选D.p ：U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，x ∈A 且x ∈B ，则x ∈A ∩B ，则非p 的结论：x ∉A ∩B ，故x ∈∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )．
4．(2011年湛江质检)已知p ：∅{0}，q ：{2}∈{1,2,3}．由它们构成的新命题“¬p ”，“¬q ”，“p 且q ”，“p 或q ”中，真命题有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解析：选B.∵p 真，q 假，∴¬p 假，¬q 真，p 或q 真，p 且q 假．
5．已知命题
p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数，
p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，
则在命题q 1：p 1或p 2，q 2：p 1且p 2，
q 3：(¬p 1)或p 2和q 4：p 1且(¬p 2)中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 2，q 3
C ．q 1，q 4
D ．q 2，q 4
解析：选C.因为y ＝2x 为增函数，y ＝2－x 为减函数，易知p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为
增函数是真命题，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数为假命题．故q 1，q 4为真命题，故选
C.
6．(2011年东北三校联考)下列有关命题的叙述错误的是( )
A ．对于命题p ：存在x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则¬p ：任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0
B ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”
C ．若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题
D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件
解析：选C.选项A ，要注意否命题和命题的否定的区别，否命题是对原命题的条件和结论都进行否定，命题的否定是只否定原命题的结论．故A 正确；互为逆否关系的命题的条件、结论相反且条件、结论都否定，互为逆否关系的两个命题具有真假一致性，可用此结论判定选项B 正确；“且”命题的真假性满足“一假俱假”，故C 选项中的命题p 和命题q 至少有
一个是假命题，所以选项C 错误；不等式x 2－3x ＋2>0的解集是x >2或x <1，故x >2一定能
够得到不等式成立，但是，反之不一定成立，符合充分不必要条件的定义，故D 正确．
二、填空题
7．已知命题p ：存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围
是________．
解析：p 为假，即“对任意的x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0”为真，
∴Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1.
答案：0<a <1
8．已知p ：3×3＝6，q ：3＋3＝6，判断下列复合命题的真假：p 或q ________，p 且q ________，¬p ________.
解析：因为p 假，q 真，所以“p 或q ”真，“p 且q ”假，“¬p ”真．
答案：真 假 真
9．已知p ：|5x －2|＞3，q ：1x 2＋4x －5
＞0，则¬p 是 ¬q 的________条件． 解析：p ：x ＞1或x ＜－15
，q ：x ＜－5或x ＞1. ∴¬p ：－15
≤x ≤1，¬q ：－5≤x ≤1. ∴¬p 是¬q 的充分不必要条件．
答案：充分不必要
三、解答题
10．指出下列命题的构成形式并判断其真假．
(1)命题：“不等式|x ＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题：“－1是偶数或奇数”；
(3)命题：“2属于集合Q ，也属于集合R ”；
(4)命题：“A (A ∪B )”．
解：(1)此命题为“¬p ”的形式，其中p ：不等式|x ＋2|≤0有实数解．因为x ＝－2是该不等式的一个解，所以p 是真命题，即¬p 为假命题，故原命题为假命题．
(2)此命题为“p 或q ”的形式，其中p ：“－1是偶数”，q ：“－1是奇数”．因为p 为假命题，q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故原命题为真命题．
(3)此命题为“p 且q ”的形式，其中p ：2属于Q ，q ：2属于R .因为p 为假命题，q 为真命题，所以p 且q 为假命题，故原命题为假命题．
(4)此命题为“¬p ”的形式，其中p ：A ⊆(A ∪B )，因为p 为真命题，所以“¬p ”为假命题，故原命题为假命题．
11．写出下列各命题的否定形式及否命题．
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 全为零；
(3)若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0.
解：(1)否定形式：面积相等的三角形不是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2＝0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．
否命题：若m 2＋n 2＋a 2＋b 2≠0，则实数m ，n ，a ，b 不全为零．
(3)否定形式：若xy ＝0，则x ≠0且y ≠0.
否命题：若xy ≠0，则x ≠0且y ≠0.
12．已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无
实根，若“p 或q ”为真，“p 且q 为假，求m 的取值范围”．
解：p ：Δ＝m 2－4>0，且m >0，解得m >2.
q ：Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.
∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，
∴p 、q 两命题一真一假，即
⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩
⎪⎨⎪⎧ m ≤2，1＜m ＜3. 解得m ≥3或1<m ≤2.
故m 的取值范围为{m |m ≥3或1<m ≤2}．。