华师大版八年级数学下册第16章分式16.2 阶段强化专训

专训1 分式的意义及性质的四种题型名师点金：
1.从以下几个方面透彻理解分式的意义：(1)分式无意义⇔分母为零；(2)分式有意义⇔分母不为零；(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零；(4)分式值为正数⇔分子、分母同号；(5)分式值为负数⇔分子、分母异号．
2．分式的基本性质是约分、通分的依据，而约分、通分为分式的化简求值奠定了基础．)
分式的识别
1．在3x
4x－2，
－5
x2＋7
，
4x－2
5
，2m，
x2
π＋1
，
2m2
m
中，不是分式的式子有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．从a－1，3＋π，2，x2＋5中任选2个构成分式，共有________个．
分式有无意义的条件
3．无论a 取何值，下列分式总有意义的是( )
A .
a ＋1a 2 B .a －1
a 2＋1 C .
1a 2
－1 D .1
a ＋1
4．当x ＝________时，分式
x －1
x 2－1
无意义． 5．已知不论x 为何实数，分式3x ＋5
x 2
－6x ＋m
总有意义，试求m 的取值范围．
分式值为正、负数或0的条件
6．若x ＋2
x 2－2x ＋1
的值为正数，则x 的取值范围是( )
A ．x ＜－2
B ．x ＜1
C ．x ＞－2且x≠1
D ．x ＞1
7．若分式3x －4
2－x 的值为负数，则x 的取值范围是________．
8．已知分式a －1
a 2－
b 2的值为0，求a 的值及b 的取值范围．
分式的基本性质及其应用9．下列各式正确的是( )
A.a
b
＝
a2
b2
B.
a
b
＝
ab
a＋b
C.a
b
＝
a＋c
b＋c
D.
a
b
＝
ab
b2
10．要使式子
1
x－3
＝
x＋2
x2－x－6
从左到右变形成立，x应满足的条件是
( )
A．x＞－2 B．x＝－2
C．x＜－2 D．x≠－2
11．已知x
4
＝
y
6
＝
z
7
≠0，求
x＋2y＋3z
6x－5y＋4z
的值．
12．已知x＋y＋z＝0，xyz≠0，求
x
|y＋z|
＋
y
|z＋x|
＋
z
|x＋y|
的值．【导学
号：71412009】
专训2 分式运算的八种技巧
名师点金
分式的加减运算中起关键作用的就是通分．但对某些较复杂或具有特定结构的题目，使用一般方法有时计算量太大，容易出错，有时甚至算不出来，若能结合题目结构特征，灵活运用相关性质、方法、解题技巧，选择恰当的运算方法与技能，常常能达到化繁为简、事半功倍的效果．
约分计算法
1．计算：a 2＋6a a 2＋3a －a 2－9
a 2＋6a ＋9.
整体通分法
2．计算：a－2＋4
a＋2
.
顺次相加法
3．计算：1
x－1＋
1
x＋1
＋
2x
x2＋1
＋
4x3
x4＋1
.
换元通分法
4．计算：(3m －2n)＋（3m －2n ）3
3m －2n ＋1－(3m －2n)2＋2n －3m
3m －2n －1.
裂项相消法
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫即1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
5．计算：
1a （a ＋1）＋1（a ＋1）（a ＋2）＋1
（a ＋2）（a ＋3）
＋…＋
1
（a ＋99）（a ＋100）
.【导学号：71412010】
整体代入法
6．已知1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115，求abc
ab ＋bc ＋ac 的值．
倒数求值法
7．已知 x x 2－3x ＋1＝－1，求x 2
x 4－9x 2＋1的值．
消元法
8．已知4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且xyz≠0，求5x 2＋2y 2－z 2
2x 2－3y 2－10z 2
的
值．
答案
专训1
1．C 点拨：4x －25，2m ，x 2
π＋1
不是分式．
2．6 点拨：以a －1为分母，可构成3个分式；以x 2＋5为分母，可构成3个分式，所以共可构成6个分式．
3．B 4.±1
5．解：x 2－6x ＋m ＝(x －3)2＋(m －9)． 因为(x －3)2≥0，
所以当m －9＞0，即m ＞9时，x 2－6x ＋m 始终为正数，分式总有意义． 6．C 点拨：x 2－2x ＋1＝(x －1)2.因为分式的值为正数，所以x ＋2＞0且x －1≠0.解得x ＞－2且x≠1.
