均值不等式的物理证明法

均值不等式的物理证明法
在高中数学中，“均值不等式”是不等式运用的基本，几乎所有关于不等式的题目都是在此基础上作文章。

简单地说，均值不等式的文字表述是：任意个非负实数的算术平均数不小于其几何平均数。

先看其最简形式：
命题：设a，b∈[0，+∞)，则（a+b）/2≥√（ab）。

证明：∵a，b∈[0，+∞)
∴（a+b）/2≥0，ab≥0
∴要证原式，只需证明：（a+b）²/4≥ab 即（a-b）²≥0即可。

设a-b=A，则A²≥0是在实数范围内恒成立的。

故原式得证。

很简单不是吗？不，这只是特殊情况。

那么，考虑将这个不等式拓展到任意个非负实数的形式：
真·命题：设有n（n∈N*）个实数A1，A2，A3，…，An∈[0，+∞)，则（A1+A2+A3+…+An）/n≥n
次根号下（A1·A2·A3·…·An）
证明：传统证明法非常繁琐，这里只介绍一个比较诡谲的证明。

（请自己画图）
在平面直角坐标系xOy下画出函数
y=lnx
的图像。

然后，在上面取n个对应点（A1，lnA1），（A2，lnA2），（A3，lnA3），…，（An，lnAn）。

接下来，设这几个点是在平面上的质点，其质量为1。

由物理知识来求其质心M（高中物理已经把这种无聊的内容改革掉了。

）：
设重心M（a，b）。

则
a=（A1+A2+A3+…+An）/n
【注意，按照物理知识，这里的A1~An本来应当乘以其质量（实际求的是以质量为权重的加权平均数），
不过之前设质量为1，故略去】
b=（lnA1+lnA2+lnA3+…lnAn）/n
【同上】
由对数知识，再化简得
b=ln[n次根号下（A1·A2·A3·…·An）]
又依据物理知识，这个质点系的质心M只能是在图像（向右的对数曲线）的右下方。

也就是说，在曲线上找到与M有同一横坐标的点
N（c，d）
其中
c=（A1+…+An）/n
d=ln[（A1+…+An）/n]
则N点一定在M点的上方，即是说
d＞b。

也就是
ln[（A1+…+An）/n] ＞ln[n次根号下（A1·A2·A3·…·An）] （*）
而对数lnx以e≈2.71为底，所以lnA＞lnB就可以得出A＞B.。

同理，由（*）式也就可以得出
（A1+…+An）/n ＞n次根号下（A1·A2·A3·…·An）（α）
这就是所要证明的。

特别情况：
I）当A1~An中有0时，证明如下：
∵左边=（A1+…+An）/n ≥0
右边=n次根号下（A1·A2·A3·…·An）=0
∴左边≥右边
（β）
II)当A1=A2=A3=…=An≠0时：
在物理中，这表示这些质点在空间（平面）中重合，因而不能看作是多个质点。

其“质心”只能是其本身。

也就是原证明过程中有
b=d
自然地，原式中
左边=右边
（γ）
于是，综合（α）（β）（γ）三式，证得原命题。