其他年金知识

其他年金
（四）其他年金
1．预付年金终值和现值的计算
预付年金终值利用同期普通年金终值的公式乘以（1+i）
预付年金现值利用同期普通年金现值的公式乘以（1+i）
预付年金终值和现值的计算公式
预付年金终值和现值的计算公式
【例题.计算题】某公司打算购买一台设备，有两种付款方式：一是一次性支付500万元；二是每年年初支付200万元，3年付讫。

由于资金不充裕，公司计划向银行借款用于支付设备款。

假设银行借款年利率为5%，复利计息。

请问公司应采用哪种付款方式？
【解析】用现值比较
分次支付现值：
P=A×（P/A，i，n）×（1+i）
=200×（P/A，5%，3）×（1+5%）
=200×2.7232×（1+5%）=571.872（万元）
【解析】用终值比较
如果分次支付，则其3年的终值为：
F=A×（F/A，i，n）×（1+i）
=200×（F/A，5%，3）×（1+5%）=200×3.1525×1.05=662.025（万元）
如果一次支付，则其3年的终值为：
500×（F/P，5%，3）=500×1.1576=578.8（万元）
662.025万元大于578.8万元，所以公司应采用第一种支付方式，即一次性付款500万元。

【例题•单选题】已知（P/A，8%，5）=3.9927，（P/A，8%，6）=4.6229，（P/A，8%，7）=5.2064，则6年期、折现率为8%的预付年金现值系数是（）。

（2013年）
A．2.9927
B．4.2064
C．4.9927
D．6.2064
【答案】C
【解析】本题考查的是预付年金现值系数与普通年金现值系数的关系。

即预付年金现值系数等于普通年金现值系数期数减1系数加1或用同期的普通年金系数乘以（1+i）=4.6229×1.08=4.9927。

【教材例题2-10】2018年1月16日，某人制定了一个存款计划，计划从2019年1月16日开始，每年存入银行10万元，共计存款5次，最后一次存款时间是2023年1月16日。

每次的存款期限都是1年，到期时利息和本金自动续存。

假设存款年利率为2%，打算在2024年1月16日取出全部本金和利息。

【解析】
2024年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(万元)
【教材例题2-11】2018年1月16日，某人制定了一个存款计划，计划从2018年1月16日开始，每年存入银行10万元，共计存款5次，最后一次存款时间是2022年1月16日。

每次的存款期限都是1年，到期时利息和本金自动续存。

假设存款年利率为2%，（1）打算在2023年1月16日取出全部本金和利息；
（2）打算在2022年1月16日取出全部本金和利息
【解析】
（1）2023年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)×(1+2%)=10×5.2040×1.02=53.08(万元)
（2）2022年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)=10×5.2040=52.04(万元)
2．递延年金
递延期（m）：前若干期没有收支的期限
连续收支期（n）：A的个数
（1）递延年金终值
【结论】递延年金终值只与A的个数（n）有关，与递延期（m）无关。

F递或F A=A（F/A，i，n）
【教材例题2-12】2018年1月16日，某人制定了一个存款计划，计划从2020年1月16日开始，每年存入银行10万元，共计存款5次，最后一次存款时间是2024年1月16日。

每次的存款期限都是1年，到期时利息和本金自动续存。

假设存款年利率为2%，打算在2024年1月16日取出全部本金和利息；
【解析】
2024年1月16日取出的全部本金和利息=10×(F/A,2%,5)=10×5.2040=52.04(万元) （2）递延年金现值
方法1：两次折现。

递延年金现值P=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
递延期m（第一次有收支的前一期），连续收支期n
补充方法2：先加上后减去。

递延年金现值P=A×[（P/A，i，m+n）-A×（P/A，i，m）]
【教材例2-5】某递延年金为从第4期开始,每期期末支付10万元,共计支什6次,假设利率为4%,相当于现在一次性支付的金额是多少?
【解析】
本例中,由于一次支付发生在第4期期末，所以m=3;由于连续支付6次,因此,n=6。

