最新甘肃省白银市靖远县高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年甘肃省白银市靖远县高一下学期期末数学试
题
一、单选题
1．已知集合{}101
23A =-，，，，，{}02|B x x =<≤，则A B =I （ ） A ．{}12， B ．{}1012-，，， C ．{}1
23，， D ．{}101
23，，，，- 【答案】A
【解析】根据集合交集定义,即可求解. 【详解】
集合{}101
23A =-，，，，,{}02|B x x =<≤ 由交集运算可得{}{}{}101
23012|=2A B x x ⋂=-⋂<≤，，，，， 故选:A 【点睛】
本题考查了集合交集的简单运算,属于基础题.
2．若角α的终边经过点()1,2P --，则sin α=（ ）
A
．-
B
． C
．
D
【答案】B
【解析】根据任意角的三角函数的定义，可以直接求到本题答案. 【详解】
因为点()1,2P --在角α的终边上，所以
sin y r
α===. 故选：B
【点睛】
本题主要考查利用任意角的三角函数的定义求值. 3．已知过点)
A
的直线l 的倾斜角为60︒，则直线l 的方程为（
）
A 40y
+-= B 20y
--= C ．40
y ++=
D ．320x y -+=
【答案】B
【解析】由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解． 【详解】
∵直线l 的倾斜角为60︒，∵直线l 的斜率3k =，
又直线过点(
)
3,1A
，
由直线方程的点斜式可得直线l 的方程为()
133y x -=-，即320x y --=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．
4．某高级中学共有学生3000人,其中高二年级有学生800人,高三年级有学生1200人,为了调查学生的课外阅读时长,现用分层抽样的方法从所有学生中抽取75人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为（ ） A ．20 B ．25
C ．30
D ．35
【答案】B
【解析】通过计算三个年级的人数比例，于是可得答案. 【详解】 抽取比例为，高一年级有人，所以高一年级应被抽取的
人数为.
【点睛】
本题主要考查分层抽样的相关计算，难度很小.
5．已知向量(2,0)a =r ，||1b =r ，1a b ⋅=-r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 【答案】D
【解析】直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可. 【详解】
因为
cos ,a b a b a b
<>=r r
r r g r r ，所以a r 与b r 的夹角为23π. 故选：D.
【点睛】
本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模. 6．要得到函数1
cos 3
12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象（ ）
A ．向左平移
12
π
个单位长度
B ．向右平移
12
π
个单位长度
C ．向左平移4
π
个单位长度 D ．向右平移
4
π
个单位长度 【答案】C
【解析】由1
1cos cos 3
1234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则只需将函数1cos 3y x =的图象向左
平移
4
π
个单位长度. 【详解】
解：因为1
1cos cos 3
1234y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以要得到函数1
cos 3
12y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数1cos 3y x =的图象向左平移
4π个单位长度. 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移变换，属基础题. 7．已知π7cos 2625α⎛
⎫-=- ⎪⎝
⎭，π02α<<，则πcos 12α⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭（ ）
A ．3
5-
B ．
35
C ．
45
D ．45
-
【答案】B
【解析】由二倍角公式可得2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-
=--=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭，结合π02α<<
，可求出πcos 12α⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
【详解】
因为2ππ7cos 22cos 161225αα⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π3cos 125α⎛⎫-=± ⎪⎝
⎭，又因为π02α<<
，所以3cos 125
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭.
【点睛】
本题考查了二倍角公式的应用，考查了计算能力，属于基础题.
8．边长为2的正方形内有一封闭曲线围成的阴影区域.向正方形中随机地撒200粒芝麻，大约有80粒落在阴影区域内，则此阴影区域的面积约为（ ） A ．
12
5
B ．
85
C ．
35
D ．
25
【答案】B
【解析】依题意得，豆子落在阴影区域内的概率等于阴影部分面积与正方形面积之比，即可求出结果. 【详解】
设阴影区域的面积为S ，由题意可得8022200S =⨯，则85
S =. 故选：B. 【点睛】
本题考查随机模拟实验，根据几何概型的意义进行模拟实验计算阴影部分面积，关键在于掌握几何概型的计算公式. 9．已知2()sin ,N 3
6f x x x π
π⎛⎫=+∈
⎪⎝⎭，则()f x 的值域为（ ）
A ．1
1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ B ．11,,122⎧⎫-
-⎨⎬⎩⎭
C ．1
,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
D ．1,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭
【答案】C
【解析】由已知条件，先求出函数的周期，由于N x ∈，即可求出值域. 【详解】
因为2()sin 3
6f x x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3T =，
又因为x ∈N ，所以当0x =时，1
(0)2
f =； 当1x =时，1
(1)2
f =
；当2x =时，(2)1f =-，
所以()f x 的值域为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
. 故选：C. 【点睛】
本题考查三角函数的值域，利用了正弦函数的周期性.
