运筹管理4~6章
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4. 线性规划在工商管理中的应用
人力资源分配问题 生产计划问题
套裁下料问题
配料问题
投资问题
• 一般而言，一个经济或管理问题凡是满 足以下条件时，才能建立线性规划模型。
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数
存在着多种方案
要求达到的目标在一定条件下可以实现，这些约 束可用线性等式或不等式描述
x7 x9 x8 2 x5 2
到第六年初，实有资金总额为x9 + 2x7，整理后得到下列 线性规划模型： max Z = 2x7 + x9
x1 x 2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x 4 2 x5 2 x 6 0 4 x 3 x 5 2 x 6 2 x 7 2 x 8 0 4 x5 x 7 2 x 8 2 x9 0 x j 0, j 1,2, ,9
则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关
于y1，y2，y3的非负整数解。例如：y1=2， y2=0 ，则 y3 只能为1，余 料为0.1。像这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式，如 表1.4所示。 2、建立线性规划数学模型。设xj (j=1,2…,8)为第 j 种下料方案 所用圆钢的根数。
线性规划建模
3. 裁料问题
现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长 的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既 满足需要，又能使总的用料最少？ 解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几 个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格 的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目 的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。 Ⅰ 3 0 0.5 Ⅱ 2 2 0.4 Ⅲ 1 4 0.3 Ⅳ 0 6 0.2
4. 配料问题
例：某工厂要用三种原料1,2,3混合调配出不同规格的 产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每 天能供应的原材料数量以及原材料单价如表所示。该 厂应该如何安排生产，才能使利润最大？ 产品 原料 甲
≥50% ≤25%
乙
≥25% ≤50%
丙
供应量 100 100 60
单价 65 25 35
线性规划建模
除了投入与回报之外，还应该考虑每个项目的投资风险。
应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有
资金的本利在320万的基础上保证其投资的总风险系数为最 小？ 下表是预测每万元每次投资的风险指数。
项目
风险指数（每万元每次）
A
1
B
3
C
4
D
5.5
投资风险
年份 项目
1 1 ×X A 1 3 ×X B 1
xj 0, j =1, 2, … , 8
(x1=10, x2=50, x4=30, 余料16m)
线性规划建模
4. 配料问题
例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋）， 其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需 要、又使总费用最省？
•含量 •成分 食物
甲 •A1 •A2 •A3 • • • 0.1 1.7 1.10 • 2
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少?
线性规划建模
• 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x6 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
某企业现有资金200万元，计划在今后5年内给A，B，C，D 四个项目 投资。根据有关情况的分析得知：
项目 A ：从第一年到第五年每年年初都可进行投资，当年末就能收 回本利110%；
项目 B ：从第一年到第四年每年年初都可进行投资，次年末能收回 本利125%，但是要求每年最大投资额不能超过30万元； 项目 C ：若投资则必须在第三年年初投资，到第五年末能收回本利 140%，但是限制最大投资额不能超过80万元； 项目 D ：若投资则需在第二年年初投资，到第五年末能收回本利 155%，但是规定最大投资额不能超过100万元。 问：应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的 本利金额为最大？
5. 单纯形法
单纯形法的思路
单纯形表求解
单纯形法解题的思路
找出一个初始可行解 是
是否最优 循 环 否
2 1 ×X A 2 3 ×X B 2
3 1 ×X A 3 3 ×X B 3 4 ×X C 3
4 1×X A 4 3 ×X B 4
5 1 ×X A 5
A B C D
5.5×X D 2
线性规划建模
Min z 1( x1 A x2 A x3 A x4 A x5 A ) 3( x1B x2 B x3 B x4 B ) 4 x3C 5.5 x2 D x1 A x1B 200 x x x 2B 2 D 110% x1 A 2A x3 A x3 B x3C 110% x2 A 125% x1B x4 A x4 B 110% x3 A 125% x2 B x 110% x 125% x 5A 4A 3B s.t. xiB 30(i 1, 2, 3, 4) x3C 80 x2 D 100 110% x 125% x 140% x 155% x 5A 4B 3C 2 D 320 xiA , x jB , x3C , x2 D 0 (i 1, 2, 3, 4, 5; j 1, 2, 3, 4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1 ( x3 ) x4 x2 2
