甘肃省武威市18学年高二数学下学期寒假学习质量检测试题理180301159

武威六中高二年级寒假学习质量检测
数 学 试 卷（理）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分)．
1．已知条件p ：log 2（x ﹣1）＜1；条件q ：|x ﹣2|＜1，则p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件
2．设f （x ）=xlnx ，若()20/
=x f ，则x 0
等于（
）
A ．e
2
B ．e
C ．
D ．ln2
3．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，CA=CC 1=2CB ，则直线
BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2
﹣y 2
=1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|•|PF 2|=（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
5．在△ABC 中，AB=2，AC=3，
=
，则
•
=（ ）
A ．﹣
B ．
C ．﹣
D ．
6．设p ：2x 2
－3x ＋1≤0，q ：x 2
－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．[0，1
2
]
B ．(0，1
2)
C ．(－∞，0]∪[1
2
，＋∞)
D ．(－∞，0)∪(1
2
，＋∞)
7．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为
b ，则函数y ＝ax 2－2bx ＋1在(－∞，1
2
]上为减函数的概率是 ( )
A ．14
B ．34
C ．16
D ．56
8．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点P (k ，－2)与点F 的距离为4，则
k 等于 ( )
A ．4
B ．4或－4
C ．－2
D ．－2或2
9．已知a 、b 是两异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a 、b 所成的角为 ( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．45°
10．设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为 ( )
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝
33(x －1)或y ＝－3
3(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝
22(x －1)或y ＝－2
2
(x －1) 11．执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入x 的值为7，
第二次输入x 的值为9，则第一次、第二次输出的a 的值分别为 ( )
A ．0,0
B ．1,1
C ．0,1
D ．1,0 12．在正四棱锥S －ABCD 中，O 为顶点S 在底面的射影，P 为侧棱SD 的
中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 所成的角是 ( ) A ．75° B ．60° C ．45° D ．30° 二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分） 13．函数
的单调递减区间为 ．
14．若双曲线x 2m －y 2m ＋2
＝1的一个焦点与抛物线y 2
＝8x 的焦点相同，则实数m ＝________.
15．已知在空间四边形OABC 中，OA →＝a 、OB →＝b 、OC →
＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝3MA ，N 为BC 中点，用a 、b 、c 表示MN →，则MN →
等于________.
16．边长为1的等边三角形ABC 中，沿BC 边高线AD 折起，使得折后二面角B －AD －C 为60°，点D 到平面ABC 的距离为________.
武威六中高二年级寒假学习质量检测
数 学 试 卷（理）答 题 卡
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分)．
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13． 14．____________________ 15． 16．____________________ 三、解答题（共6小题，17小题10分，其余各题每题12分，共70分） 17.（本小题10分）设函数f (x )＝2x 3
－3(a ＋1)x 2
＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值．
(1)求f (x )的解析式；
(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．
18．(本小题12分)已知命题p ：“方程x 2
a －1＋
y 2
7－a
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”；命题q ：“∃x
∈R ，使得x 2
－(a
－1)x ＋1<0”.
(1)若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围．
19．(本小题满分12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点坐标为(2,0)，短轴长为4 3.
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)设P是椭圆C上一点，且点P与椭圆C的两个焦点F1、F2构成一个直角三角形，且|PF1|>|PF2|，
求|PF1|
|PF2|
的值．
20．(本小题满分12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长|AB|＝3 5.
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的点，且△ABP的面积为9，求点P的坐标．
21．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，BE与平面ABCD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值；
（Ⅲ）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．
22.（12分）已知函数f (x )＝12
x 2
－a ln x (a ∈R )．
(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；
(3)求证：当x >1时，12x 2＋l n x <23x 3
.
高二年级2018年寒假质量检测考试数学试卷(理)
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．
1-5CBABD ． 6-10 ADBBC 11-12.DD 二、填空题（每空5，共计20分） 13． （0，1] ．14． m ＝1；
15．则MN →=－34a ＋1
2b ＋12c 16．1510
三、解答题（共5小题，每题14分）
17.解：(1)f ′(x )＝6x 2
－6(a ＋1)x ＋6a .