10．某个算法程序框图如图所示，如果最后输出的S 的值是25，那么图中空白处应填的是（ ）
A ．4?i <
B ．5?i <
C ．6?i <
D ．7?i <
【答案】B
【解析】分别依次写出每次循环所得答案，再与输出结果比较，得到答案. 【详解】
由程序框图可知，第一次循环后，1a =，1s =，2i =；第二次循环后，3a =，4s =，
3i =；第三次循环后，5a =，9s =，4i =；第四次循环后，7a =，16s =，5i =；
第五次循环后，9a =，25s =，此时25s =，则图中空白处应填的是5?i < 【点睛】
本题主要考查循环结构由输出结果计算判断条件，难度不大.
11．已知ABC V 的三个顶点都在一个球面上，2,4AB BC AC ===，且该球的球心到平面ABC 的距离为2，则该球的表面积为（ ） A ．80π B ．
53
π
C ．32π
D ．
23
π
【答案】C
【解析】先算出ABC ∆的外接圆的半径，然后根据勾股定理可得球的半径，由此即可
得到本题答案. 【详解】
设点O 为球心，因为22,4AB BC AC ===，所以ABC ∆的外接圆的圆心为AC 的中点M ，且半径2r =，又因为该球的球心到平面C AB 的距离为2，即2OM =，在
Rt OAM ∆中，222222OA =+=，所以该球的半径为=22R ，则该球的表面积
为24=32R ππ.
故选：C 【点睛】
本题主要考查球的表面积的相关问题. 12．已知函数，若
在区间
内没有零点，则的取值范
围是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B 【解析】由题得，再由题分析得到
，解不等式分
析即得解. 【详解】 因为，
，
所以． 因为在区间
内没有零点， 所以
，
，
解得，．
因为，
所以． 因为，所以或． 当
时，
；当
时，
．
故选：B 【点睛】
本题主要考查三角函数的零点问题和三角函数的图像和性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于中档题.
二、填空题
13．若函数2sin ,0
()6
1,0
x x f x x x π
⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩，则((1))f f -=__________． 3
【解析】根据分段函数的解析式先求()1f -，再求()()1f f -即可.
【详解】
因为()()2
1112f -=-+=，所以()()()312sin 3
f f f π-===. 【点睛】
本题主要考查了分段函数求值问题，解题的关键是将自变量代入相应范围的解析式中，属于基础题.
14．一组数据2，4，5，x ，7，9的众数是7，则这组数据的中位数是__________． 【答案】6
【解析】由题得x=7，再利用中位数的公式求这组数据的中位数. 【详解】
因为数据2，4，5，x ，7，9的众数是7， 所以7x =， 则这组数据的中位数是57
62
+=． 故答案为6
【点睛】
本题主要考查众数的概念和中位数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
15．313sin
cos cos sin 412412ππππ+=__________. 【答案】1
2
【解析】利用诱导公式以及正弦差角公式化简式子，之后利用特殊角的三角函数值直接计算即可. 【详解】
313sin
cos cos sin sin cos cos sin 412412412412
ππππππππ+=- 1sin sin 41262πππ⎛⎫
=-== ⎪⎝⎭
.
故答案为
1
2
【点睛】
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有诱导公式，差角正弦公式，特殊角的三角函数值，属于简单题目.
16．已知点P 是ABC V 所在平面内的一点，若1142
AP AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则
APC
APB
S S =△△__________． 【答案】
12
【解析】设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点，由1142
AP AB AC
=+u u u r u u u r u u u r
得到PF PC =-u u u r u u u r
，再进一步分析即得解.
【详解】
如图，设F 为AB 的中点，D 为AF 的中点，E 为AC 的中点， 因为1142AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，
所以可得()()
1142
AP AP PB AP PC =+++u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r ，
整理得20PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r .又2PA PB PF +=u u u r u u u r u u u r
，
所以PF PC =-u u u r u u u r
，所以APC APF S S =△△，
又1
2APF APB S S =△△，所以12APC APB
S S =△△．
故答案为
12
【点睛】
本题主要考查向量的运算法则和共线向量，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，解答本题的关键是作辅助线，属于中档题.