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
第四年：设新的投资 x7 ，第四年的保留资金 x8 ；
第五年：设 x9 为第五年的保留资金。根据题意，第五年初不再进 行新的投资，因为这笔投资要到第七年初才能收回。
x5 ( x7 ) x8 x6 2 x3 2
线性规划建模
1. 人力资源分配问题
例 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需 司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00 所需人员 60 70 60 50 20 30
每周可利用 的有效工时 5400 2800 3600
利润（元/件）
线性规划及其数学模型
max z 10 x1 15 x2 12 x3 1.1x1 1.0 x2 1.1x3 5400 0.7 x 0.9 x 0.6 x 2800 1 2 3 s.t. 0 . 9 x 0 . 8 x 1 . 0 x 3600 1 2 3 x 0 j 1 , 2 , 3 j
投入金 保留金 合 计
0.5X 1 +X 3 0.5X 3+X 5 0.5X 5+X 7 X4 X6 X8 100 X2 2X 1 +X 4 2X 3 +X 6
X1 X2
0.5X 7 X9 2X 5 +X 8
解：设x1为第一年的投资，x2为第一年的保留资金，则：
x1 + x2 = 100
第二年： 设x3为第二年新的投资，x4为第二年的保留资金，则： 第三年：设 x5 为新的投资，x6 为第三年的保留资金；
2.5m 1.3m 料头
线性规划建模
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1， 2,3,4)，可列出下面的数学模型：
min Z x1 x 2 x3 x4 3 x1 2 x2 x3 100 2 x2 4 x3 6 x4 200 x 0( j 1.2.3.4) j
乙 0.15 0.75 1.30 1.5
•最 低 •需要量
•1.00 •7.50 •10.00
•原料单价
线性规划建模
解：设Xj 表示Bj 种食物用量
min Z 2 x1 1.5 x 2 0.10 x1 0.15 x 2 1.00 1.70 x1 0.75 x 2 7.50 1.10 x1 1.30 x 2 10.00 x1 , x 2 0
方案
规格 y1(2.9m)
y2(2.1m) y3(1.5m) 总长7.4m
1 2 0 1
2 1 2 0
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0.0
5 0 3 0 1.1
6 0 2 2 0.2
7 0 1 3 0.8
8 0 0 4 1.4
需求量 100 100 100 余料
0.1 0.3
min Z = x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100
线性规划建模
2. 生产计划问题
某企业生产l、2和3三种产品，每种产品需经过三道工序， 每件产品在每道工序中的工时定额、每道工序在每周可利用的 有效工时和每件产品的利润见下表。问每种产品各生产多少,可 使这一周内生产的产品所获利润最大？ 定额(工时/件) A 工序 B C
产品型号
1 1.2 0.7 0.9 10 2 1.0 0.9 0.8 15 3 1.1 0.6 1.0 12
年份 项目
1 XA1 XB1
2 XA2 XB2
3 XA3 XB3 X C3
4 XA4 XB4
5 XA5
A B C D
投资合计
XD2
200
110%X A 1
110%X A 2 110%X A3 110%X A4 +125%X B 1 +125%X B2 +125%X B3
线性规划建模
Max z 110% x5 A 125% x4 B 140% x3C 155% x2 D x1 A x1B 200 x2 A x2 B x2 D 110% x1 A x3 A x3 B x3C 110% x2 A 125% x1B x4 A x4 B 110% x3 A 125% x2 B s.t. x5 A 110% x4 A 125% x3 B x 30(i 1, 2, 3, 4) iB x3C 80 x2 D 100 xiA , x jB , x3C , x2 D 0 (i 1, 2, 3, 4, 5; j 1, 2, 3, 4)
3. 裁料问题
生产某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要用多少圆钢 来生产这些轴？(假设切割损失不计) 解：1、设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1, y2, y3,
的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割而成，
1 2 3
售价
X 11 X 21
X 12 X 22
X 13 X 23 X 33
25
X 31
50
X 32
35
线性规划建模
5、投资问题：某投资公司在第一年初有100万元资金，假设每
年都有如下的投资方案：第一年初投入一笔资金，第二年初又继续 投入此资金的50%，并从总资金中拿出一笔资金投入到项目中；第 三年初就可回收第一年初投入资金的两倍，同时继续追加第二年投 入金额的50%，并且还投入一笔资金，一直到整个投资计划完成。 问：该投资公司应如何确定投资策略才能使第六年初所拥有的资金 最多？ 追加投资金额 + 新投资金额 + 保留资金=可利用的资金总额 1 2 3 4 5
人力资源分配问题 生产计划问题
套裁下料问题