7．x ＞2或x ＜4
3
8．解：因为分式a －1a 2－b 2的值为0，所以a －1＝0且a 2－b 2
≠0.解得a ＝1且
b≠±1.
9．D 10.D
11．解：设x 4＝y 6＝z
7＝k(k≠0)，则x ＝4k ，y ＝6k ，z ＝7k.
所以
x ＋2y ＋3z 6x －5y ＋4z ＝4k ＋2×6k＋3×7k 6×4k－5×6k＋4×7k ＝37k 22k ＝37
22
.
12．解：由x ＋y ＋z ＝0，xyz≠0可知，x ，y ，z 必为两正一负或两负一正．当x ，y ，z 为两正一负时，不妨设x ＞0，y ＞0，z ＜0，则原式＝
x |－x|
＋y |－y|＋z |－z|＝1＋1－1＝1；当x ，y ，z 为两负一正时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，
则原式＝x |－x|＋y |－y|＋z
|－z|＝1－1－1＝－1.
综上所述，所求式子的值为1或－1. 专训2
1．解：原式＝a （a ＋6）a （a ＋3）－（a ＋3）（a －3）（a ＋3）2＝a ＋6a ＋3－a －3
a ＋3
＝9
a ＋3
. 点拨：在分式的加减运算中，若分式的分子、分母是多项式，则首先把能因式分解的分子、分母分解因式，其次把分子、分母能约分的先约分，然后再
计算，这样可简化计算过程．
2．解：原式＝a －21＋4a ＋2
＝a 2－4a ＋2＋4a ＋2
＝a 2
a ＋2
. 点拨：整式与分式相加减时，可以先将整式看成分母为1的式子，然后通分相加减．
3．解：原式＝x ＋1x 2－1＋x －1x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3x 4＋1＝2x x 2－1＋2x x 2＋1＋4x 3
x 4＋1＝2x （x 2＋1）＋2x （x 2－1）（x 2－1）（x 2＋1）＋4x 3x 4＋1＝4x 3x 4－1＋4x 3x 4＋1＝4x 3（x 4＋1）＋4x 3（x 4－1）（x 4－1）（x 4＋1）＝8x 7
x 8－1
. 点拨：此类题在计算时，采用“分步通分相加”的方法，逐步递进进行计算，达到化繁为简的目的．在解题时既要看到局部特征，又要全局考虑．
4．解：设3m －2n ＝x ，则原式＝x ＋x 3x ＋1－x 2－x x －1
＝ x （x 2－1）＋x 3（x －1）－x 2（x 2－1）－x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）
＝－2x （x ＋1）（x －1）
＝4n －6m （3m －2n ＋1）（3m －2n －1）
. 5．解：原式＝1a －1a ＋1＋1a ＋1－1a ＋2＋1a ＋2－1a ＋3＋…＋1a ＋99－1a ＋100
＝1a －1a ＋100＝100a （a ＋100）
. 点拨：对于分子是1，分母是相差为1的两个整式的积的分式相加减，常用
1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1
进行裂项，然后相加减，这样可以抵消一些项． 6．解：1a ＋1b ＝16，1b ＋1c ＝19，1a ＋1c ＝115
， 上面各式两边分别相加，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ＋1b ＋1c ×2＝16＋19＋115， 所以1a ＋1b ＋1c ＝31180
. 易知abc≠0，所以abc ab ＋bc ＋ac ＝11c ＋1a ＋1b
＝18031. 7．解：由x x 2－3x ＋1
＝－1，知x≠0， 所以x 2－3x ＋1x ＝－1.所以x －3＋1x ＝－1.即x ＋1x
＝2. 所以x 4－9x 2＋1x 2＝x 2－9＋1x 2＝⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－11＝22－11＝－7. 所以x 2x 4－9x 2＋1＝－17
. 8．解：以x ，y 为主元，将已知的两个等式化为⎩
⎨⎧4x －3y ＝6z ，x ＋2y ＝7z. 解得x ＝3z ，y ＝2z.
因为xyz≠0，所以z≠0.
所以原式＝5×9z 2＋2×4z 2－z 2
2×9z 2－3×4z 2－10z 2
＝－13. 点拨：此题无法直接求出x ，y ，z 的值，因此需将三个未知数的其中一个作为常数，解关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后代入待求值的分式消元求值．。