三、解答题
17．已知53sin cos cos(3)
22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
（1）化简()f
θ；
（2）若3sin 5
θ=
，且,2πθπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，求()f θ的值．
【答案】（1）()cos f θθ=-；（2）4
()5
f θ=. 【解析】（1）利用诱导公式化简即得()f θ；
（2）利用同角的平方关系求出4
cos 5
θ=-的值，即得解. 【详解】
解：（1）53sin cos cos(3)
22()3cos sin 22f θππθθπθπθπθ⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
cos (sin )(cos )(sin )cos θθθθθ--=-
cos θ=-．
（2）因为3sin 5
θ=，且,2πθπ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以4cos 5θ=-，
所以4()5
f θ=． 【点睛】
本题主要考查诱导公式和同角的三角函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.
18．某校从高一年级的一次月考成绩中随机抽取了 50名学生的成绩（满分100分，且抽取的学生成绩都在[]50,100内），按成绩分为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，
[]90,100五组，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）用分层抽样的方法从月考成绩在[]80,100内的学生中抽取6人，求分别抽取月考成绩在[)80,90和[]90,100内的学生多少人；
（2）在（1）的前提下，从这6名学生中随机抽取2名学生进行调查，求月考成绩在
[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率.
【答案】（1）[)80,90有4人，[]90,100有2人；（2）
3
5
【解析】（1）由频率分布直方图，求出成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值，再按比例抽取即可；
（2）由古典概型的概率的求法，先求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有不同取法，再求出被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的不同取法，再求解即可. 【详解】
解：（1）因为()0.0080.0240.0440.008101a ++++⨯=，所以0.016a =， 则月考成绩在[)80,90内的学生有500.016108⨯⨯=人； 月考成绩在[]90,100内的学生有500.008104⨯⨯=人， 则成绩在[)80,90和[]90,100内的频率的比值为2:1，
故用分层抽样的方法从月考成绩在[)80,90内的学生中抽取4人， 从月考成绩在[]90,100内的学生中抽取2人.
（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成绩在[)80,90内，分别记为a ，b ，
c ，
d ；有2人的月考成绩在[]90,100内，分别记为A ，B .
则从这6名学生中随机抽取2名学生的情况为(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a A ，(),a B ，
(),b c ，(),b d ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，
共15种；
被抽到的学生至少有1名月考成绩在[]90,100内的情况为(),a A ，(),a B ，(),b A ，
(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),A B ，共9种.
故月考成绩[]90,100内至少有1名学生被抽到的概率为93155
P ==. 【点睛】
本题考查了分层抽样，重点考查了古典概型概率的求法，属中档题. 19．已知函数()1
2cos 2
12f x x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭.
（1）求()f x 的单调递增区间； （2）求不等式()1f x >的解集. 【答案】（1）134,466k k ππππ⎡
⎤-
-⎢⎥⎣
⎦，k Z ∈；（2）54,462k k ππππ⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭，k Z ∈ 【解析】（1）由余弦函数单调区间的求法，解不等式122212
k x k π
πππ-≤+≤即可得解；
（2）解三角不等式1
1cos 2
122x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭即可得解.
【详解】
解：解：（1）令122212
k x k π
πππ-≤+≤，k Z ∈， 解得134466
k x k ππ
ππ-
≤≤-，k Z ∈， 故()f x 的单调递增区间为134,466k k ππππ⎡
⎤
-
-⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈. （2）因为()1f x >，所以12cos 1212x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即1
1cos 2
122x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，
所以1223
2123
k x k π
ππ
ππ-
<
+<+，k Z ∈， 解得54462
k x k ππ
ππ-<<+，k Z ∈. 故不等式()1f x >的解集为54,462k k ππππ⎛
⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
，k Z ∈.
【点睛】
本题考查了余弦函数单调区间的求法，重点考查了三角不等式的解法，属基础题. 20．在直角坐标系xOy 中，已知以点M 为圆心的2
2
:(5)(7)25M x y -+-=及其上一点(1,4)A .
（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线5x =上，求圆N 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且||BC =l 的方程.
【答案】（1）22
(5)(1)1x y -+-=；（2）44y x =+或430y x =-
【解析】（1）由圆M 的方程求得圆心坐标和半径，依题意可设圆N 的方程为
222(5)()(0)x y b b b -+-=>，由圆N 与圆M 外切可知圆心距等于两圆半径的和，
由此列式可求得b ，即可得出圆N 的标准方程；
（2）求出OA 所在直线的斜率4OA k =，设直线l 的方程为4y x m =+，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理列式求得m ，则直线方程即可求出. 【详解】
（1）因为圆M 为2
2
(5)(7)25x y -+-=， 所以圆心M 的坐标为(5,7)，半径=5r .