配料问题
投资问题
• 一般而言，一个经济或管理问题凡是满 足以下条件时，才能建立线性规划模型。
要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且 为线性函数
存在着多种方案
要求达到的目标在一定条件下可以实现，这些约 束可用线性等式或不等式描述
x7 x9 x8 2 x5 2
到第六年初，实有资金总额为x9 + 2x7，整理后得到下列 线性规划模型： max Z = 2x7 + x9
x1 x 2 100 x 2x 2x 2x 0 2 3 4 1 4 x1 x3 2 x 4 2 x5 2 x 6 0 4 x 3 x 5 2 x 6 2 x 7 2 x 8 0 4 x5 x 7 2 x 8 2 x9 0 x j 0, j 1,2, ,9
则切割方式可用不等式2.9y1+2.1y2+1.5y3≤7.4表示，求这个不等式关
于y1，y2，y3的非负整数解。例如：y1=2， y2=0 ，则 y3 只能为1，余 料为0.1。像这样的非负整数解共有8组，也就是有8种下料方式，如 表1.4所示。 2、建立线性规划数学模型。设xj (j=1,2…,8)为第 j 种下料方案 所用圆钢的根数。
线性规划建模
3. 裁料问题
现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长 的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既 满足需要，又能使总的用料最少？ 解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几 个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格 的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目 的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。 Ⅰ 3 0 0.5 Ⅱ 2 2 0.4 Ⅲ 1 4 0.3 Ⅳ 0 6 0.2
4. 配料问题
例：某工厂要用三种原料1,2,3混合调配出不同规格的 产品甲、乙、丙，产品的规格要求、产品的单价、每 天能供应的原材料数量以及原材料单价如表所示。该 厂应该如何安排生产，才能使利润最大？ 产品 原料 甲
≥50% ≤25%
乙
≥25% ≤50%
丙
供应量 100 100 60
单价 65 25 35
线性规划建模
除了投入与回报之外，还应该考虑每个项目的投资风险。
应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有
资金的本利在320万的基础上保证其投资的总风险系数为最 小？ 下表是预测每万元每次投资的风险指数。
项目
风险指数（每万元每次）
A
1
B
3
C
4
D
5.5
投资风险
年份 项目
1 1 ×X A 1 3 ×X B 1
xj 0, j =1, 2, … , 8
(x1=10, x2=50, x4=30, 余料16m)
线性规划建模
4. 配料问题
例：某人每天食用甲、乙两种食物（如猪肉、鸡蛋）， 其资料如下：问两种食物各食用多少，才能既满足需 要、又使总费用最省？
•含量 •成分 食物
甲 •A1 •A2 •A3 • • • 0.1 1.7 1.10 • 2
设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作 8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满 足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少?
线性规划建模
• 解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 x6 60 x x 70 1 2 x2 x3 60 s.t x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
某企业现有资金200万元，计划在今后5年内给A，B，C，D 四个项目 投资。根据有关情况的分析得知：
项目 A ：从第一年到第五年每年年初都可进行投资，当年末就能收 回本利110%；
项目 B ：从第一年到第四年每年年初都可进行投资，次年末能收回 本利125%，但是要求每年最大投资额不能超过30万元； 项目 C ：若投资则必须在第三年年初投资，到第五年末能收回本利 140%，但是限制最大投资额不能超过80万元； 项目 D ：若投资则需在第二年年初投资，到第五年末能收回本利 155%，但是规定最大投资额不能超过100万元。 问：应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的 本利金额为最大？
5. 单纯形法
单纯形法的思路
单纯形表求解
单纯形法解题的思路
找出一个初始可行解 是
是否最优 循 环 否
2 1 ×X A 2 3 ×X B 2
3 1 ×X A 3 3 ×X B 3 4 ×X C 3
4 1×X A 4 3 ×X B 4
5 1 ×X A 5
A B C D
5.5×X D 2
线性规划建模
Min z 1( x1 A x2 A x3 A x4 A x5 A ) 3( x1B x2 B x3 B x4 B ) 4 x3C 5.5 x2 D x1 A x1B 200 x x x 2B 2 D 110% x1 A 2A x3 A x3 B x3C 110% x2 A 125% x1B x4 A x4 B 110% x3 A 125% x2 B x 110% x 125% x 5A 4A 3B s.t. xiB 30(i 1, 2, 3, 4) x3C 80 x2 D 100 110% x 125% x 140% x 155% x 5A 4B 3C 2 D 320 xiA , x jB , x3C , x2 D 0 (i 1, 2, 3, 4, 5; j 1, 2, 3, 4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx1 ( x3 ) x4 x2 2
