高考立体几何题证明方法

立体几何讲义
第一部分：空间几何体知识点
一、关键字：
1. 左视图面积（效果图）
侧视图面积（效果图）
2. 左侧面积（真实面积）
侧面积（真实面积）
表面积、全面积（真实面积）
3. 斜棱柱、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、正六面体、正三棱锥、正四面体
二、几个基本概念
1. 棱柱：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且相邻的两个四边形公共边都相互平行
2. 直棱柱：侧棱与底面垂直
3. 斜棱柱：侧棱与底面不垂直
4. 正棱柱：底面为正多边形的直棱柱
5. 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱
6. 长方体：底面是矩形的直平行六面体
7. 棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
8. 正棱锥：底面是正多边形，且顶点又在过底面中心且与底面垂直的直线上
9. 棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的部分
三、基本公式
柱体（S是柱体的底面积，h是柱体的高）V
Sh
1
V锥体Sh（S是锥体的底面积，h是锥体的高）
3
4
3
V r
球
3
1
V h S S S S
台体上上下下
3
S ch
柱侧（c 是柱体的底面周长，h是柱体的高）
2
S球 4 r
S
圆台侧1
2
2 r 2 r l r r l
S S1 n
侧（×）S C h
侧（√）
四、重要结论
1. 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
2. 正方体内切球直径是正方体棱长, 正方体棱切球直径是正方体面对角线
3. 正三角形与正四面体
边长h r R S V
正三角形 a 3
2 a
3
6
a
3 3 2
a a
3 4
正四面体 a
6 3 a
6
12
a
6 2 3
a a
4 12
4.直六面体
2 2 2
（1）体对角线与三条侧棱夹角分别为, , ，则：cos cos cos 1
2 2 2
（2）体对角线与三条侧面夹角分别为，，，则：cos cos cos 2
5.三棱锥P —ABC 的顶点P 在地面ABC内的射影的位置
（1）外心三条侧棱长相等，PA PB PC
侧棱与底面所成线面角相等
（2）内心三条侧面斜高相等，AA BB CC
侧面与底面所成线面角相等
（3）垂心相对棱相互垂直
三条侧棱两两垂直，PA PB PC
（4）P 点射影为AB中点PA PB PC ，ACB 90
第二部分：点、直线、平面之间的位置关系
一、线面平行：
①定义：直线与平面无公共点.
a // b
a a //
②判定定理：（线线平行线面平行）
b
a //
③性质定理： a a // b
（线面平行线线平行）
b
④判定或证明线面平行的依据：（i）定义法（反证）：l l // （用于判断）；（ii）
a // b
a a
b // “线线平行面面平行”（用于证明）；（iii）
a
//
a // 判定定理：
b a
（用于判断）；
“面面平行线面平行”（用于证明）；（4）//
b a
a
二、面面平行：
①定义：// ；
②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；符号表述：a,b , a b O,a // ,b // // 【如下图①】
a a
O
O
b
b
a'
O
b'
图①图②
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行
符号表述：a,b , a b O,a ',b' , a// a ',b // b' // 【如上图②】
判定2：垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号表述：
a ,a// .【如右图】
a ③判定与证明面面平行的依据：（1）定义法；（2）判定定理
及推论（常用）（3）判定 2
//
a // ④面面平行的性质：（1）
（面面平行线
a
//
面平行）；（2） a a// b
；（面面平行线线平行）（3）夹在两个平行平面间
b
的平行线段相等。

【如图】
三、线面垂直
①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意 a ,都有l a ，且l ，则l .
a,b
a b O
②判定定理：l l
（线线垂直线面垂直）
l a
l b
③性质：（1）l ,a l a （线面垂直线线垂直）；（2）a , b a // b ；
a//b
④证明或判定线面垂直的依据：（1）定义（反证）；（2）判定定理（常用）；（3）
a
b
//
（较常用）；（4） a ；（5）
a
a b
a
a （面面垂直线面垂直）a b
四、面面垂直
（1）定义：若二面角l 的平面角为90 ，则；
（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这
两个平面互相垂直.
a
B a
a
（线面垂直面面垂直）
A （3）性质：①若，二面角的一个平面角为MON ，则
MON 90 ；
②a AB
a
a
（面面垂直线面垂直）；
a
B a AB
A
③A
A a
a
. ④
a
a 或a // A
a a
WORD文档。