根据题意，设圆N 的方程为2
2
2
(5)()(0)x y b b b -+-=>.
又因为圆N 与圆M 5b =+，解得1b =， 所以圆N 的标准方程为2
2
(5)(1)1x y -+-=.
（2）由题意可知4OA k =，所以可设直线l 的方程为4y x m =+.
又||BC =(5,7)M 到直线l 的距离d ==
=4m =或30m =-，
所以直线l 的方程为44y x =+或430y x =-. 【点睛】
本题主要考查圆与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，其中运用了两圆外切时，圆心距等于两圆的半径之和，还涉及到圆的方程、直线的方程和点到直线的距离公式.
21．已知函数()()()()2
cos +2cos 02f x x x x πϕϕϕϕ⎛⎫
=+++<<
⎪⎝
⎭
.
（1）求()f x 的最小正周期； （2）若13f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，求当()2f x =时自变量x 的取值集合. 【答案】（1）π；（2）12
x x k π
π⎧=-
+⎨⎩
或()4x k k Z π
π⎫
=
+∈⎬⎭
【解析】（1）由辅助角公式可得()f x 2sin 2216x πϕ⎛⎫
=+++
⎪⎝⎭
，再求周期即可； （2）由13f π⎛⎫= ⎪
⎝⎭
求出12πϕ=，再解方程2sin 2123x π⎛
⎫++= ⎪⎝⎭即可. 【详解】 解：（1）
()()()()
2cos 2cos f x x x x ϕϕϕ=++++()()
2cos21x x ϕϕ++++
2sin 2216x πϕ⎛⎫
=+++ ⎪⎝⎭
，
则()f x 的最小正周期为2T π
πω
=
=.
（2）因为13f π⎛⎫= ⎪⎝⎭
，所以2sin 221136ππϕ⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭，即
()526k k Z πϕπ+=∈， 解得()5212
k k Z ππ
ϕ=
-∈. 因为02
π
ϕ<<
，所以12
πϕ=
.
因为()2f x =，所以2sin 2123x π⎛⎫++= ⎪⎝
⎭，即1sin 232x π⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，
则223
6
x k π
π
π+
=
+或()5223
6
x k k Z π
π
π+
=
+∈， 解得12
x k π
π=-
+或()4
x k k Z π
π=
+∈.
故当()2f x =时，自变量x 的取值集合为12x x k ππ⎧=-
+⎨⎩
或
()4x k k Z ππ⎫
=+∈⎬⎭. 【点睛】
本题考查了三角恒等变换，重点考查了解三角方程，属中档题. 22．已知函数()()sin 0,2f x t x t πωϕϕ⎛
⎫
=+><
⎪⎝
⎭
，()f x 的部分图像如图所示，点()
0,3N ，,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭，,4P t π⎛⎫
⎪⎝⎭
都在()f x 的图象上.
（1）求()f x 的解析式； （2）当,
2x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦
时，()33f x m -≤-≤恒成立，求m 的取值范围.
【答案】（1）()2
2sin 3
3x f x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭；（2）[]1,0-
【解析】（1）由三角函数图像，求出,,t ωϕ即可；
（2）求出函数()f x m -的值域，再列不等式组32
33
m m +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩.
【详解】
解：（1）由()f x 的图象可知
34424
T πππ
⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则3T π=， 因为23T π
πω
=
=，0>ω，所以23ω=
，故()2sin 3t x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
. 因为,02M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在函数()f x 的图象上，所以sin 023f t ππϕ⎛⎫⎛⎫
-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以()3
k k Z π
ϕπ-
+=∈，即()3
k k Z π
ϕπ=+
∈，因为2
π
ϕ
<
，所以3
π
ϕ=
.
因为点(3N 在函数()f x 的图象上，所以()0sin
33
f t π
==
解得2t =， 故()2
2sin 3
3x f x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭.
（2）因为,
2x ππ⎡
⎤
∈-⎢⎥⎣
⎦，所以
22,3333x πππ⎡⎤
+∈-⎢⎥⎣⎦
，
所以2
sin 3
32x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥
⎪⎝⎭⎣⎦
，则()2f x ≤≤.
因为()33f x m -≤-≤
，所以()3m f x m ≤≤+，
所以32
m m +≥⎧⎪⎨⎪⎩
，解得10m -≤≤.
故m 的取值范围为[]1,0-. 【点睛】
本题考查了利用三角函数图像求解析式，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.。