x3 ( x5 ) x6 x4 2 x1 2
第四年：设新的投资 x7 ，第四年的保留资金 x8 ；
第五年：设 x9 为第五年的保留资金。根据题意，第五年初不再进 行新的投资，因为这笔投资要到第七年初才能收回。
x5 ( x7 ) x8 x6 2 x3 2
线性规划建模
1. 人力资源分配问题
例 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需 司机和乘务人员人数如下表所示：
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6:00——10:00 10:00——14:00 14:00——18:00 18:00——22:00 22:00——2:00 2:00——6:00 所需人员 60 70 60 50 20 30
每周可利用 的有效工时 5400 2800 3600
利润（元/件）
线性规划及其数学模型
max z 10 x1 15 x2 12 x3 1.1x1 1.0 x2 1.1x3 5400 0.7 x 0.9 x 0.6 x 2800 1 2 3 s.t. 0 . 9 x 0 . 8 x 1 . 0 x 3600 1 2 3 x 0 j 1 , 2 , 3 j
投入金 保留金 合 计
0.5X 1 +X 3 0.5X 3+X 5 0.5X 5+X 7 X4 X6 X8 100 X2 2X 1 +X 4 2X 3 +X 6
X1 X2
0.5X 7 X9 2X 5 +X 8
解：设x1为第一年的投资，x2为第一年的保留资金，则：
x1 + x2 = 100
第二年： 设x3为第二年新的投资，x4为第二年的保留资金，则： 第三年：设 x5 为新的投资，x6 为第三年的保留资金；
2.5m 1.3m 料头
线性规划建模
设按方案Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ下料的原材料根数分别为xj (j=1， 2,3,4)，可列出下面的数学模型：
min Z x1 x 2 x3 x4 3 x1 2 x2 x3 100 2 x2 4 x3 6 x4 200 x 0( j 1.2.3.4) j
乙 0.15 0.75 1.30 1.5
•最 低 •需要量
•1.00 •7.50 •10.00
•原料单价
线性规划建模
解：设Xj 表示Bj 种食物用量
min Z 2 x1 1.5 x 2 0.10 x1 0.15 x 2 1.00 1.70 x1 0.75 x 2 7.50 1.10 x1 1.30 x 2 10.00 x1 , x 2 0
方案
规格 y1(2.9m)
y2(2.1m) y3(1.5m) 总长7.4m
1 2 0 1
2 1 2 0
3 1 1 1 0.9
4 1 0 3 0.0
5 0 3 0 1.1
6 0 2 2 0.2
7 0 1 3 0.8
8 0 0 4 1.4
需求量 100 100 100 余料
0.1 0.3
min Z = x1+x2+x3 +x4+x5 +x6+x7 +x8 2x1+x2+x3 +x4 100 2x2+x3+3x5 +2x6 +x7 100 x1+x3 +3x4 +2x6 +3x7 +4x8 100
线性规划建模
2. 生产计划问题
某企业生产l、2和3三种产品，每种产品需经过三道工序， 每件产品在每道工序中的工时定额、每道工序在每周可利用的 有效工时和每件产品的利润见下表。问每种产品各生产多少,可 使这一周内生产的产品所获利润最大？ 定额(工时/件) A 工序 B C
产品型号
1 1.2 0.7 0.9 10 2 1.0 0.9 0.8 15 3 1.1 0.6 1.0 12
年份 项目
1 XA1 XB1
2 XA2 XB2
3 XA3 XB3 X C3
4 XA4 XB4
5 XA5
A B C D
投资合计
XD2
200
110%X A 1
110%X A 2 110%X A3 110%X A4 +125%X B 1 +125%X B2 +125%X B3
线性规划建模
Max z 110% x5 A 125% x4 B 140% x3C 155% x2 D x1 A x1B 200 x2 A x2 B x2 D 110% x1 A x3 A x3 B x3C 110% x2 A 125% x1B x4 A x4 B 110% x3 A 125% x2 B s.t. x5 A 110% x4 A 125% x3 B x 30(i 1, 2, 3, 4) iB x3C 80 x2 D 100 xiA , x jB , x3C , x2 D 0 (i 1, 2, 3, 4, 5; j 1, 2, 3, 4)
3. 裁料问题
生产某一机床需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴 圆钢长度为7.4m。现在要制造100台机床，问：最少要用多少圆钢 来生产这些轴？(假设切割损失不计) 解：1、设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1, y2, y3,
的规格分别是2.9、2.1和1.5m，这些轴需要用同一种圆钢切割而成，
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售价
X 11 X 21
X 12 X 22
X 13 X 23 X 33
25
X 31
50
X 32
35
线性规划建模
5、投资问题：某投资公司在第一年初有100万元资金，假设每
年都有如下的投资方案：第一年初投入一笔资金，第二年初又继续 投入此资金的50%，并从总资金中拿出一笔资金投入到项目中；第 三年初就可回收第一年初投入资金的两倍，同时继续追加第二年投 入金额的50%，并且还投入一笔资金，一直到整个投资计划完成。 问：该投资公司应如何确定投资策略才能使第六年初所拥有的资金 最多？ 追加投资金额 + 新投资金额 + 保留资金=可利用的资金总额 1 2 3 4 5