因为f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0， 解得a ＝3，所以f (x )＝2x 3
－12x 2
＋18x ＋8.
(2)A 点在f (x )上，由(1)可知f ′(x )＝6x 2
－24x ＋18，
f ′(1)＝6－24＋18＝0，所以切线方程为y ＝16.
18 [解析] (1)若命题p 为真命题，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
a －1>07－a >07－a >a －1
，∴1<a <4.
故实数a 的取值范围是(1,4)．
(2)若命题p ∧q 为真命题，则p 真、q 真，由(1)知p 真，1<a <4. 若q 真，则不等式x 2
－(a －1)x ＋1<0有解，即Δ＝(a －1)2
－4>0， ∴a 2
－2a －3>0，∴a >3或a <－1. 又∵1<a <4，∴3<a <4. 故实数a 的取值范围是(3,4)．
19.[解析] (1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1.
由题意得c ＝2，b ＝23，∴a ＝4.
故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 2
12＝1，离心率e ＝c a ＝1
2
.
(2)当点P 为短轴的一个端点时，∠F 1PO ＝30°， ∴∠F 1PF 2＝60°.
故不论点P 在椭圆C 上的任何位置时，∠F 1PF 2≠90°. ∵|PF 1|>|PF 2|，∴∠PF 2F 1＝90°.
∴|PF 2|＝b 2a ＝12
4
＝3.
又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8， ∴|PF 1|＝5，∴|PF 1||PF 2|＝5
3
.
20[解析] (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝2x ＋m ，y 2
＝4x 得4x 2＋4(m －1)x ＋m 2
＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝1－m ，x 1·x 2＝m 2
4，
∴|AB |＝1＋k 2
x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝1＋22
－m
2
－4×m 2
4
＝
－2m ，
∵|AB |＝35，∴
－2m ＝35，解得m ＝－4.
(2)设P (a,0)，P 到直线AB 的距离为d ， 则d ＝
|2a －0－4|22
＋－
2
＝2|a －2|5
， 又S △ABP ＝12|AB |·d ，则d ＝2·S △ABP
|AB |，
∴2|a －2|5＝2×9
35
，∴|a －2|＝3，
∴a ＝5或a ＝－1，故点P 的坐标为(5,0)或(－1,0)．
21．如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值；
（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM∥平面BEF ，并证明你的结论．
【解答】证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD ，所以DE⊥AC．
因为ABCD 是正方形，所以AC⊥BD， 从而AC⊥平面BDE ．…（4分）
解：（Ⅱ）因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为600
，即∠DBE=60°， 所以
．
由AD=3，可知，
． 则A （3，0，0），，
，B （3，3，0），C （0，3，0）， 所以
，
．
设平面BEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则，即．
令，则=．
因为AC⊥平面BDE ，所以
为平面BDE 的法向量，
．
所以cos ．
因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）点M 是线段BD 上一个动点，设M （t ，t ，0）． 则
．
因为AM∥平面BEF ， 所以
=0，即4（t ﹣3）+2t=0，解得t =2．
此时，点M 坐标为（2，2，0）， 即当
时，AM∥平面BEF ．…（12分）
22.解：(1)f ′(x )＝x －a
x
，因为x ＝2是一个极值点， 所以2－a
2
＝0.所以a ＝4.
此时f ′(x )＝x －4x ＝x 2
－4x ＝(x －2)(x ＋2)
x
.
因为f (x )的定义域是{x |x >0}，
所以当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以当a ＝4时，x ＝2是f (x )的极小值点．所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x
，
所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )
x
，
令f ′(x )>0有x >a ，
所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)； 令f ′(x )<0有0<x <a ，
所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )． (3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2
－ln x ，
则g ′(x )＝2x 2
－x －1x
，
因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2
＋x ＋1)
x
>0，
所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 所以g (x )>g (1)＝16>0.
所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3
.。