江西逝江市高中数学第一章计数原理5二项式定理1教案北师大版选修2_32017092734

二项式定理
一、教学目标：1、知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式。

2、过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题。

3、情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

二、教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。

教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用。

三、教学方法：探析归纳，讨论交流
四、教学过程
(一)新课引入：(提问)：若今天是星期一，再过810天
810＝(7+1)10＝710+
79+…
C0 1
C
10 10
后的那一天是星期几？
在初中，我们已经学过了(a b)2 a2 2ab b2+ 7+
C9 10
C
10 10
(a b)3 a3 3a2b3ab2 b3
(提问)：对于(a b)4 ，(a b)5 如何展开?(利用多项式乘法)
(再提问)：(a b)100 又怎么办？(a b)n(n∈N+)呢？
我们知道，事物之间或多或少存在着规律。

这节课，我们就来研究(a b)n的二项展开式的
规律性
(二)新课探析：
(如何着手研究它的规律呢)？采用从特殊到一般（不完全归纳）的方法。

规律：(a b)1 =a+b (a b)2 =(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b·b=a2 2ab b2
(a b)3 =(a b)2 (a+b)=(a2 2ab b2 ) (a+b)=a3 3a2b3ab2 b3
(a b) =(a b)3 (a+b)=(a3 3a2b3ab2 b3 ) (a+b)=a4 4a3b6a2b2 4ab3 b4
4
根据以上的归纳，可以想到(a b)n的展开式的各项是齐次的，它们分别为
a n a n
b a n b b n展开式中各项系数的规律，可以列表：
, , , ,
1 2 2
1
2
(a b )
1 3 3 1
3
(a b )
1 4 6 4 1
4
(a b )
1 5 10 10 5 1
5
（这表是我国宋代杨辉于 1261年首次发现的，称为杨辉三角，比欧洲至少早了三百年。

） 【指出】：这个公式叫做二项式定理（板书），它的特点： 1．项数：共有(n+1)项
C
2．系数：依次为 n
C
1
，
n
C
2
，
n
C
r
，…
n
C
n
，…
n
C r ，其中
n
(r ＝0，1，2，…n)称为二项式系
数
C r
【说明】：二项式系数
n
与展开中某一项系数是有区别的。

例如： (1 2x )6 展开式中第 3
项
C
2
中系数为
6
C 2 ·22＝60而第三项的二项式系数是
6
＝15。

3．指数： a n r
b r 指数和为 n ，a 的指数依次从 n 递减到 0，b 的指数依次从 0递增到 n
（三）、例题
1 (
2 x
)
6
x 例 2．展开。

1 1 (2 x )
(2x 1)
6
6
x
x
3
解：
1
[(2x ) C(2x ) C(2x ) C(2x ) C(2x ) C(2x ) 1]
6 1 5 2 4 3 3 2 2 1
6 6 6 6 6
x
3
．
60 12 1
3 2
64x192x240x160
x x x
2 3
2
（四）、小结：（1）二项式定理(a b)n=C0a n C1a n1b C r a n r b r C n b n 是通过
n n n n
不完全归纳法，并结合组合的概念得到展开式的规律性，然后用数学归纳法加以证明。

（2）二项式定理的特点：1．项数2．系数3．指数
（五）、课堂练习：课本P25页练习题
（六）作业：课本第28页习题1-5中A组2、3、4、5
3。