所以P=10x(P/A,4%,6)x(P/F,4%,3)
=10x5.2421x0.8890
=46.60(万元)
即相于现在一次性支什的金是46.60万元
【教材例2-6】某递延年金为从第4期开始,每期期初支付10万元,共计支什6次,假设利率为4%,相当于现在一次性支付的金额是多少?
【解析】本例中,由于一次支付发生在第4期期初，第4期期初与第3期期末是同一时点，
所以m=2;由于连续支付6次,因此,n=6。

所以P=10x(P/A,4%,6)x(P/F,4%,2)
=10x5.2421x0.9246
=48.47(万元)
即相于现在一次性支什的金是48.47万元
【例题•多选题】某公司向银行借入一笔款项，年利率为10%，分6次还清，从第5年至第10年每年年末偿还本息5000元。

下列计算该笔借款现值的算式中，正确的有（）。

（2015年）
A．5000×（P/A，10%，6）×（P/F，10%，3）
B．5000×（P/A，10%，6）×（P/F，10%，4）
C．5000×[（P/A，10%，9）-（P/A，10%，3）]
D．5000×[（P/A，10%，10）-（P/A，10%，4）]
【答案】BD
【解析】递延年金现值的计算：
方法一：PA=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
方法二：PA=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
式中，m为递延期，n为连续收支期数。

本题递延期为4年，连续收支期数为6年。

所以，选项B、D正确。

3．永续年金
（1）终值：没有
（2）现值：
P（n→∞）=A×1−（1+i）−n
i =A i
【教材例2-8】拟建立一项永久性的奖学金，每年计划頒发10000元奖金。

若利率为5%，现在应存入多少钱?
【解析】
P=10000/5%=200000(元)
（3）非标准永续年金
【教材例2-9】某年金的收付形式为从第1期期初开始，每期支付80元，一直到永远。

假设利率为5%，其现值为多少?
【解析】
现值=80+80/5%=1680(元)
或者现值=80/5%×(1+5%)=1680(元)。

【例题•计算题】某公司预计最近两年不发放股利，预计从第三年开始每年年末支付每股0.5元的股利，假设折现率为10%，则现值为多少？
【解析】
P=（0.5/10%）×（P/F，10%，2）=4.132（元）
【扩展】混合现金流计算
【例题•计算题】若存在以下现金流，若按10%贴现，则现值是多少？
【解析】
P=600×（P/A，10%，2）+400×（P/A，10%，2）×
（P/F，10%，2）+100×（P/F，10%，5）=1677.08
【教材例2-7】A公司20×7年12月10日购置一批电脑，销售方提出三种付款方案，具体如下：
方案1:20x7年12月10日支付款10万元，从20x9年开始，每年12月10日付款28万元，连续支付5次。

方案2:20x7年12月10日支付款5万元，从20x8年开始，每年12月10日付款25万元，连续支付6次。

方案3:20x7年12月10日支付款10万元，从20x8年开始，6月10日和12月10日付款，每次支付15万元，连续支付8次。

假设A公司的投资收益率为10%，A公司应该选择哪个方案？
【解析】方案1:20x7年12月10日支付款10万元，从20x9年开始，每年12月10日付款28万元，连续支付5次。

把20x7年12月10日作为0时点，方案1的付款形式如图2-7所示。

【答案】
方案1的付款现值
=10+28×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，1）
=10+28×3.7908×0.9091
=106.49(万元)
【解析】方案2:20x7年12月10日支付款5万元，从20x8年开始，每年12月10日付款25万元，连续支付6次。

把20x7年12月10日作为0时点，方案2的付款形式如图2-8所示。

方案2的付款现值
=5+25×（P/A，10%，6）
=5+25×4.3553
=113.88（万元）
【解析】方案3:20x7年12月10日支付款10万元，从20x8年开始，6月10日和12月10日付款，每次支付15万元，连续支付8次。

把20x7年12月10日作为0时点，方案3的付款形式如图2-9所示。

方案3中，等额付款间隔时间为半年，折现率为10%/2=50%。

方案3的付款现值
=10+15×（P/A，5%，8）
=10+15×6.4632
=106.95（万元）
由于方案1的付款现值最小，所以应该选择方案1.。